應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)因子分析第1頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月因子分析的基本理論1、什么是因子分析？

因子分析是主成分分析的推廣，也是利用降維的思想，由研究原始變量相關(guān)矩陣或協(xié)方差矩陣的內(nèi)部依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的多個(gè)變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合因子的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法。2、因子分析的基本思想：把每個(gè)研究變量分解為幾個(gè)影響因素變量，將每個(gè)原始變量分解成兩部分因素，一部分是由所有變量共同具有的少數(shù)幾個(gè)公共因子組成的，另一部分是每個(gè)變量獨(dú)自具有的因素，即特殊因子。第2頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3、因子分析的目的：因子分析的目的之一，簡化變量維數(shù)。即要使因素結(jié)構(gòu)簡單化，希望以最少的共同因素（公共因子），能對(duì)總變異量作最大的解釋，因而抽取得因子愈少愈好，但抽取因子的累積解釋的變異量愈大愈好。在因子分析的公共因子抽取中，應(yīng)最先抽取特征值最大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的特征值最小通常會(huì)接近0。第3頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月例：在企業(yè)形象或品牌形象的研究中，消費(fèi)者可以通過一個(gè)有24個(gè)指標(biāo)構(gòu)成的評(píng)價(jià)體系，評(píng)價(jià)百貨商場的24個(gè)方面的優(yōu)劣。但消費(fèi)者主要關(guān)心的是三個(gè)方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價(jià)格。因子分析方法可以通過24個(gè)變量，找出反映商店環(huán)境、商店服務(wù)水平和商品價(jià)格的三個(gè)潛在的因子，對(duì)商店進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。而這三個(gè)公共因子可以表示為：稱是不可觀測的潛在因子,稱為公共因子。24個(gè)變量共享這三個(gè)因子，但是每個(gè)變量又有自己的個(gè)性，不被包含的部分，稱為特殊因子。第4頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4、主成分分析分析與因子分析的聯(lián)系和差異：

聯(lián)系：（1）因子分析是主成分分析的推廣，是主成分分析的逆問題。（2）二者都是以‘降維’為目的，都是從協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)。

區(qū)別：（1）主成分分析模型是原始變量的線性組合，是將原始變量加以綜合、歸納，僅僅是變量變換；而因子分析是將原始變量加以分解，描述原始變量協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)的模型；只有當(dāng)提取的公因子個(gè)數(shù)等于原始變量個(gè)數(shù)時(shí)，因子分析才對(duì)應(yīng)變量變換。（2）主成分分析，中每個(gè)主成分對(duì)應(yīng)的系數(shù)是唯一確定的；因子分析中每個(gè)因子的相應(yīng)系數(shù)即因子載荷不是唯一的。（3）因子分析中因子載荷的不唯一性有利于對(duì)公因子進(jìn)行有效解釋；而主成分分析對(duì)提取的主成分的解釋能力有限。第5頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5、因子分析模型：

設(shè)個(gè)變量，如果表示為第6頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）（2）

稱為公共因子，是不可觀測的變量，他們的系數(shù)稱為因子載荷。是特殊因子，是不能被前m個(gè)公共因子包含的部分。其中：相互獨(dú)立即不相關(guān)；即互不相關(guān)，方差為1。第7頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）即互不相關(guān)，方差不一定相等，。滿足以上條件的，稱為正交因子模型．如果（２）不成立，即各公共因子之間不獨(dú)立，則因子分析模型為斜交因子模型．第8頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

