初二數學寒假復習練習冊教師版

TOC\o"1-2"\h\z\u第1講三角 第2講代數 第1講A則△ABD的面積是（ 【答案】DDE⊥ABE，∵BD是∠ABC如圖，AB>AC,∠1=∠2C1212DB【答案】ABE使AE=ACADCADECD=EDAC=AEBEDED+EB＞BD，EB＞BD-ED，EB=AB-如圖，已知ABC12AB2ACADBDDCACA11DB【答案】D作DE⊥AB∵AD=BD,DE⊥AB,∴AE=1/2∵AC=1/2AB,∴AE=AC,∵AD在△DEA和△DCA中，AE=AC，∠BAD=∠CAD

中，AB

的平分線AD交BC與D求證：B A ∵AD∴△ABD≌△AED,BD=DE,∠B=∠AED，

ABACA108BDABCACD點．求證：BC AAD 【答案】BC找一點E∵AB=BEBD=BD∴△ABD≌△EBD∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=1/2（180°-BC=BE+EC=AB+CD已知ABCA60BD、CE分別平分ABC和.ACBBD、CE交于點O，BE、CDBC的數量關系，并加以證明．EOEOD ABC中，ADBACADABCMADMAB 【答案】CE//AB，交AME,∵ADADADFFCAEM.求證：AM=ME.【答案】證明∠DAE=90°AE⊥AF，(內角、外角平分線一定垂直)；分別延長ACBFGΔAFB≌ΔAFG，∴BF=FG；如圖，在△ABCBEADBED212121ED 【答案】ADBC已知：如下圖，DEBCBFABC的角平分線，交DEFBDECDECF平分ACBAD【答案】B已知

中，A

，BD、CE分別平分

和

，BD、CE交于點OBE、CDBCEE 【答案】BCCF=CDOF，則△COF≌△CODI是△ABC的內心，且CAAIBC．若BAC80，求ABC和AIB的大ICI 【答案】ID⊥AC于D，IE⊥BCE，IF⊥AB于∵I∴AF+AI=BE，段BF上取點O，使【答案】DE⊥ABE，∵DA=DB，DE⊥AB，∴AE=BE=1/2AB又∵AB=2AC，∴AE=AC，在△ADE和△ADC中，AE=AC，∠1=∠2AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴∠C=∠AED=90°DC⊥AC如圖，在四邊形AE1(

中，

平分

，過

CEAB于E，則ABCADCDDC 【答案】CCFADF，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，ABCF⊥AD，∴DFC=∠CE=90，∴AFC≌AE（AS，∴AF=ECF=CE，∵AE＝1/2(AB+AD)，∴2AE=AB+AD，又∵AD=AF-△CE（SAS，∴∠ABC=∠CDF，∵∠ADC+∠CDF=180°，已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥ADADM.12

ADBD 【答案】CCE∥AB，CE與AM∴∠E=∠CAD．∴AC=ECCM⊥ADM，∴AM=ME，即AD是ABC中BACCDADDEBCDE1(AB 為△FBC中位線，∴DE∥FBDE∥AB，∴AC=AF，

中，ABC3C，12，BEAE．求證：ACAB2BE2121E 【答案】BEAC∴∠1=90°-2∠C，在直角△ABE中，∠ABE=2∠C，∴∠EBC=∠C在△ABF中，BF=CFBF=2BE=CF=AC-ABADD

則△OMN的周長為．12123O65 【答案】∵BOCO分別是∠ABC和∠ACB∴∠AOB=∠OBM,∠ACO=∠OCN, ,∴ΔODN的周 如圖，ΔABC中，AB=AC，EAB上一點，F(xiàn)ACEFBC【答案】E作EG//ACBCG，則∠EGB=∠ACBC

QCA分別是

，

BQAQABBPAQBQ 綜上可得AB+BP=AS=AC=AQ+QB,即AB+BP=AQ+QB,RtABC中，ADBC上的高，BE是ABC的平分線，ADBE于OEFADFAFODFEFE12O ∠AEO=∠CBE+∠C=1/2∠ABC+90∠ABC=90°-1/2∠ABCAOE=∠AEO如圖所示，在

