2023屆上海市莘莊中學數學高二第二學期期末預測試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以下說法錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．若命題存在，使得，則:對任意，都有D．若且為假命題，則均為假命題2．指數函數是增函數，而是指數函數，所以是增函數，關于上面推理正確的說法是（）A．推理的形式錯誤 B．大前提是錯誤的 C．小前提是錯誤的 D．結論是真確的3．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．4．甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶35．某個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－87．現有男、女學生共8人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數學、物理、化學三科競賽，共有90種不同方案，那么男、女生人數分別是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人8．已知為虛數單位，，則復數的虛部為()A． B．1 C． D．9．設袋中有大小相同的80個紅球、20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（）A． B． C． D．10．已知,則()A． B． C． D．11．甲、乙兩支女子曲棍球隊在去年的國際聯(lián)賽中，甲隊平均每場進球數為3.2，全年比賽進球個數的標準差為3；乙隊平均每場進球數為1.8，全年比賽進球數的標準差為0.3，下列說法中，正確的個數為（）①甲隊的進球技術比乙隊好；②乙隊發(fā)揮比甲隊穩(wěn)定；③乙隊幾乎每場都進球；④甲隊的表現時好時壞.A．1 B．2 C．3 D．412．在圓中，弦的長為4，則（）A．8 B．-8 C．4 D．-4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個總體為：、、、、，且總體平均數是，則這個總體的方差是______．14．從、、、、中取個不同的數組成一個三位數，且這個數大于，共有_____不同的可能．15．已知某運動隊有男運動員名，女運動員名，若現在選派人外出參加比賽，則選出的人中男運動員比女運動員人數多的概率是_________.16．函數，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正整數,.(1)若的展開式中,各項系數之和比二項式系數之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.18．（12分）某研究性學習小組為了調查研究學生玩手機對學習的影響，現抽取了30名學生，得到數據如表：玩手機不玩手機合計學習成績優(yōu)秀8學習成績不優(yōu)秀16合計30已知在全部的30人中隨機抽取1人，抽到不玩手機的概率為.（1）請將2×2列聯(lián)表補充完整；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學習有影響；（3）現從不玩手機，學習成績優(yōu)秀的8名學生中任意選取兩人，對他們的學習情況進行全程跟蹤，記甲、乙兩名學生被抽到的人數為X，求X的分布列和數學期望．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．19．（12分）選修4一5:不等式選講已知函數，.(1)當時,解不等式；(2)若對任意,存在,使得成立,求實數的取值范圍.20．（12分）設函數．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．21．（12分）已知函數的定義域為.（1）求實數的取值范圍；（2）設實數為的最大值，若實數滿足，求的最小值.22．（10分）已知正四棱柱的底面邊長為2，.（1）求該四棱柱的側面積與體積；（2）若為線段的中點，求與平面所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據逆否命題定義、命題否定的定義分別判斷出正確；解方程得到解集和的包含關系，結合充要條件的判定可知正確；根據復合命題的真假性可知錯誤，由此可得結果.【詳解】選項：根據逆否命題的定義可知：原命題的逆否命題為“若，則”，可知正確；選項：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正確；選項：根據命題的否定可知對任意，都有，可知正確；選項：由且為假命題，則至少有一個為假命題，因此不正確.本題正確選項：【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.2、B【解析】分析:指數函數是R上的增函數，這個說法是錯誤的，要根據所給的底數的取值不同分類說出函數的不同單調性，有演繹推理的定義可知，大前提錯誤。詳解：指數函數是R上的增函數，這個說法是錯誤的，若,則是增函數，若,則是減函數所以大前提是錯誤的。所以B選項是正確的。點睛：本題主要考查指數函數的單調性和演繹推理，意在考查三段論的推理形式和指數函數的圖像性質，屬于基礎題。3、D【解析】

先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設，分別為中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【點睛】本題考查學生空間想象能力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關系，快速得到側棱長，進而補體成正方體解決．4、A【解析】

設立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案?！驹斀狻吭O立方體為以2為邊長的正方體，則，，所以【點睛】設立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。5、C【解析】

根據三視圖可知幾何體為三棱錐，根據三棱錐體積公式直接求得結果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為高為的三棱錐三棱錐體積：本題正確選項：【點睛】本題考查棱錐體積的求解，關鍵是能夠根據三視圖確定幾何體的底面積和高，屬于基礎題.6、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.7、B【解析】試題分析：設男學生有x人，則女學生有8-x人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數學、物理、化學三科競賽，共有90種不同方案,，∴x(x-1)(8-x)=30=2×3×5，∴x=3,故選B．考點：排列、組合的實際應用．8、A【解析】