公因子F1公因子F2共同度hi特殊因子δix1=代數(shù)10.8960.3410.9190.081x2=代數(shù)20.8020.4960.8890.111x3=幾何0.5160.8550.9970.003x4=三角0.8410.4440.9040.096x5=解析幾何0.8330.4340.8820.118特征值G3.1131.4794.9590.409方差貢獻(xiàn)率（變異量）62.26%29.58%91.85%案例F1體現(xiàn)邏輯思維和運(yùn)算能力，F(xiàn)2體現(xiàn)空間思維和推理能力第9頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月6、因子分析模型中的幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的意義：（1）因子負(fù)荷量（或稱因子載荷）----是指因子結(jié)構(gòu)中原始變量與因子分析時(shí)抽取出的公共因子的相關(guān)程度。第10頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月在各公共因子不相關(guān)的前提下，（載荷矩陣中第i行，第j列的元素）是隨機(jī)變量xi*與公共因子Fj的相關(guān)系數(shù)，表示xi*依賴于Fj的程度。反映了第i個(gè)原始變量在第j個(gè)公共因子上的相對(duì)重要性。因此絕對(duì)值越大，則公共因子Fj與原有變量xi的關(guān)系越強(qiáng)。第11頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）共同度----又稱共性方差或公因子方差（community或commonvariance）就是變量與每個(gè)公共因子之負(fù)荷量的平方總和（一行中所有因素負(fù)荷量的平方和）。變量的共同度是因子載荷矩陣的第i行的元素的平方和。記為

從共同性的大小可以判斷這個(gè)原始實(shí)測變量與公共因子間之關(guān)系程度。如因子分析案例中共同度h12=(0.896)平方+(0.341)平方=0.919特殊因子方差（剩余方差）----各變量的特殊因素影響大小就是1減掉該變量共同度的值。如=1-0.919=0.081第12頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計(jì)意義：兩邊求方差

所有的公共因子和特殊因子對(duì)變量的貢獻(xiàn)為1。hi2反映了全部公共因子對(duì)變量Xi*的影響，是全部公共因子對(duì)變量方差所做出的貢獻(xiàn)，或者說Xi*對(duì)公共因子的共同依賴程度，稱為公共因子對(duì)變量Xi*的方差貢獻(xiàn)。

Hi2接近于1，表明該變量的原始信息幾乎都被選取的公共因子說明了。特殊因子的方差，反映了原有變量方差中無法被公共因子描述的比例。第13頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）特征值----是第j個(gè)公共因子Fj對(duì)于X*的每一分量Xi*所提供的方差的總和。又稱第j個(gè)公共因子的方差貢獻(xiàn)。即每個(gè)變量與某一共同因素之因素負(fù)荷量的平方總和（因子載荷矩陣中某一公共因子列所有因子負(fù)荷量的平方和）。如因子分析案例中F1的特征值G=（0.896）平方+（0.802）平方+（0.516）平方+（0.841）平方+（0.833）平方=3.113（4）方差貢獻(xiàn)率----指公共因子對(duì)實(shí)測變量的貢獻(xiàn)，又稱變異量。方差貢獻(xiàn)率=特征值G/實(shí)測變量數(shù)p，是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)，Gi越大，表明公共因子Fj對(duì)X*的貢獻(xiàn)越大，該因子的重要程度越高。如因子分析案例中F1的貢獻(xiàn)率為3.113/5=62.26%第14頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月因子的基本內(nèi)容1、因子分析的基本步驟：（1）因子分析的前提條件鑒定考察原始變量之間是否存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，是否適合進(jìn)行因子分析。因?yàn)椋阂蜃臃治龅闹饕蝿?wù)之一就是對(duì)原有變量中信息重疊的部分提取和綜合成因子，最終實(shí)現(xiàn)減少變量個(gè)數(shù)的目的。所以要求原有變量之間應(yīng)存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。否則，如果原有變量相互獨(dú)立，不存在信息重疊，也就無需進(jìn)行綜合和因子分析。（2）因子提取

研究如何在樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上提取綜合因子。第15頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）因子旋轉(zhuǎn)

通過正交旋轉(zhuǎn)或斜交旋轉(zhuǎn)使提取出的因子具有可解釋性。（4）計(jì)算因子得分

通過各種方法求解各樣本在各因子上的得分，為進(jìn)一步分析奠定基礎(chǔ)。第16頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2、因子分析前提條件——相關(guān)性分析：分析方法主要有：（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣(correlationcoefficientsmatrix)如果相關(guān)系數(shù)矩陣中的大部分相關(guān)系數(shù)值均小于0.3，即各變量間大多為弱相關(guān)，原則上這些變量不適合進(jìn)行因子分析。（2）計(jì)算反映象相關(guān)矩陣（Anti-imagecorrelationmatrix)第17頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