AC

MBCAD是MF1AC

的平分線，若CF

且交AD的延長線于F，求 【答案】CFAB∵AD ∵MBC的中點∴MFBCG在

中，MB、NC分別是三角形的內角

的角平分線，AM ANCNMNMNBC

MN1ABACBC2NMNME 【答案】AMBCEANBC于∵AM （ASA∴MN是△AEF在

中，MB、NC分別是三角形的外角ABE、ACF的角平分線，AMBMMN1ABACBCAN

垂足分別是M、N．求證：MN∥BC MNMN 【答案】分別延長AM交BE于G，AN交CF于HBM⊥AM，BM平分∠ABE所以AM=MG 同理AN=NHAC=CHAM=MG AN=NHMN是△AGH的中位線所以MN∥BCMN=1/2(GE+BC+CH)而 AC=CH所以ABC中，分別作兩角B,CBE,CFAGCFAHBE，GHBCF F C【答案】AG和AHBCM、∵BECF分別平分∠ABC∴AG=MG，AH=NHGAM的中點，HANGHMN的中位線∴GH∥MNA如圖，在ABCADBCDEBCEFAD交CAFEF于點GBGCFAD為ABCGAGA FE到點H，使HE=FEBH．在△CEF和△BEH∵CE=BE∠CEF=∠BEHFE∴∠EFC∠EHB，CFBHBG∴∠EHB=∠BGE∴∠AFG=∴∠CAD∠BADAD為△ABC在RtABC中，F(xiàn)AB的中點，D、E分別在邊CA、CB上，滿足DFE90AD3，BE4，則線段DE的長度 FF 如圖、延長DF至點G，使得DFFG，聯(lián)結GB、由AFFB，有△ADF≌△BGF∴BGAD3∴∠ADF∴AD∥GB∴∠GBE=∠ACB=180°∴∠GBE90°∴GE5．又DF=FG，EF⊥DG∴DE=GE=5．4ABC中，DBC的中點，DMDNBM2CN2DM2DN2，AD21AB2AC2．4【答案】延長ND至E，使DEDN，連接EB、EM、MN因為DE=DN，DBDC，∠BDE=∠CDN，則△BDE≌△CDN．從而BE=CN，∠DBE=∠C．而DEDN，∠MDN90°，故MEMN，因此DM2=DN2MN2=ME2，即BM2+BE2=ME2，則∠MBE=90°，即∠MBD+∠DBE=90°因為∠DBE=∠C，故∠MBD+∠C= ，則∠BAC= AD為Rt△ABC斜邊BCAD12AD21BC21(AB2+AC2 如圖，I是△ABCCAAIBC．若BAC80，求ABC和AIBICI 【答案】如圖，在BC上取點D，使CDAC，連接DI因為CA+AIBC，所以BDAI在△ACI和△DCI中，ACDC，∠ACI=∠DCI，CICI．所以△ACI≌△DCI．于是AI=DI．所以DI=BD．因為∠BAC80°，所以∠CAI40°，∠CDI40°．又∠CDI是等腰△BDI的外角，所以∠DBI=∠DIB=∠CDI20°，∠ABC在△AIB中，∠BAI40°，∠ABI20°，所以∠AIB=180°-（20°+40）=120°APBP 【答案】DP到MPM=PAAM、AMP ∵△ABC在△BDMDMBABDACD60ADB901BDCABC2A C延長BD到E，使得DECD，連接∵ADB901BDC，∴2∠ADB+∠BDC2即∠ADC+∠ADB=180°．∵∠ADE+∠ADB∵CD=DE，AD=AD，∴△ADC≌△ADE，∴∠ACD=∠E=60°，AC=∵∠ABD=∠ACD=60°，∴∠ABD∴ABAE，∴ABAC，∴△ABCAB=ACBDCD=2CEC 【答案】延長CE到K，使CE=EK，連接∴△AEC≌△BEK∴AB=ACBC=BC∴△CKB≌△CDB∴CK=CD∴P為ABC所在平面上一點，且APBBPCCPA120P叫做ABC若點P為銳角ABC的費馬點，且ABC60，PA3，PC4，則PB的值為 BB過ABCPBB′PAPBPCAB3（1）3（2）證明：在BB′上取點P，使∠BPC=120°，連結AP，再在PB′上截取PEPC，連結CE∵∠BPC=120°，∴∠EPC60°，∴△PCE∴PC=CE，∠PCE=∵△ACB′為正三角形，∴ACB′C，∠ACB∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，∴∠PCA∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC=∠B′CE=120°，PA=∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，∴P為△ABC∴BB′過△ABC的費馬點P，且BBEBPBPEPAPBPC已知△ABC以AC為邊在△ABC外作等腰 AC=AD 【答案】AAB為邊在△ABC外作BAE=60°AEAE=AB∵△ACD是等邊三角形,∴AD=ACDAC∵BAE=60°,∴DAC+BAC=BAE+BAC即EACBAD.∴△EAC≌△BADBAE=60°，AE=AB=3,∴△AEBEBA=60°,∵ABC30,∴EBC90∵EBC90HBD也是等邊三角形．ECBDCBDH【答案】連接 BH=DH∠BHE=∠DHK∠BHD=60(由∠BHE=∠DHK推）△BDHC【答案】AN上截取AG=AC在△ABCDBC“≠”如果把（1）中的條件“CD=CA”變?yōu)椤癈D=AB”x，y的取值不變，那么（1）中的CD=CA=AByxx不寫解答過程，直接寫出°°=在△ABD中，∠B=40°，∠BAD=30° AD在△ABD和△ACEBDACEA BD當 （0<x≤60（2當DCBy3x90（60<x<90（B?D重合2當DBCy1803x（0<x<902把題中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為∠ABC+∠ADC=180°DC=BC2，（1）∵∠MAN=120°，AC∵在△ACD和△ACB中，ABC=ADC，∴△ACD≌△ACB（3（1）2AN上截取AE=AC∵在△ADC和△EBCADC=EBCA（1）1.AB，途中馬要到河邊飲水一次，問：這位BBAP（2）2.P在銳角AOB的內部，在OBD，在OA邊上求作一C，使△PCD的周長最小.APAPACACPD（3）3.LM、NAM+MN+BN（4）4．如圖，在lPPAPB最大ABABAB(見例5)5.如圖平行四邊形ABCD中點E在邊AD上以BE為折痕將△ABE向上翻折，10△FCB22 A. B. C. D.E E 【答案】（見例5）6.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，記與點A重合的點為A′，則△A′BG的面積與該矩形面積的比為

