2021年湖北省孝感市漢川高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2021年湖北省孝感市漢川高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|=5，則弦AB的長(zhǎng)為（）A．10 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合|AF|=5，求出A的坐標(biāo)，然后求出AF的方程求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1，設(shè)A（x，y），則|AF|=x+1=5，故x=4，此時(shí)y=4，即A（4，4），則直線AF的方程為，即y=（x﹣1），代入y2=4x得4x2﹣17x+4=0，解得x=4（舍）或x=，則|BF|=+1=，則弦AB的長(zhǎng)為：．故選：B．2.甲乙兩位同學(xué)同住一小區(qū)，甲乙倆同學(xué)都在7：00～7：20經(jīng)過(guò)小區(qū)門口．由于天氣下雨，他們希望在小區(qū)門口碰面結(jié)伴去學(xué)校，并且前一天約定先到者必須等候另一人5分鐘，過(guò)時(shí)即可離開(kāi)．則他倆在小區(qū)門口碰面結(jié)伴去學(xué)校的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件對(duì)應(yīng)的集合是Ω={（x，y）|0≤x≤20，0≤y≤20}，集合對(duì)應(yīng)的面積是邊長(zhǎng)為20的正方形的面積S=20×20=400，而滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的集合是A═{（x，y）|}，由此能求出兩人能夠會(huì)面的概率．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件對(duì)應(yīng)的集合是Ω={（x，y）|0≤x≤20，0≤y≤20}集合對(duì)應(yīng)的面積是邊長(zhǎng)為20的正方形的面積S=20×20=400，而滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的集合是A═{（x，y）|}，作出可行域，得：

兩人能夠會(huì)面的概率是p==故選：D．3.若等于

（

） A．2 B．－2 C． D．參考答案：D略4.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為，體積為，則這個(gè)球的表面積是（

）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：C

解析：正四棱柱的底面積為，正四棱柱的底面的邊長(zhǎng)為，正四棱柱的底面的對(duì)角線為，正四棱柱的對(duì)角線為，而球的直徑等于正四棱柱的對(duì)角線，即，5.設(shè)點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是()A．－4≤k≤ B．－≤k≤4C．k≥或k≤－4 D．以上都不對(duì)參考答案：C6.現(xiàn)要制作一個(gè)圓錐形漏斗,其母線長(zhǎng)為t，要使其體積最大,

其高為（

）A.

B

.

C..

D.

參考答案：B略7.若，則復(fù)數(shù)=（

）A.

B．

C．

D．5參考答案：C8.橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為()A. B. C. D.

參考答案：B把y=1-x代入橢圓ax2+by2=1得ax2+b（1-x）2=1，整理得（a+b）x2-2bx+b-1=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，y1+y2=2-=∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）∴過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率k=∴故選B

9.設(shè)，若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)是()A．僅有最小值的奇函數(shù)B．既有最大值，又有最小值的偶函數(shù)C．僅有最大值的偶函數(shù)D．既有最大值，又有最小值的奇函數(shù)參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足.如果直線AF的斜率為,那么|PF|=（

）A.

B.8

C.

D.16參考答案：B拋物線的焦點(diǎn)F（2，0），直線AF的方程為，所以點(diǎn)、，從而|PF|=6+2=8

12.過(guò)橢圓：（a>b>0）的左頂點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B，是橢圓的右焦點(diǎn)，軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率e的取值范圍是

.參考答案：13.直線的傾斜角為_(kāi)______________。參考答案：14.（5分）某產(chǎn)品廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x萬(wàn)元）

2

3

4

5銷售額y（萬(wàn)元）

26

39

49

54根據(jù)上表可得回歸方程=x+中的為9.4，據(jù)此預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為_(kāi)________萬(wàn)元．參考答案：65.515.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中.則橢圓的離心率的取值范圍是

.參考答案：略16.如果△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，且，求△ABC的面積的最大值．參考答案：【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，再利用余弦定理求得，即可求得，利用余弦定理及基本不等式即可求得，再利用三角形面積格式即可得解【詳解】解：已知等式整理得：，即，利用正弦定理化簡(jiǎn)，即，∴，∵C為三角形的內(nèi)角，∴，∵，∴，∴，∴，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)．所以△ABC的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運(yùn)用以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題。17.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，AB的中點(diǎn)為M，則_______________.參考答案：3∵，，，的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)坐標(biāo)為，由空間中兩點(diǎn)間距離公式可得，故答案為3.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.家政服務(wù)公司根據(jù)用戶滿意程度將本公司家政服務(wù)員分為兩類，其中A類服務(wù)員12名，B類服務(wù)員x名．（Ⅰ）若采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取20名家政服務(wù)員參加技術(shù)培訓(xùn)，抽取到B類服務(wù)員的人數(shù)是12，求x的值；（Ⅱ）某客戶來(lái)公司聘請(qǐng)2名家政服務(wù)員，但是由于公司人員安排已經(jīng)接近飽和，只有3名A類家政服務(wù)員和2名B類家政服務(wù)員可供選擇．求該客戶最終聘請(qǐng)的家政服務(wù)員中既有A類又有B類的概率．參考答案：【考點(diǎn)】CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）由分層抽樣的性質(zhì)列出方程，能求出x．（Ⅱ）基本事件總數(shù)n==10，該客戶最終聘請(qǐng)的家政服務(wù)員中既有A類又有B類包含的基本事件個(gè)數(shù)m==6，由此能求出該客戶最終聘請(qǐng)的家政服務(wù)員中既有A類又有B類的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：=12，解得x=18，∴x=18．（Ⅱ）某客戶來(lái)公司聘請(qǐng)2名家政服務(wù)員，但是由于公司人員安排已經(jīng)接近飽和，只有3名A類家政服務(wù)員和2名B類家政服務(wù)員可供選擇，基本事件總數(shù)n==10，該客戶最終聘請(qǐng)的家政服務(wù)員中既有A類又有B類包含的基本事件個(gè)數(shù)m==6，該客戶最終聘請(qǐng)的家政服務(wù)員中既有A類又有B類的概率：p===．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分層抽樣和等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．19.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入到f（x）中得到切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出直線切線，即可求出切線方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0時(shí)x的值，分0＜a≤2和a＞2兩種情況討論函數(shù)的增減性分別得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，聯(lián)立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分兩種情況討論：（1）若0＜a≤2，則；當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增極大值減當(dāng)時(shí)，f（x）＞0，等價(jià)于即．解不等式組得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，則當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x

（﹣，0）0（0，）（，）f′（x）+0﹣0+f（x）增極大值減極小值增當(dāng)時(shí)，f（x）＞0等價(jià)于即解不等式組得或．因此2＜a＜5．綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0＜a＜5．20.若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意實(shí)數(shù)均有成立；②；③當(dāng)時(shí)，都有成立。（1）求，的值；（2）求證：為上的增函數(shù)（3）求解關(guān)于的不等式.參考答案：21.如圖，斜率為1的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求拋物線方程；（2）求的最大值.參考答案：（1）由條件知，則，消去y得：①，則，由拋物線定義，又因?yàn)?，即，則拋物線方程為.(2)由(1)知直線AB的方程為y=x—1，,設(shè),則到距離,因在直線的同側(cè),所以,則.

22.（本題滿分14分）已知數(shù)列的前