反映象相關(guān)矩陣，如果其主對(duì)角線外的元素大多絕對(duì)值較小，對(duì)角線上的元素值較接近1，則說明這些變量的相關(guān)性較強(qiáng)，適合進(jìn)行因子分析。其中主對(duì)角線上的元素為某變量的MSA(MeasureofSampleAdequacy)：

是變量和變量（）間的簡單相關(guān)系數(shù)，是變量和變量（）在控制了其他變量影響下的偏相關(guān)系數(shù)，即凈相關(guān)系數(shù)。取值在0和1之間，越接近1，意味著變量與其他變量間的相關(guān)性越強(qiáng)，越接近0則相關(guān)性越弱。第18頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）巴特利特球度檢驗(yàn)（Bartletttestofsphericity)

該檢驗(yàn)以原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為出發(fā)點(diǎn)，其零假設(shè)H0是：相關(guān)系數(shù)矩陣為單位矩陣，即相關(guān)系數(shù)矩陣主對(duì)角元素均為1，非主對(duì)角元素均為0。（即原始變量之間無相關(guān)關(guān)系）。

依據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式計(jì)算可得其近似服從卡方分布。如果統(tǒng)計(jì)量卡方值較大且對(duì)應(yīng)的sig值小于給定的顯著性水平a時(shí)，零假設(shè)不成立。即說明相關(guān)系數(shù)矩陣不太可能是單位矩陣，變量之間存在相關(guān)關(guān)系，適合做因子分析。第19頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)檢驗(yàn)

KMO檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是用于比較變量間簡單相關(guān)系數(shù)矩陣和偏相關(guān)系數(shù)的指標(biāo)，數(shù)學(xué)定義為：

KMO與MSA區(qū)別是它將相關(guān)系數(shù)矩陣中的所有元素都加入到了平方和計(jì)算中。KMO值越接近1，意味著變量間的相關(guān)性越強(qiáng)，原有變量適合做因子分析；越接近0，意味變量間的相關(guān)性越弱，越不適合作因子分析。Kaiser給出的KMO度量標(biāo)準(zhǔn)：0.9以上非常適合；0.8表示適合；0.7表示一般；0.6表示不太適合；0.5以下表示極不適合。第20頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3、因子提取和因子載荷矩陣的求解：因子載荷矩陣求解的方法：

（1）基于主成分模型的主成分分析法（2）基于因子分析模型的主軸因子法（3）極大似然法（4）最小二乘法（5）a因子提取法（6）映象分析法第21頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）基于主成分模型的主成分分析法Principalcomponents

設(shè)隨機(jī)向量的均值為，協(xié)方差為,為的特征根，為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，則第22頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月上式給出的表達(dá)式是精確的，然而，它實(shí)際上是毫無價(jià)值的，因?yàn)槲覀兊哪康氖菍で笥蒙贁?shù)幾個(gè)公共因子解釋，故略去后面的p-m項(xiàng)的貢獻(xiàn)，有：第23頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月上式有一個(gè)假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而從的分解中忽略了特殊因子的方差。第24頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

例:

假定某地固定資產(chǎn)投資率，通貨膨脹率，失業(yè)率，相關(guān)系數(shù)矩陣為試用主成分分析法求因子分析模型。第25頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)求解特征根(2)求解特征向量：(3)因子載荷矩陣：第26頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)因子分析模型：

可取前兩個(gè)因子F1和F2為公共因子，第一公因子F1物價(jià)就業(yè)因子，對(duì)X的貢獻(xiàn)為1.55。第一公因子F2為投資因子，對(duì)X的貢獻(xiàn)為0.85。共同度分別為1，0.706，0.706。第27頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）基于因子分析模型的主軸因子法Principalaxisfactoring