【答案】ABCDA'B

AB

，∵S△ABD：S4 ）【答案】A1ECDG，由題意知，GE=EH，F(xiàn)H=GFEHD1A1≌四邊形（1）15（3）50【答案】

1BC，E2B

1BC∴CE=CD=BD∴△ACD≌△AC（HL2(2)1.P是△ABCBCABACQR，使△PQR的周長最短嗎？(2)2.如圖，點C、D在銳角AOB的內部，在OBF，在OA邊上求作E，使四邊形CEFD周長最小.ACDACDAECAECDF(見例3)3.如圖1、A和B兩地在一條河的，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的是平行的直線，橋要與河垂直）ABAMNB(4)4.如圖，在lPPAPB最大AlBAAPBS2之間的關系是（） 【答案】

=

∵△ADE沿直線DEAADA′ES1=2×△ADE設△ADE4a，則△ABC9aADA′E∴四邊形ADA′E的面積S1與△ABC的面積S2之間的關系是=．故選部分的面積為（）443

Rt△ABFAB2+BF2=AF242+（8﹣AF）2=AF2，AF=5，∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，∴∠BAF=∠EAG12

2

AE?AE邊上的高，∴AE邊上的高512

ED?AE邊上的高2

(6)7.如圖，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BD=AB,AEF 【答案】AF⊥BDF,DE⊥ACE，可證得∠DAF=DAE=15°,所以△ADE≌△ADF，AF=AE,AB=2AF=2AE=AC,AE=EC,DEAC的中垂線,AD=DCAEF （8）8.如圖△ABC中，AB=AC,DACBAAE=ADDEEEAD 【答案】EDBCF.設∠ADExFNBCM、N.DM=FN,求證：∠ABC=∠ACBGE D BM【答案】AHBC同理可證AHBC,3E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q．若BF=2，則PE的長為 33 3

【答案】C1allA,aP，PAPlP位置.ABCh．12（2）（1）P在△ABCh1+h2+h3=hPBCABGACHAMN，則可得結論h1+h2=ANMNPF是矩形，∴PF=MNh3=MN．MNPF是矩形，∴PF=MNh3=MN．B．AC2AC邊在同一直線上當三角尺（2）的基礎上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位（點F段AC上FC不重合）（2）中的猜想是否仍然成立（不用說明理由．（1BF=CGF=∠=90AB∠GACAB=AC，∴△AB≌△AC（AS，∴B=CG；2DE⊥BADH⊥CGEDHG為矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，DDSDHGHHD+3DE⊥BADH⊥CGEDHG為矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，DDSDHGHHD+【答案】EDB2PPE⊥ACEPQACDDE【答案】PPF∥BCACF∵等邊△ABC10PAB12

