一元二次方程練習(xí)題 (含答案)

一元二次方程練習(xí)題(含答案)

一元二次方程練習(xí)題一、填空題（每空5分，共30分）1、關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x^2+3x+m^2-4=0有一個解是1，則m=3或-1。2、已知關(guān)于x的一元二次方程x^2-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k>1。3、已知圓錐底面圓的半徑為6cm，它的側(cè)面積為60πcm^2，則這個圓錐的高是10cm。4、已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x^2-2ax+a^2+a-2=0的兩實根，那么m+n的最大值是2a。5、若α、β是一元二次方程x^2+2x-6=0的兩根，則α^2+β^2=32。6、一元二次方程x^2+mx+2m=0（m≠0）的兩個實根分別為x1，x2，則m=-x1-x2。二、選擇題（每空5分，共35分）7、下列選項中一元二次方程的是C．2x^2+x-4=0。8、一元二次方程x^2-2x=0的根是A．x1=0，x2=2。9、將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積為300cm^3，則原鐵皮的邊長為14cm。10、某服裝店原計劃按每套200元的價格銷售一批保暖內(nèi)衣，但上市后銷售不佳，為減少庫存積壓，兩次連續(xù)降價打折處理，最后價格調(diào)整為每套128元．若兩次降價折扣率相同，則每次降價率為20%。11、如圖，在長為33米寬為20米的矩形空地上修建同樣寬的道路（陰影部分），余下的部分為草坪，要使草坪的面積為510平方米，則道路的寬為3米。12、已知直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程x^2-10x+16=0的兩根，則此直角三角形的斜邊長為8。13、要組織一次籃球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，計劃安排15場比賽，設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，則x(x-1)/2=15。14、由一元二次方程x^2+px+q=0的兩個根為p、q，則p+q=-p，pq=q。15、方程$x^2-2x-3=0$的兩根分別為$x_1$和$x_2$，且$x_1<x_2$，則$x_1<x<-1$或$x>3$。16、方程$x^2-(m+2)x+m=0$的兩根都是正整數(shù)，則$m=5$。17、已知關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有兩個實數(shù)根$x_1$和$x_2$，其中$a>0$。（1）$b^2-4ac\ge0$，即$a>0$且$c\le\frac{b^2}{4a}$。（2）當(dāng)$b=2\sqrt{ac}$時，$x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{2\sqrt{ac}}{a}$。18、如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，點P從點A出發(fā)以1cm/s的速度移動到點B；點P出發(fā)$t$秒后，點P、A的距離是點P、C距離的$k$倍。解：設(shè)$P$點在$t$秒后到達(dá)$M$點，則$AM=t$，$PM=3-t$。由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$，$PC=\sqrt{AC^2-AP^2}=2\sqrt{6}$。又因為$\frac{AM}{PM}=k$，所以$t=\frac{3k}{k+1}$。因此，$k=\frac{5\sqrt{6}-6}{3}$。19、某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的進(jìn)價與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價均降低0.1萬元/部，月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元。（1）當(dāng)該公司當(dāng)月售出3部汽車時，每部汽車的進(jìn)價為26萬元。（2）設(shè)該公司當(dāng)月售出$x$部汽車，則每部汽車的進(jìn)價為$27-0.1(x-1)$萬元。銷售利潤為$(28-27+0.1(x-1))x=0.1x^2+0.9x$萬元。當(dāng)售價為28萬元/部時，每部汽車的利潤為1萬元，所以$x^2+9x-120=0$，解得$x=3$或$x=-12$，舍去負(fù)數(shù)解，所以該公司需要售出3部汽車。20、某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)每盆花的盈利與每盆花中花苗的株數(shù)有如下關(guān)系：每盆植入花苗$n$株時，平均單株盈利為$5-\frac{1}{2}(n-4)$元；要使每盆花的盈利為24元，且盡可能地減少成本，則每盆花應(yīng)種植花苗4株。21、一個足球被從地面向上踢出，它距地面高度可以用二次函數(shù)$h(t)=4.9t^2+vt$刻畫，其中$t$表示足球被踢出后經(jīng)過的時間。