是對(duì)主成分方法的修正，假定我們首先對(duì)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換。則

R=AA’+DR*=AA’=R-D稱R*為約相關(guān)矩陣，R*對(duì)角線上的元素是,而不是1。第28頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月直接求R*的前p個(gè)特征根和對(duì)應(yīng)的正交特征向量。得如下的矩陣：第29頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)特殊因子的方差已知：第30頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月方差矩陣未知，估計(jì)的方法有如下幾種：

1）取，在這個(gè)情況下主因子解與主成分解等價(jià)；2）取，為xi與其他所有的原始變量xj的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方，即xi對(duì)其余的p-1個(gè)xj的回歸方程的判定系數(shù)，這是因?yàn)閤i

與公共因子的關(guān)系是通過其余的p-1個(gè)xj

的線性組合聯(lián)系起來的；

3）取，這意味著取xi與其余的xj的簡單相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值最大者；第31頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

4）取，其中要求該值為正數(shù)。5）取，其中是的對(duì)角元素。第32頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

例：假定某地固定資產(chǎn)投資率，通貨膨脹率，失業(yè)率，相關(guān)系數(shù)矩陣為試用主因子分析法求因子分析模型。假定用代替初始的。。第33頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）求解特征根：（2）對(duì)應(yīng)的非0特征向量：（3）因子載荷矩陣表：第34頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）因子分析模型：（5）新的共同度：第35頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4、因子旋轉(zhuǎn)：為什么要旋轉(zhuǎn)因子？建立了因子分析數(shù)學(xué)目的不僅僅要找出公共因子以及對(duì)變量進(jìn)行分組，更重要的要知道每個(gè)公共因子的意義，以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析，如果每個(gè)公共因子的含義不清，則不便于進(jìn)行實(shí)際背景的解釋。由于因子載荷陣是不惟一的，所以應(yīng)該對(duì)因子載荷陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。目的是使每個(gè)變量在盡可能少的因子上有比較高的載荷，讓某個(gè)變量在某個(gè)因子上的載荷趨于1，而在其他因子上的載荷趨于0。即：使載荷矩陣每列或行的元素平方值向0和1兩極分化。第36頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月奧運(yùn)會(huì)十項(xiàng)全能運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目得分?jǐn)?shù)據(jù)的因子分析

百米跑成績跳遠(yuǎn)成績鉛球成績跳高成績400米跑成績百米跨欄鐵餅成績撐桿跳遠(yuǎn)成績標(biāo)槍成績1500米跑成績第37頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月因

子

載

荷

矩

陣

因子載荷矩陣可以看出，除第一因子在所有的變量在公共因子上有較大的正載荷，可以稱為一般運(yùn)動(dòng)因子。其他的3個(gè)因子不太容易解釋。似乎是跑和投擲的能力對(duì)比，似乎是長跑耐力和短跑速度的對(duì)比。于是考慮旋轉(zhuǎn)因子，得下表第39頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)變幻后因子載荷矩陣第40頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月通過旋轉(zhuǎn)，因子有了較為明確的含義。百米跑，跳遠(yuǎn)和400米跑，需要爆發(fā)力的項(xiàng)目在有較大的載荷，可以稱為短跑速度因子；鉛球，鐵餅和標(biāo)槍在上有較大的載荷，可以稱為爆發(fā)性臂力因子；百米跨欄，撐桿跳遠(yuǎn)，跳遠(yuǎn)和為跳高在上有較大的載荷，爆發(fā)腿力因子；長跑耐力因子。第41頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)的方法有：（1）正交旋轉(zhuǎn)；（2）斜交旋轉(zhuǎn)（1）正交旋轉(zhuǎn)

由初始載荷矩陣A左乘一正交矩陣得到；目的是新的載荷系數(shù)盡可能的接近于0或盡可能的遠(yuǎn)離0；只是在旋轉(zhuǎn)后的新的公因子仍保持獨(dú)立性。主要有以下方法：varimax:方差最大旋轉(zhuǎn)。簡化對(duì)因子的解釋quartmax:四次最大正交旋轉(zhuǎn)。簡化對(duì)變量的解釋equamax:等量正交旋轉(zhuǎn)第42頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月A、方差最大法

