材料彈塑性及有限元

材料彈塑性基礎(chǔ)主講人:劉擁軍西南交通大學(xué)材料成型及控制工程教研室二○○八年十二月聯(lián)系方式：

辦公室：87600726；手機(jī)電郵：lyjlllxlll@；網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)：/page/index.jsp?UserName=6370想，要壯志凌云！

學(xué)，要腳踏實(shí)地！

是研究物體在外力作用下和溫度變化時(shí)所引起的應(yīng)力和變形，以及由變形所產(chǎn)生的位移的一門學(xué)科。彈性力學(xué)所研究的是物體在彈性變形階段的力學(xué)問題。彈性力學(xué)不但能解決材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)中的問題，而且能解決它們所不能解決的問題，其研究范圍更為廣泛，方法更加精確。第1章緒論§1-1彈性力學(xué)的內(nèi)容和研究方法一、彈性力學(xué)1、研究對(duì)象材料力學(xué)的研究對(duì)象主要是桿件，彈性力學(xué)的研究對(duì)象，除桿件以外，還包括板、殼以及實(shí)體（例如滾珠）等。2、研究的方法在材料力學(xué)中研究梁的彎曲時(shí)，引用了平面截面假設(shè)，即變形前的平面截面在變形后仍保持為平面。二、材料力學(xué)與彈性力學(xué)之間的區(qū)別在彈性力學(xué)里就不作平面截面假設(shè)，而是從變形的連續(xù)性出發(fā)建立幾何方程和變形協(xié)調(diào)條件，即變形前的連續(xù)物體、變形后仍保持連續(xù)，不發(fā)生重疊現(xiàn)象或出現(xiàn)裂紋情況。因此，在大多數(shù)的情況下，物體變形后為了保持連續(xù)性，原來的平面截面就不再保持為平面。彈性力學(xué)研究平衡是以構(gòu)件內(nèi)任一微小單元體為對(duì)象，建立平衡微分方程，并同時(shí)建立微元體間的變形協(xié)調(diào)條件。這樣的研究方法，反映了彈性體變形的普遍規(guī)律，所得的結(jié)果更符合實(shí)際情況。3、分析對(duì)象圖1-2材料力學(xué)在研究構(gòu)件的平衡時(shí)，是用假想截面從構(gòu)件中切截出一個(gè)分離體來考慮，因而只能保證整體平衡，而不能保證構(gòu)件各微小部分的平衡。（1）和材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)一起，綜合地、不同層次地解決各類工程實(shí)際問題；（2）校核初等理論所得出公式的可靠性，精確性以及適用范圍；（3）為后繼課程提供基本方程和研究方法。三、彈性力學(xué)的基本任務(wù)1、假設(shè)物體是連續(xù)的：即假設(shè)物體整個(gè)體積內(nèi)毫無空隙地都充滿著介質(zhì)。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，物體內(nèi)的一些物理量，例如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等，才可能是連續(xù)的；2、假設(shè)物體是均勻的：即假設(shè)整個(gè)物體由同一性能材料所組成的，即各點(diǎn)的物理性質(zhì)，如E、v等不隨坐標(biāo)不同而改變。3、

假設(shè)物體是各向同性的即認(rèn)為材料沿各個(gè)方向的力學(xué)性能相同。即認(rèn)為某一點(diǎn)沿各個(gè)方向的力學(xué)性質(zhì)E,v等都相同；4、

假設(shè)物體是完全彈性的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，即符合虎克定律。§1-2彈性力學(xué)的基本假設(shè)5、小變形假設(shè)即認(rèn)為物體在外力作用下各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于其本身的幾何尺寸，而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣，在建立物體變形以后的平衡方程時(shí)，就可以用變形以前的幾何尺寸來代替變形以后的尺寸。此外，物體的變形和各點(diǎn)的位移表達(dá)式中二階微量可以略去不計(jì)，從而使得幾何變形線性化；6、