（1）解方程$h(t)=0$，得到足球落地時的時間$t_0=\frac{-v}{9.8}$，其中$v$表示足球被踢出時的初速度。實際意義是足球從地面上踢出后經(jīng)過$t_0$秒后落地。（2）足球到達(dá)最高點時，$h'(t)=0$，即$t=\frac{-v}{9.8\times2}$，此時高度為$h(\frac{-v}{9.8\times2})=\frac{v^2}{19.6}$。22、隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加。據(jù)統(tǒng)計，某小區(qū)2014年底擁有家庭轎車64輛，2016年底家庭轎車的擁有量達(dá)到100輛。（1）設(shè)該小區(qū)2014年底到2016年底家庭轎車擁有量的年平均增長率為$r$，則$64(1+r)^2=100$，解得$r=\frac{3}{8}$。所以到2017年底家庭轎車將達(dá)到$100(1+\frac{3}{8})=137.5$輛，約為138輛。（2）設(shè)室內(nèi)車位數(shù)量為$x$，露天車位數(shù)量為$y$，則$x+y=15$，$5000x+1000y\le150000$，$y\ge2x$。解得$x\le6$，所以該小區(qū)最多可建室內(nèi)車位6個。【分析】根據(jù)根的判別式，當(dāng)b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根．將給定的方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即x2-6x+k=0，根據(jù)題意可得b2-4ac=36-4k，因為方程有兩個實數(shù)根，所以36-4k>0，解得k<9．【解答】解：將x2-6x+k=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2-2·3x+k=0，所以a=1，b=-6，c=k．因為方程有兩個實數(shù)根，所以b2-4ac>0，即36-4k>0，解得k<9．故答案為：k＜9．【點評】此題考查了根的判別式的應(yīng)用，需要將方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式才能進(jìn)行計算。3、1/2?！究键c】解一元二次不等式．【分析】解不等式的關(guān)鍵是要將x的范圍確定下來，由題意可知x2-2x-3>0，即(x-3)(x+1)>0，因此x的范圍為(-∞,-1)U(3,+∞)，在該范圍內(nèi)，x的取值可以是小于-1或大于3的任意實數(shù)，也可以是-1到3之間的任意實數(shù)，因此1/2是符合要求的解．【解答】解：將x2-2x-3>0化為(x-3)(x+1)>0，得x∈(-∞,-1)U(3,+∞)．因此1/2∈(-∞,-1)U(3,+∞)且符合不等式，故答案為：1/2．【點評】此題考查了解一元二次不等式的方法，需要注意將不等式化為因式的形式后再確定x的范圍。4、4?！究键c】解一元二次不等式．【分析】將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2-8x+12<0，因為a>0，所以開口向上，根據(jù)一元二次不等式的解法，首先求出方程x2-8x+12=0的兩個根，即x1=2，x2=6，然后根據(jù)函數(shù)圖像的凹凸性質(zhì)，將x軸分為三個區(qū)間，即(-∞,2)，(2,6)，(6,+∞)，在每個區(qū)間內(nèi)判斷不等式的符號，最后得到x∈(2,4)．【解答】解：將x2-8x+12<0化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2-2·4x+3·4<0，所以a=1，b=-8，c=12．因為a>0，所以開口向上，首先求出方程x2-8x+12=0的兩個根，即x1=2，x2=6．將x軸分為三個區(qū)間，即(-∞,2)，(2,6)，(6,+∞)，在每個區(qū)間內(nèi)判斷不等式的符號，得到x∈(2,4)．故答案為：4．【點評】此題考查了解一元二次不等式的方法，需要注意先求出方程的根再判斷符號，最后確定x的范圍。5、10。【考點】解一元二次不等式．【分析】將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2-10x+25<15，即x2-10x+10<0，因為a>0，所以開口向上，根據(jù)一元二次不等式的解法，首先求出方程x2-10x+10=0的兩個根，即x1=5-√5，x2=5+√5，然后根據(jù)函數(shù)圖像的凹凸性質(zhì)，將x軸分為三個區(qū)間，即(-∞,5-√5)，(5-√5,5+√5)，(5+√5,+∞)，在每個區(qū)間內(nèi)判斷不等式的符號，最后得到x∈(5-√5,5+√5)．【解答】解：將x2-10x+25<15化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2-2·5x+10<0，所以a=1，b=-10，c=10．因為a>0，所以開口向上，首先求出方程x2-10x+10=0的兩個根，即x1=5-√5，x2=5+√5．將x軸分為三個區(qū)間，即(-∞,5-√5)，(5-√5,5+√5)，(5+√5,+∞)，在每個區(qū)間內(nèi)判斷不等式的符號，得到x∈(5-√5,5+√5)．故答案為：10．【點評】此題考查了解一元二次不等式的方法，需要注意先求出方程的根再判斷符號，最后確定x的范圍。6、-2。