方差最大法從簡化因子載荷矩陣的每一列出發(fā)，使和每個(gè)因子有關(guān)的載荷的平方的方差最大。當(dāng)只有少數(shù)幾個(gè)變量在某個(gè)因子上有較高的載荷時(shí)，對(duì)因子的解釋最簡單。方差最大的直觀意義是希望通過因子旋轉(zhuǎn)后，使每個(gè)因子上的載荷盡量拉開距離，一部分的載荷趨于1，另一部分趨于0。第43頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月B、四次方最大旋轉(zhuǎn)

四次方最大旋轉(zhuǎn)是從簡化載荷矩陣的行出發(fā)，通過旋轉(zhuǎn)初始因子，使每個(gè)變量只在一個(gè)因子上有較高的載荷，而在其它的因子上盡可能低的載荷。如果每個(gè)變量只在一個(gè)因子上有非零的載荷，這時(shí)的因子解釋是最簡單的。四次方最大法通過使因子載荷矩陣中每一行的因子載荷平方的方差達(dá)到最大。C、等量最大法

等量最大法把四次方最大法和方差最大法結(jié)合起來求行和列因子載荷平方的方差的加權(quán)平均最大。第44頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）斜交旋轉(zhuǎn)

目的是新的載荷系數(shù)盡可能的接近于0或盡可能的遠(yuǎn)離0；只是在旋轉(zhuǎn)時(shí)，放棄了因子之間彼此獨(dú)立的限制，旋轉(zhuǎn)后的新公因子更容易解釋。主要有以下的方法：directoblimin:直接斜交旋轉(zhuǎn)。允許因子之間具有相關(guān)性；promax:斜交旋轉(zhuǎn)方法。允許因子之間具有相關(guān)性；第45頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5、因子得分因子得分的概念

前面我們主要解決了用公共因子的線性組合來表示一組觀測變量的有關(guān)問題。如果我們要使用這些因子做其他的研究，比如把得到的因子作為自變量來做回歸分析，對(duì)樣本進(jìn)行分類或評(píng)價(jià)，這就需要我們對(duì)公共因子進(jìn)行測度，即給出公共因子的值。第46頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月例：人均要素變量因子分析。對(duì)我國32個(gè)省市自治區(qū)的要素狀況作因子分析。指標(biāo)體系中有如下指標(biāo)：X1：人口（萬人）X2：面積（萬平方公里）X3：GDP（億元）X4：人均水資源（立方米/人）X5：人均生物量（噸/人）X6：萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7：萬人擁有科學(xué)家、工程師數(shù)（人）

RotatedFactorPatternFACTOR1FACTOR2FACTOR3X1-0.21522-0.273970.89092X20.63973-0.28739-0.28755X3-0.157910.063340.94855X40.95898-0.01501-0.07556X50.97224-0.06778-0.17535X6-0.114160.98328-0.08300X7-0.110410.97851-0.07246第47頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3第48頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

高載荷指標(biāo)

因子命名

因子1X2；面積（萬平方公里）X4:人均水資源（立方米/人）X5:人均生物量（噸/人）自然資源因子

因子2X6：萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7：萬人擁有的科學(xué)家、工程師數(shù)（人）

人力資源因子

因子3

X1;人口（萬人）X3:GDP(億元)經(jīng)濟(jì)發(fā)展總量因子

第49頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月StandardizedScoringCoefficients

FACTOR1

FACTOR2

FACTOR3X10.05764

-0.06098

0.50391X20.22724

-0.09901

-0.07713X30.14635

0.12957

0.59715X40.47920

0.11228

0.17062X50.45583

0.07419

0.10129X60.05416

0.48629

0.04099X70.05790

0.48562

0.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7第50頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