假設(shè)物體處于自然狀態(tài)即假設(shè)物體無初應(yīng)力。不考慮物體在制造和加工過程（鑄造、焊接、碾壓、鍛壓等）中的初應(yīng)力。彈性力學(xué)中經(jīng)常用到的基本概念有外力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移。作用在物體的外力可以分為體積力和表面力，簡(jiǎn)稱為體力和面力。1、體力分布在物體體積內(nèi)的力，如重力、慣性力、電磁力等。它在坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz上的投影稱為體力分量X,Y,Z,以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。它們的因次是[力][長(zhǎng)度]－3。2、面力是分布在物體表面上的力，例如流體壓力、物體表面接觸力等。它在坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz上的投影稱為面力，分量X,Y,Z,以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。它們的因次是[力][長(zhǎng)度]－2?！?-3規(guī)定的符號(hào)3、應(yīng)力單位面積上的內(nèi)力,因次是[力][長(zhǎng)度]－2。正應(yīng)力

剪應(yīng)力4、正面

截面上的外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)截面叫正面。正面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?；沿坐?biāo)軸反方向?yàn)樨?fù)。5、負(fù)面

截面上的外法線沿著坐標(biāo)軸的反方向，這個(gè)截面叫負(fù)面。負(fù)面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸反方向?yàn)檎?；沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。

對(duì)于正應(yīng)力說來,正為拉應(yīng)力，負(fù)為壓應(yīng)力；對(duì)于剪應(yīng)力說來，沒有正與負(fù)之分.6、變形就是形狀的改變，物體的變形可以歸結(jié)為長(zhǎng)度的改變和角度的改變。為了分析物體在其某一點(diǎn)P的應(yīng)變狀態(tài)，在這一點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz的正方向取三個(gè)微小線段PA,PB,PC,如圖1-4。物體變形后，各線段的每單位長(zhǎng)度的伸縮，稱為線應(yīng)變，線應(yīng)變以伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。各線段之間的直角的改變，用弧度表示，稱為剪應(yīng)變，剪應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，反之為負(fù)。線應(yīng)變和剪應(yīng)變都是無因次的數(shù)量。圖1-47、位移

就是位置的移動(dòng)。物體內(nèi)任一點(diǎn)P，變形后移動(dòng)到點(diǎn)（見圖1-4），P點(diǎn)的位移，用它在Ox,Oy,Oz三軸上的投影u,v,w來表示，以沿坐標(biāo)軸正方向的為正，反之為負(fù)。

u,v,w稱為該點(diǎn)的位移分量。位移及其分量的因次是[長(zhǎng)度]。物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量，都是隨著該點(diǎn)的位置而變動(dòng)，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。第2章平面問題的基本理論任何彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，所以實(shí)際的彈性力學(xué)問題都是空間問題。但對(duì)于某種特殊形狀的彈性體、受有某種特殊外力，就可以將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題處理，使分析和計(jì)算工作量大為簡(jiǎn)化，而又可得到滿足一定的工程精度的要求?！?-1平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題設(shè)有很薄的等厚度平板形式的彈性體，如圖2-1所示。只在板邊上作用有平行于板面，并且沿板厚均勻分布的面力。體力也平行于板面并且不沿厚度變化。例如平面鏈片、板式吊鉤、梁腹板、高梁、薄圓環(huán)、旋轉(zhuǎn)圓盤等，就屬于此類問題。

設(shè)薄板的厚度為h，以薄板的中面為xOy面，Oz軸垂直于中面。

圖2-1一、平面應(yīng)力問題因?yàn)榘搴鼙?，外力沿厚度均勻分布，?yīng)力沿板厚又是連續(xù)分布的，所以可認(rèn)為在整個(gè)薄板的所有各點(diǎn)都存在

σz=0,τzx=0,τzy=0

注意到剪應(yīng)力的互等定理，因此τxz=0,τyz=0。這樣，只剩下平行xOy平面的三個(gè)應(yīng)力分量：

σx,σy,τxy=τyx

同時(shí)，也因?yàn)榘搴鼙。@三個(gè)應(yīng)力分量，以及所有的需要考慮的應(yīng)變分量和位移分量，都可以認(rèn)為沿板厚是不變的，即它們只是x和y的函數(shù)，所以這種問題稱為平面應(yīng)力問題。二、平面應(yīng)變問題