【考點】解一元二次不等式．【分析】將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得3x2+6x-15>0，因為a>0，所以開口向上，根據(jù)一元二次不等式的解法，首先求出方程3x2+6x-15=0的兩個根，即x1=-2，x2=+∞，然后根據(jù)函數(shù)圖像的凹凸性質(zhì)，將x軸分為兩個區(qū)間，即(-∞,-2)，(-2,+∞)，在每個區(qū)間內(nèi)判斷不等式的符號，最后得到x∈(-∞,-2)U(1,+∞)．【解答】解：將3x2+6x-15>0化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得3(x2+2x-5)>0，所以a=3，b=6，c=-15．因為a>0，所以開口向上，首先求出方程3x2+6x-15=0的兩個根，即x1=-2，x2=+∞．將x軸分為兩個區(qū)間，即(-∞,-2)，(-2,+∞)，在每個區(qū)間內(nèi)判斷不等式的符號，得到x∈(-∞,-2)U(1,+∞)．故答案為：-2．【點評】此題考查了解一元二次不等式的方法，需要注意先求出方程的根再判斷符號，最后確定x的范圍。7、-1?！究键c】解一元二次不等式．【分析】將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2+2x-3<0，因為a>0，所以開口向上，根據(jù)一元二次不等式的解法，首先求出方程x2+2x-3=0的兩個根，即x1=-3，x2=1，然后根據(jù)函數(shù)圖像的凹凸性質(zhì)，將x軸分為三個區(qū)間，即(-∞,-3)，(-3,1)，(1,+∞)，在每個區(qū)間內(nèi)判斷不等式的符號，最后得到x∈(-∞,-3)U(-1,1)．【解答】解：將x2+2x-3<0化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2+2x-3<0，所以a=1，b=2，c=-3．因為a>0，所以開口向上，首先求出方程x2+2x-3=0的兩個根，即x1=-3，x2=1．將x軸分為三個區(qū)間，即(-∞,-3)，(-3,1)，(1,+∞)，在每個區(qū)間內(nèi)判斷不等式的符號，得到x∈(-∞,-3)U(-1,1)．故答案為：-1．【點評】此題考查了解一元二次不等式的方法，需要注意先求出方程的根再判斷符號，最后確定x的范圍。二、選擇題8、B?！究键c】一元二次方程的解．【分析】由題意可列出方程x2-5x+6=0，將其因式分解為(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3，因此選B．【解答】解：將x2-5x+6=0因式分解為(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3，故選B．【點評】此題考查了一元二次方程的解法，需要將方程因式分解后再求解。9、D?！究键c】二次函數(shù)的圖像．【分析】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開口向上當(dāng)且僅當(dāng)a>0，因此選D．【解答】解：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開口向上當(dāng)且僅當(dāng)a>0，因此選D．【點評】此題考查了二次函數(shù)的圖像，需要掌握二次函數(shù)開口的判斷方法。10、B?！究键c】根的判別式．【分析】根據(jù)根的判別式，當(dāng)b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根．將給定的方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即x2-6x+9=0，根據(jù)根的判別式可得b2-4ac=0，因此方程有兩個相等的實數(shù)根，即x=3，因此選B．【解答】解：將x2-6x+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得(x-3)2=0，解得x=3，故選B．【點評】此題考查了根的判別式的應(yīng)用，需要將方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式才能進(jìn)行計算。11、A。【考點】解一元二次不等式．【分析】將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得x2-10x+25<16，即(x-5)2<16，因此x的范圍為5-4<x<5+4，即1<x<9，因此選A．【解答】解：將x2-10x+25<16化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得(x-5)2<16，因此x的范圍為5-4<x<5+4，即1<x<9，故選A．【點評】此題考查了解一元二次不等式的方法，需要將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式后再確定x的范圍。12、B?！究键c】二次函數(shù)的圖像．【分析】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開口向下當(dāng)【分析】根據(jù)題意，可以列出一元二次方程，然后根據(jù)定義判斷其正確性。選項中只有D符合一元二次方程的定義，因為它是二次項系數(shù)為0的一元二次方程。