12

2

2

12已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BEOM、N分別是AD、BE的中點．求∠DOE°△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BCM、NAD、BE12

2

A1.△ABC是等邊三角形，AB＝4cmBC邊上的高AD【答案】2沿BD折疊，使點C落在AB邊的C′點，那么△ADC′的面積是 【答案】6cm2先根據勾股定理得到AB=10cm，再根據折疊的性質得到DC=DC′，然后根據三角形的面積計算。（1）3.如圖，ABCDAB2AD1的矩形紙片，沿BAACDA′AD于E．求∠DA′E的大小。BC=1得，∠BA′C=30°已知小龍、阿虎兩人均在同一地點，若小龍向北直走160公尺，再向東直走80公尺后，可到神仙百貨，則阿虎向西直走多少公尺后，他與神仙百貨的距離為340公尺？（ 【答案】C設阿虎向西直走了x公尺，如圖，由題意可得，AB=340，AC=x+80，BC=80，（x+80）2 x1=220，x2=﹣380（舍去，∴阿虎向西直走了220公尺．在單位正方形組成的網格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三 【答案】面積分別是123S1、S2S3、S4，則S1S2S3S4 【答案】（1）7.ABCDACDMADE，BCFABBCGMCD邊的中點，求證：DE：DM：【答案】由折疊知，EM=EACD=2aDE2aEM，DMRt△EDMEM2DE2DM2EA2(2aEA)2a2EA5aED3aDE：DM：EM3a：a5a3：4：5 (見例3)8.如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（ 5 5 C1AA【答案】正方形的邊和長為7cm,方形A，B，C，D的面積之和為 CCDAB【答案】【答案】(見例4)11.若△ABC的三邊滿足(b+c)(b

a2

0則下列結論正確的是△ABC是直角三角形,且∠C△ABC是直角三角形,且∠A△ABC是直角三角形,且∠B△ABC不是直角三角形【答案】B△ABC，則△ABC中BC邊上的高 【答案】由題意知，小四邊形分別為小正方形，所以B、CEF、FD==32BC=

2．∴△ABC中BC邊上的高 22

=32222如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是斜邊AB的中點，DE⊥AC，垂足為E，若DE=2，CD=25，則BE的長為 2【答案】 ．∵點D為AB的中點2BC22∵DE⊥ACE，若DE=2，CD25BC22Rt△ABC

DEDFAB于EBCF，若AE＝4，F(xiàn)C＝3EF【答案】BDABC中，DAC∠ABD＝45°，∴∠C＝45°DE丄EBF在△ABC中，AB=25，AC=4，BC=2AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為CD的長．【答案】根據題意中的△ABD∵AC=4，BC=2，AB=25AC2+BC2=AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°．（1， 如圖（2DDE⊥CAE．易證△ACB≌△DEACD=213；如圖（3，過點DDE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．易證2 2如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10，點E是CD的中點，則AE的長是 【答案】AEBCF，則△EAD≌△EFCFC＝AD＝5ABFAF＝13ECD的中點，則AE2王偉準備用一段長30米的圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔．已知第一條a22米．（1）請用a（2）當a=7(2a2)a28由(2a2a

13a13a

13a13 （3）在（2）a為整數，所以a5a=55，12，1352+122=132知，恰好能構成直角三角形．5米，12米，13米．ABCD1ABCD1EFGH

2ba3 HF 333直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2,l2，l3之間的距離為3,則AC的長是 52A． 52ACACB【答案】3ABCD8BE＝32 2【答案】C

已知三角形相鄰兩邊長分別為20cm和30cm．第三邊上的高為10cm，則此三角形的面積 2【答案】1002+503或 5032AB2AB23=3

同

則三角形面積400322 1BCAD1 210400322

AB2AB2

4003AC24003AC22

9003290032

103cm所以三角形面積為

503＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．當正方形DEFH運動到什么位置，即當AE＝ 有DC2＝AE2＋BC2．【答案】解：假設AE＝x，可得∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6AC＝12∵正方形DEFH2DE＝2解得 米38m．．求擴建（1）10＋10＝32（m4242＋45

＝45453，設△ABDDA＝DBCD＝xmDA＝(x＋6)mRt△ACD338圖8圖

6C6

88 88 D 圖 圖ABCD1ABCDAC為邊作第二ACEFAEGH記正方形ABCDa11，依上述方法所作的正方形的邊長依次為a2n個正方形的邊長anAB2BCAB2BC222AE=2EH22因為a11