給兩邊同乘以，化簡求出，然后可得到其虛部【詳解】解：因為，所以所以，所以虛部為故選：A【點睛】此題考查復數的運算和復數的有關概念，屬于基礎題9、D【解析】本題是一個古典概型，∵袋中有80個紅球20個白球，若從袋中任取10個球共有種不同取法，而滿足條件的事件是其中恰有6個紅球，共有種取法，由古典概型公式得到P=，本題選擇B選項.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數．(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數原理的正確使用.10、D【解析】分析：先根據誘導公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得結果.詳解：因為，所以,因此，選D.點睛：應用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數名稱達到減少函數種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.11、D【解析】分析：根據甲隊比乙隊平均每場進球個數多，得到甲對的技術比乙隊好判斷①；根據兩個隊的標準差比較，可判斷甲隊不如乙隊穩(wěn)定；由平均數與標準差進一步可知乙隊幾乎每場都進球，甲隊的表現時好時壞.詳解：因為甲隊每場進球數為，乙隊平均每場進球數為，甲隊平均數大于乙隊較多，所以甲隊技術比乙隊好，所以①正確；因為甲隊全年比賽進球個數的標準差為，乙隊全年進球數的標準差為，乙隊的標準差小于甲隊，所以乙隊比甲隊穩(wěn)定，所以②正確；因為乙隊的標準差為，說明每次進球數接近平均值，乙隊幾乎每場都進球，甲隊標準差為，說明甲隊表現時好時壞，所以③④正確，故選D.點睛：本題考查了數據的平均數、方差與標準差，其中數據的平均數反映了數據的平均水平，方差與標準差反映了數據的穩(wěn)定程度，一般從這兩個方面對數據作出相應的估計，屬于基礎題.12、A【解析】分析：根據平面向量的數量積的定義，老鷹圓的垂徑定理，即可求得答案.詳解：如圖所示，在圓中，過點作于，則為的中點，在中，，可得，所以，故選A.點睛：本題主要考查了平面向量的數量積的運算，其中解答中涉及到圓的性質，直角三角形中三角函數的定義和向量的數量積的公式等知識點的綜合運用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用總體平均數為求出實數的值，然后利用方差公式可求出總體的方差.【詳解】由于該總體的平均數為，則，解得.因此，這個總體的方差為.故答案為：.【點睛】本題考查方差的計算，利用平均數和方差公式進行計算是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、【解析】

由題意得知，三位數首位為、、中的某個數，十位和個位數沒有限制，然后利用分步計數原理可得出結果.【詳解】由于三位數比大，則三位數首位為、、中的某個數，十位數和個位數沒有限制，因此，符合條件的三位數的個數為，故答案為.【點睛】本題考查排列組合綜合問題，考查分步計數原理的應用，本題考查數字的排列問題，解題時要弄清楚首位和零的排列，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、.【解析】

將所求事件分為兩種情況：男女，男，這兩個事件互斥，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率.【詳解】事件“選出的人中男運動員比女運動員人數多”包含事件“男女”和事件“男”，由古典概型概率公式和互斥事件的概率加法公式可知，事件“選出的人中男運動員比女運動員人數多”的概率為，故答案為.【點睛】本題考查古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式的應用，解題時要將所求事件進行分類討論，結合相關公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】

首先將題意轉化為函數與恰有兩個交點，當和時，利用函數的圖象易得交點個數.當，利用表示直線的斜率，結合圖象即可求出的范圍.【詳解】由題知：函數恰有兩個零點.等價于函數與恰有兩個交點.當時，函數與恰有一個交點，舍去.當時，函數與恰有兩個交點.當時，如圖設與的切點為，，，，則切線方程為，原點代入，解得，.因為函數與恰有兩個交點，由圖知.綜上所述：或.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數的零點問題，分類討論和數形結合為解決本題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)或.【解析】

(1)令求出的展開式中各項系數和,結合二項式系數和公式,可由題意列出方程,解方程即可求出的值(2)根據數列最大項的定義,可以列出不等式組,解這個不等式組即可求出的值.【詳解】(1)令,所以的展開式中各項系數和為：,二項式系數和為：,由題意可知：或(舍去),所以；(2)二項式的通項公式為：.因為是中的最大項,所以有：,因此或.【點睛】本題考查了二項式系數之和公式和展開式系數之和算法,考查了二項式展開式系數最大值問題,考查了數學運算能力.18、（1）填表見解析（2）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學習有影響（3）見解析【解析】

（1）由題意30人中，不玩手機的人數為10，由題意能將2×2列聯(lián)表補充完整．（2）求出K210＞7.879，從而能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學習有影響．（3）由題意得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【詳解】（1）由題意30人中，不玩手機的人數為：3010，由題意將2×2列聯(lián)表補充完整如下：玩手機不玩手機合計學習成績優(yōu)秀4812學習成績不優(yōu)秀16218合計201030（2）K210＞7.879，∴能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學習有影響．（3）由題意得X的可能取值為0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），∴X的分布列為：X012P∴E（X）＝01．【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用，考查概率、離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法及應用，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、（1）；（2）.【解析】分析：（1）當時，，分段討論即可；（2）由題意可得函數的值域是的值域的子集，從而求得實數的取值范圍.詳解：（1)當時，，或，或，解得.即不等式解集為.(2)，當且僅當時，取等號，的值域為.又在區(qū)間上單調遞增.即的值域為，要滿足條件，必有，解得的取值范圍為點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，絕對值三角不等式的應用，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）先求函數定義域，由導數大于0，得增區(qū)間；導數小于0，得減區(qū)間；（2）由題意可得即證lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的單調性可得lnx＜x﹣1；設F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出單調性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；【詳解】（1）由題設，的定義域為，，令，