其他選項不符合一元二次方程的定義，或者是一元一次方程、或者是一元三次方程?！窘獯稹窟xD。【點評】這道題考查了對一元二次方程的定義的理解和判斷能力。需要注意的是，選項中可能會出現(xiàn)其他類型的方程，需要認(rèn)真分析區(qū)分。本題考查了一元二次方程的應(yīng)用。題目中要求求解道路的寬度，可以設(shè)道路的寬為x。由題意可得，道路的面積應(yīng)該是相等的，因此可以列出方程20x+33x-x^2=20*33-510?；喓蟮玫絰^2-53x+510=0，解得x1=10，x2=43。因為道路的寬度不可能為43，所以正確答案為x=10。本題考查了解一元二次方程的因式分解法。首先將方程化簡為x(x-2)=0，得到兩個一元一次方程，求解得到x1=0，x2=2。因此，正確答案為D。本題考查了一元二次方程的應(yīng)用。題目中要求求解正方形鐵皮的邊長，可以設(shè)正方形鐵皮的邊長為x。根據(jù)題意，可以列出方程(x-6)^2*3=300，化簡后得到x^2-12x+34=0，解得x1=16，x2=-2。因為邊長不可能為負(fù)數(shù)，所以正確答案為x=16。本題考查了一元二次方程的應(yīng)用。題目中要求求解每次降價的百分率，可以設(shè)每次降價的百分率為x。根據(jù)題意，可以列出方程200(1-x)^2=128，化簡后得到x^2-0.5x+0.2=0，解得x1=0.2，x2=0.3。因為每次降價的百分率不可能大于1，所以正確答案為x=0.2。本題考查了一元二次方程的應(yīng)用。題目中要求求解道路的寬度，可以設(shè)道路的寬為x。根據(jù)題意，可以列出方程20x+33x-x^2=20*33-510，化簡后得到x^2-53x+510=0，解得x1=10，x2=43。因為道路的寬度不可能為43，所以正確答案為x=10。解析：12、根據(jù)題意列出方程，解得道路寬為3米。13、根據(jù)題意列出方程，解得每支球隊需要與其他球隊賽3場，因此每支球隊需要賽4場比賽，故選B。14、根據(jù)題意列出方程，解得球隊總數(shù)為5，故選C。15、無法回答，題目未給出。16、因式分解得：$(x-2)(x-5)=0$，因此$x=2$或$x=5$。由題意可得$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{2}$，代入$x=2$或$x=5$可得兩組解，分別為$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{10}$。因為兩根都是正整數(shù)，所以只有$x=5$符合要求，因此$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{10}=\frac{13}{30}$。17、（1）根的判別式$\Delta\geq0$，因此$(2m-1)^2-4m^2\geq0$，化簡得$m\leq\frac{1}{4}$。（2）當(dāng)$x_1+x_2=0$時，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得$x_1x_2=\frac{m^2}{1}=m^2$，因此$x_1-x_2=2\sqrt{x_1x_2}=0$，解得$m=0$。當(dāng)$x_1-x_2=0$時，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得$x_1+x_2=-2(2m-1)$，因此$2m-1=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。綜上所述，$m=0$或$m=\frac{1}{2}$。18、設(shè)點P出發(fā)$x$秒后，點P、A的距離是點P、C的距離的2倍，則$PA=2PC$，即$\sqrt{(x-9)^2+16}=\sqrt{(x-3)^2+1}\times2$，化簡得$x^2-26x+117=0$，解得$x=9$或$x=17$。因為題目要求$x<10$，所以$x=9$。因此，點P出發(fā)9秒后，點P、A的距離是點P、C的距離的2倍。x=2，代入原式得最高點高度為h=9.8米．答：足球離地0秒和4秒時分別為起點和落點，足球的最高點高度為9.8米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，找出合適的未知數(shù)，列出方程，求解方程并解釋答案的含義．同時，需要注意題目中給出的單位，如時間單位為秒，高度單位為米等．經(jīng)過，足球達(dá)到了它的最高點，最高點的高度是22.125米。解題步驟如下：（1）根據(jù)題意，得到以下方程：22.125=-16t^2+30t+2.5化簡得：8t^2-15t+0.8125=0（2）根據(jù)一元二次方程求解公式，得到t的值為0.625秒或1.25秒。（3）將t的值帶入原方程，得到最高點的高度分別為22.125米和21米。因此，經(jīng)過，足球達(dá)到了它的最高點，最高點的高度是22.125米。解題步驟如下：（1）根據(jù)題意，得到以下方程：3x-4y=122x+5y=5（2）使用消元法，將方程化簡為：x=10-(4/3)y將x的表達(dá)式代入第二個方程，得到：2(10-(4/3)y)+5y=5化簡得：y=2將y的值代入x的表達(dá)式，得到：x=2因此，方程的解為x=2，y=2。解題步驟如下：（1）由題意得：x^2-7x-18=0（2）使用因式分解法，將方程化簡為：(x-9)(x+2)=0（3）解