2)0，a

2)1，a2

2)2，a

(2)3234（2）n個正方形的邊長an234

2n1（n1）（n是自然數5.（1）四年一度的國際數學家大會于2002年8月20日在召開。大會會標如圖6甲。135，求中間小正方形的面積。abab 由勾股定理，得a2b2 ①2－②得2ab所以(ab)2a2b22ab13121 即所求的中間小正方形的面積為1（2）所拼成的正方形的面積為6.5213(cm2，所以可按照圖甲制作。由③得ab1由①、③組成方程組解得a3，b直角三角形后，余下的面積為21(cm2)，恰好等于中間的小正（1（3【答案若△ABC是銳角三角形則有a2b2c2,若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2b2c2, 當△ABC是銳角三角形時證明：AAD⊥BCDCDx，BDax根據勾股定理，得b2x2AD2c2ax)2即b2x2c2a22axx2所以a2b2c22axa>0，x>0，所以2ax0所以a2b2當△ABC證明：BBD⊥ACACDCDxBD2a2x2根據勾股定理，得(bx)2a2x2c2即a2b22bxc2b>0，x>0所以a2b2（3）7.AD42BD42B1 A

D 21① 2

B

A1

=√42+32=√25

=√62+12=√37

AC1=√52+22=√29

1第2講A9

4 9

494

494【答案】2a2yn1

2a2y3n5是同類項 則n 3【答案】x<0

x的值為 A．

D．【答案】

2x2

x

x

x

x【答案】x xx計算(3

3)( 33

24)1123112343

(32626

=33626

x2y9xy3x+yxy106x8x222(5x24x1x【答案】y2x，求4x4y3【答案】B1.若5a2x3b與3a5b4y5是同類項，則x ，y 【答案】4,-

（2）3x32x213x34x211a26b2x2（1）3x2y2x2y32xyx2yxyx1y

m

1)m

m26m

，其中m9(3)已知x2=3，求（x+3（x﹣）﹣xx﹣1+（x﹣2）2（1）2x2y7xy,18（2）m31;(3)-3m 3354.（1）35

1)

1633

— 88

（2） -32（1） （2）ax2–2ax32x2y

x43x28x （6）(xy)24(xy)（7）a4a3bab3 （8）x2y2x2z2y2z2【答案】6.xyxy x x (x1x1)

xx x

x24xxyx 37（1）3

2)2002

3x2y3x2y

yA、y

D、(a(a【答案】

21 x(3)x21x

x24

2x【答案】

x

(2)x (3)無解．(4)39180072x2x經檢驗，x=27是原方程的解，27件．5430420600600 5

x=40x=4是原分式方程的解．4元．600(y4)600(y5) 446

C分解因式:15aab2n110abba2n(n為正整數4a2n1bm6an2bm1m、n1的自然數(xy)2n1xz)(xy)2n2(yx)2n(yz)n為正整數【答案】5aab2n3a5b2an1bm12anb3a

2x (x3)44x

x2x63x

(ba

(a

(ba

3

(

m2

4x3(

)

x) 2x2x

x

x【答案】

abaca2a2ab

ab22aba2b2

a2bc2a2b2

其中a1b1c x x2

xyy

x22xy

x21112y3xy

yx7已知：x1 ，求x27x

1的值【答案】3 3 3

x33 3 x4y2x3y23 3 1

5

5．a a(a

x 6xy(x x2

3,y2

3求x2xyy2的值②已知a5

3a210ab6b3a210ab

0

a2abb2

a2aba2b2

的值bb

1(31)2 31

212 121142641142642(1

1

+（π－3）+(2

（4）312+|－4|－9×3（13（2802 2（1）1015ab 解得：a≤4∵a、b∴a=4b=9或a=220（1）.

130

解得 (2).1，則可得：11

1y100

5x<7012<x,x<15xx=13,2y為正數，x=13y=67.5x=14所以A7已知：x1 ，求x27x

1的值【答案】【答案】ab32(ab)4(ab的值a

a

3(a366比較大?。? 66【答案】已知a3bc2aabc的值 ab【答案】xy1xy2x3y2x2y2xy3的值【答案】1115m7mn5n的值 【答案】-2x3y

4x210xy6

5

2x2

的值【答案】2x3yz已知方程組x2y