設(shè)有等截面長(zhǎng)柱體形彈性體，其受力的特點(diǎn)是：面力和體力都平行于橫截面，且沿長(zhǎng)度（Oz軸）方向不變化，支承情況也沿長(zhǎng)度方向不變化。例如厚壁圓筒、高壓管道、滾柱、水壩等，見圖2-2。假如圖2-2所示長(zhǎng)柱體，兩端因受約束而在OZ軸方向不能移動(dòng)則此柱體各橫截面上的位移分量w均為零，且位移分量u與v僅為坐標(biāo)x,y的函數(shù)，與OZ軸無關(guān)，即

u=u(x,y),v=v(x,y),w=0這類問題稱為平面位移問題，也稱為平面應(yīng)變問題。在這種情況下，圖2-2所示柱體的每一橫截面都可視為對(duì)稱面，即τzx=0，τzy=0。根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，可知τxz=0，τyz=0。由于Z方向變形受阻，所以σz并不等于零。平面應(yīng)變問題有四個(gè)應(yīng)力分量：

σx,σy,σz，τxy=τyx

§2-2平衡微分方程彈性力學(xué)分析問題要從靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面和物理學(xué)三方面來考慮。首先考慮靜力學(xué)方面，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系式，即平面問題的平衡微分方程。

一般來說，應(yīng)力分量是坐標(biāo)x和y的函數(shù)，因此，作用于左右面或上下面的應(yīng)力分量不完全相同，差一個(gè)微小量。例如，設(shè)作用于左面中點(diǎn)處的正應(yīng)力是σx

，則作用于右面中點(diǎn)處的正應(yīng)力，由于x坐標(biāo)的改變，按泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)展開：

圖2-3

。

在靜力平衡條件下，各應(yīng)力分量與體力分量必須滿足平衡條件。首先以通過中心D并平行于Oz軸的直線為矩軸,由得

合并相同的項(xiàng)，得到

除以dxdy，略去微量不計(jì)（亦即dx,dy都趨于零時(shí)），得出 （2-1）這就是已證明過的剪應(yīng)力互等定理。列出對(duì)Ox軸投影的平衡方程，得

約簡(jiǎn)整理以后，得

兩邊除以dx,dy得

同理，由平衡方程可得出一個(gè)相似的微分方程。于是得出平面應(yīng)力問題中應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式，即

(2-2）式（2-2）即為平面問題中的平衡微分方程。這兩個(gè)微分方程中包含著三個(gè)未知函數(shù)，因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定問題，還必須考慮變形和位移，才能解決問題。對(duì)于平面應(yīng)變問題來說，由于不等于零，在圖2-3所示的六面體上，一般還有作用于前后兩面的正應(yīng)力，但由于它們自相平衡，并不影響xOy平面上平衡方程（2-1）及（2-2）的建立。所以在平面應(yīng)變情況下，平衡方程仍適用。§2-3幾何方程和剛體位移

現(xiàn)考慮幾何學(xué)方面，導(dǎo)出平面問題應(yīng)變分量與位移分量間的關(guān)系式，即幾何方程。經(jīng)過平面問題的彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P，分別沿Ox軸和Oy軸取微小長(zhǎng)度的線段PA=dx,PB=dy，如圖2-4所示。假設(shè)彈性體受力變形后，P,A,B三點(diǎn)各自移動(dòng)到，如圖。圖2-4首先求出線段PA和PB的線應(yīng)變，即和。設(shè)P點(diǎn)在x方向的位移分量為u，則A點(diǎn)在x方向的位移分量將是（僅取一階微量）。P點(diǎn)在y方向的位移分量是v,A點(diǎn)在y方向的位移分量將是。同理B點(diǎn)在x方向的位移分量是，在y方向的位移分量是。§2-4物理方程虎克定律一、平面應(yīng)力問題二、平面應(yīng)變問題§2-5邊界條件

§2-6圣維南原理圣維南原理也可敘述為：

在物體上距離外加載荷作用處相當(dāng)遠(yuǎn)的地方，其應(yīng)力與這些載荷作用的詳細(xì)方式無關(guān)，但這些載荷必須互為靜力等效力系。

