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文檔簡介
2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù),則()A.1 B. C.27 D.2.雙曲線的左焦點,過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為,則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.4.復(fù)數(shù)()A. B. C.0 D.25.袋中有6個不同紅球、4個不同白球,從袋中任取3個球,則至少有兩個白球的概率是().A. B. C. D.6.若對任意的,不等式恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.若函數(shù),對任意實數(shù)都有,則實數(shù)的值為()A.和 B.和 C. D.8.函數(shù)(,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定9.假設(shè)如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個數(shù)為,則()A.2046 B.2416 C.2347 D.248610.設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù),,,,,則()A. B.C. D.11.函數(shù)的零點個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.312.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的虛部是().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量與的夾角為,且,,則向量在向量方向上的投影為________.14.若圓柱的軸截面面積為2,則其側(cè)面積為___;15.設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng),時,,則____.16.在的展開式中,第4項的二項式系數(shù)是______(用數(shù)字作答).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,討論的單調(diào)性;(2)設(shè),當(dāng)時,若對任意,存在使,求實數(shù)取值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的普通方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(Ⅰ)求直線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求曲線在原點處的切線方程.(2)當(dāng)時,求函數(shù)的零點個數(shù);20.(12分)觀察下列等式:;;;;……(1)照此規(guī)律,歸納猜想第個等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.21.(12分)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為(1)求頻率分布直方圖中的值;(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;(3)從評分在的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人評分都在的概率.22.(10分)已知函數(shù)(1)求的最小值(2)若不等式的解集為M,且,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得,從而得到,代入可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:,,.故選:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解問題,關(guān)鍵是能夠明確為實數(shù),其導(dǎo)數(shù)為零.2、B【解析】
求出直線方程,利用過過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為列出方程求解即可.【詳解】雙曲線的左焦點過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為,可得:,可得:則雙曲線的離心率為:故選:B.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查離心率的求法,考查計算能力.3、C【解析】由,得,則,故選C.4、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】由題,,故選:A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”,然后利用古典概型的概率的計算公式可求出所求事件的概率.【詳解】事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”,由古典概型的概率公式知,事件“兩個白球一個紅球”的概率為,事件“三個都是白球”的概率為,因此,事件“至少有兩個球是白球”的概率為,故選D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式,解題時要弄清楚事件所包含的基本情況,結(jié)合概率的加法公式進行計算,考查分類討論數(shù)學(xué)思想,屬于中等題.6、A【解析】
由已知可得對任意的恒成立,設(shè)則當(dāng)時在上恒成立,在上單調(diào)遞增,又在上不合題意;當(dāng)時,可知在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,要使,在上恒成立,只要,令可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,故選A.7、A【解析】由得函數(shù)一條對稱軸為,因此,由得,選A.點睛:求函數(shù)解析式方法:(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求.(4)由求對稱軸8、C【解析】
對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),進而得到原函數(shù)的單調(diào)性,從而得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)(,對函數(shù)求導(dǎo)得到當(dāng)x>1時,導(dǎo)函數(shù)大于0,函數(shù)單調(diào)增,當(dāng)x<1時,導(dǎo)函數(shù)小于0,函數(shù)單調(diào)遞減,因為,故得到.故答案為C.【點睛】這個題目考查了導(dǎo)函數(shù)對于研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性可以通過常見函數(shù)的性質(zhì)得到,也可以通過定義法證明得到函數(shù)的單調(diào)性,或者通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性.9、B【解析】
由三角形數(shù)表特點可得,利用累加法可求得,進而得到結(jié)果.【詳解】由三角形數(shù)表可知:,,,…,,,整理得:,則.故選:.【點睛】本題考查數(shù)列中的項的求解問題,關(guān)鍵是能夠采用累加法準確求得數(shù)列的通項公式.10、B【解析】分析:易得到fn(x)表達式以8為周期,呈周期性變化,由于2018÷8余2,故f2008(x)=f2(x),進而得到答案詳解:∵f0(x)=ex(cosx+sinx),∴f0′(x)=ex(cosx+sinx)+ex(﹣sinx+cosx)=2excosx,∴f1(x)==excosx,∴f1′(x)=ex(cosx﹣sinx),∴f2(x)==ex(cosx﹣sinx),∴f2′(x)=ex(cosx﹣sinx)+ex(﹣sinx﹣cosx)=﹣2exsinx,∴f3(x)=﹣exsinx,∴f3′(x)=﹣ex(sinx+cosx),∴f4(x)=﹣ex(cosx+sinx),∴f4′(x)=﹣2excosx,∴f5(x)=﹣excosx,∴f6(x)=﹣ex(cosx﹣sinx),∴f7(x)=exsinx,∴f8(x)=ex(cosx+sinx),…,∴=f2(x)=,故選:B.點睛:本題通過觀察幾個函數(shù)解析式,歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理,屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想).常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類:(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納,解決此類問題時,需要細心觀察,尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系,同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等;(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.11、C【解析】,如圖,由圖可知,兩個圖象有2個交點,所以原函數(shù)的零點個數(shù)為2個,故選C.12、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式,可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】,因此,該復(fù)數(shù)的虛部為,故選A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法,考查復(fù)數(shù)的虛部,對于復(fù)數(shù)問題的求解,一般利用復(fù)數(shù)的四則運算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式,明確復(fù)數(shù)的實部與虛部進行求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題知,,再根據(jù)投影的概念代入計算即可.【詳解】,,所以向量在向量方向上的投影為.故答案為:【點睛】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)計算,投影的概念與計算.14、【解析】