前三個(gè)因子得分REGION

FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing?-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259第51頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月因子分析的數(shù)學(xué)模型為：原變量被表示為公共因子的線性組合，當(dāng)載荷矩陣旋轉(zhuǎn)之后，公共因子可以做出解釋，通常的情況下，我們還想反過來把公共因子表示為原變量的線性組合。因子得分函數(shù)：第52頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月可見，要求得每個(gè)因子的得分，必須求得分函數(shù)的系數(shù)，而由于p>m，所以不能得到精確的得分，只能通過估計(jì)。因子得分的計(jì)算方法：（1）運(yùn)用回歸分析思想求解（2）Bartlett（3）Anderson-rubin第53頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）運(yùn)用回歸分析思想求解第54頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月則，我們有如下的方程組：第55頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月j=1,2,…,m第56頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

注：共需要解m次才能解出所有的得分函數(shù)的系數(shù)。第57頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）Bartlett法(即：加權(quán)最小二乘法）把一個(gè)個(gè)體的p個(gè)變量的取值X*當(dāng)作因變量，把求因子解中得到的A作為自變量數(shù)據(jù)陣，對(duì)于這個(gè)個(gè)體在公因子上的取值f，當(dāng)作未知參數(shù)，而特殊因子的取值看作誤差e，于是得到如下的線性回歸模型：x*=Af+e，則稱未知參數(shù)f為取值為X*的因子得分。

最小二乘法第58頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（02）選擇分析變量

——選SPSS[Analyze]菜單中的（DataReduction）→（Factor）,出現(xiàn)【

FactorAnalysis】對(duì)話框；——在【

FactorAnalysis】對(duì)話框中左邊的原始變量中，選擇將進(jìn)行因子分析的變量選入（Variables）欄。第59頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（03）設(shè)置描述性統(tǒng)計(jì)量——在【

FactorAnalysis】框中選【

Descriptives】按鈕，出現(xiàn)【Descriptives】對(duì)話框；——選擇Initialsolution（未轉(zhuǎn)軸的統(tǒng)計(jì)量）選項(xiàng)——選擇KMO選項(xiàng)——點(diǎn)擊（Contiue）按鈕確定。第60頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（04）設(shè)置對(duì)因子的抽取選項(xiàng)

——在【

FactorAnalysis】框中點(diǎn)擊【Extraction】按鈕,出現(xiàn)【FactorAnalysis:Extraction】對(duì)話框；——在Method欄中選擇（Principalcomponents）選項(xiàng)；——在Analyze欄中選擇Correlationmatrix選項(xiàng)；——在Display欄中選擇Unrotatedfactorsolution選項(xiàng)；——在Extract欄中選擇Eigenvaluesover并填上1；——點(diǎn)擊（Contiue）按鈕確定，回到【

FactorAnalysis】對(duì)話框中。第62頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（05）設(shè)置因子轉(zhuǎn)軸——在【

FactorAnalysis】對(duì)話框中，點(diǎn)擊【Rotation】按鈕，出現(xiàn)【

FactorAnalysis:Rotation】（因子分析：旋轉(zhuǎn)）對(duì)話框。

——在Method欄中選擇Varimax（最大變異法）

——在Display欄中選擇Rotatedsolution（轉(zhuǎn)軸后的解）

——點(diǎn)擊（Contiue）按鈕確定，回到【

FactorAnalysis】對(duì)話框中。第65頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（06）設(shè)置因素分?jǐn)?shù)——在【

FactorAnalysis】對(duì)話框中，點(diǎn)擊【Scores】按鈕，出現(xiàn)【

FactorAnalysis:Scores】（因素分析：分?jǐn)?shù)）對(duì)話框。

——一般取默認(rèn)值。

——點(diǎn)擊（Contiue）按鈕確定，回到【

FactorAnalysis】對(duì)話框。第67頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月（07）設(shè)置因子分析的選項(xiàng)——在【

FactorAnalysis】對(duì)話框中，單擊【Options】按鈕，出現(xiàn)【

Fa