根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為,高為的矩形,根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解?!驹斀狻吭O(shè)圓柱的底面圓半徑為,高為,由題意知,圓柱的軸截面為底邊為,高為的矩形,所以,即。所以側(cè)面積?!军c睛】本題考查圓柱的幾何性質(zhì),表面積的求法,屬基礎(chǔ)題15、【解析】
依題意能得到f()=f(),代入解析式即可求解.【詳解】依題意得f(﹣x)=f(x)且f(x+2)=f(x),∴f()=f()=f(2)=f()2,故答案為:.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、20【解析】
利用二項式的通項公式即可求出.【詳解】二項式的通項公式為:.令,所以第4項的二項式系數(shù)是故答案為:20【點睛】本題考查了二項式某項的二項式系數(shù),解決本題要注意與二項式某項的展開式系數(shù)的不同.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減;(2).【解析】分析:(1)先求定義域,再對函數(shù)求導(dǎo),,令,分,,,,四種情況考慮h(x)零點情況及正負情況,得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(2)因為,由于(I)知,在上的最小值為,由題意可知“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”,由一元二次函數(shù)的“三點一軸”分類討論求得g(x)的最小值,再求得b范圍。詳解:(1)定義域因為所以令(i)當(dāng)時,所以當(dāng)時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增(ii)當(dāng)時,由,即,解得①當(dāng)時,,恒成立,此時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時,時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞減;時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增;時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞減;③當(dāng)時,由于時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞減;時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增;綜上所述:當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減(2)因為,由于(I)知,,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減:當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,所以在上的最小值為由于“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①當(dāng)時,因為,此時與矛盾②當(dāng)時,因為,同樣與矛盾③當(dāng)時,因為,解不等式可得綜上,的取值范圍是.點睛:本題綜合考查用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論思想求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,及恒成立問題與存在性問題的理解,即轉(zhuǎn)化為最值問題,同時也考查了一元二次函數(shù)“三點一軸”求最值問題,題目綜合性較強,分類較多,對學(xué)生的能力要求較高。18、(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)5【解析】
(Ⅰ)直線的普通方程為,可以確定直線過原點,且傾斜角為,這樣可以直接寫出參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程;(Ⅱ)利用,把曲線的參數(shù)方程化為普通方程,然后把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中,利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的意義,可以求出的值.【詳解】解:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)曲線的普通方程為將直線的參數(shù)方程代入曲線中,得,設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別是,則,【點睛】本題考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標(biāo)方程問題,同時也考查了直線與圓的位置關(guān)系,以及直線參數(shù)方程的幾何意義.19、(1)(2)函數(shù)零點個數(shù)為兩個【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即可求解曲線在原點處的切線方程;(2)由(1),求得函數(shù)的單調(diào)性,分類討論,即可求解函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】(1)由題意,函數(shù),則,則,從而曲線在原點處的切線方程為.(2)由(1)知,令得或,從而函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,當(dāng)時,恒成立,所以在上沒有零點;當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,且,存在唯一零點;當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,且,存在唯一零點.綜上,當(dāng)時,函數(shù)零點個數(shù)為兩個.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,著重考查了分類討論思想,推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)證明見解析.【解析】分析:(1)第個等式為.(2)利用個數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.詳解:(1)第個等式為;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)時,左邊,右邊,所以當(dāng)時,原等式成立.②假設(shè)當(dāng)時原等式成立,即,則當(dāng)時,,所以當(dāng)時,原等式也成立.由①②知,(1)中的猜想對任何都成立.點睛:(1)本題主要考查歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是證明n=k+1時,=.21、(Ⅰ)0.006;(Ⅱ);(Ⅲ)【解析】
試題分析:(Ⅰ)在頻率分布直方圖中,由頻率總和即所有矩形面積之和為,可求;(Ⅱ)在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評分不低于80的頻率為,由頻率與概率關(guān)系可得該部門評分不低于80的概率的估計值為;(Ⅲ)受訪職工評分在[50,60)的有3人,記為,受訪職工評分在[40,50)的有2人,記為,列出從這5人中選出兩人所有基本事件,即可求相應(yīng)的概率.試題解析:(Ⅰ)因為,所以……..4分)(Ⅱ)由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評分不低于80的頻率為,所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為………8分(Ⅲ)受訪職工評分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),即為;受訪職工評分在[40,50)的有:50×0.004×40=2(人),即為.從這5名受訪職工中隨機抽取2人,所有可能的結(jié)果共有10種,它們是又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種,即,故所求的概率為考點:1.頻率分布直方圖;2.概率和頻率的關(guān)系;3.古典概型.【名師點睛
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