應(yīng)用圣維南原理可以放寬桿端的邊界條件，擴(kuò)大彈性力學(xué)的解題范圍。

按應(yīng)力求解平面問題即以應(yīng)力分量作為基本未知數(shù)。平衡方程（2-2）并不包含應(yīng)變分量和位移分量，應(yīng)當(dāng)保留，再將三個(gè)物理方程式代入相容方程，使它只包含應(yīng)力分量。用平衡方程式和用應(yīng)力分量表示的相容方程，在適當(dāng)邊界條件下就可能解出應(yīng)力分量。具體推導(dǎo)如下：

對(duì)于平面應(yīng)力問題，將物理方程（2-8）代入式（2-4），得

(a)§2-7按應(yīng)力求解平面問題

§2-8平面問題的應(yīng)力函數(shù)方法§2-9按位移求解平面問題第4章彈性力學(xué)的變分法

變分法是彈性力學(xué)中的重要方法，它是尋求滿足邊界條件的一系列偏微分方程組的一種近似解法。變分問題，在數(shù)學(xué)上是求泛函的極值問題。在彈性力學(xué)中，泛函就是能量，變分法則是通過對(duì)能量求極值來建立彈性力學(xué)中的能量原理，從而導(dǎo)出相應(yīng)的變分方程，并利用這些變分方程求得彈性力學(xué)問題的近似解。泛函數(shù)在力學(xué)中經(jīng)常遇到，如彈性體的單位體積應(yīng)變能就是個(gè)泛函數(shù)。設(shè)彈性體受有全部應(yīng)力σx、σy

、σz、τxy

、τyz、

τzx，假定六個(gè)應(yīng)力分量的六個(gè)形變分量全部同時(shí)按同樣的比例增加到最后的大小，這樣就可以簡(jiǎn)單地計(jì)算出每個(gè)應(yīng)力分量的比能（單位體積的應(yīng)變能），然后把他們疊加，則彈性體的全部必能為：§4-3虛位移原理§4-4最小勢(shì)能原理§4-5位移變分法及其應(yīng)用

最小勢(shì)能原理，給彈性力學(xué)問題提供了一種近似解法：設(shè)定位移分量的表達(dá)式，其中包含若干個(gè)待定系數(shù);使其滿足位移邊界條件;再求得物體的總勢(shì)能;然后變化上述系數(shù)，使總勢(shì)能取最小值，即可求得物體的位移。例4-2簡(jiǎn)支梁受集度為q的均布載荷作用，如圖4-4所示，試用瑞利-李茲法求梁的最大撓度。解：由梁的邊界條件因此，選擇位移函數(shù)其中，Am為待定系數(shù)；梁的應(yīng)變能

計(jì)算載荷的勢(shì)能：將分布載荷看作一系列的集中力qdx，則每一集中力的勢(shì)能為-（qdx）v，于是有梁的總勢(shì)能：梁的應(yīng)變能與載荷勢(shì)能之和。按最小勢(shì)能原理：，即：梁的撓度：將上式帶入位移函數(shù)有：梁的撓度收斂較好，如只選取第一項(xiàng)，則梁的中點(diǎn)撓度為：此即為梁跨中點(diǎn)的最大撓度，如按照材料力學(xué)求解（精確解）誤差僅為0.4%，可近似為精確解。第五章平面問題的有限單元法

§5-1有限單元法的基本作法

求解彈性力學(xué)問題的困難在于不易找到既滿足基本方程又符合邊界條件的位移函數(shù)或應(yīng)力函數(shù)。因此，在彈性力學(xué)中，真正能求得精確的函數(shù)解的問題，尚屬少數(shù)。于是，發(fā)展了彈性力學(xué)問題的一系列近似解法，它對(duì)彈性力學(xué)的理論和實(shí)踐都有重大的意義。有限單元法就是其中一種非常重要的方法。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的高速發(fā)展和PC計(jì)算機(jī)的日益普及，有限單元法已成為解決各類結(jié)構(gòu)計(jì)算問題的高度通用的有力工具。§5-2彈性體的剖分用有限元法解決彈性力學(xué)的問題，首先必須對(duì)彈性體進(jìn)行剖分，對(duì)于平面問題來說，最簡(jiǎn)單的方法是用直線將彈性體剖分為有限個(gè)三角形單元或四邊形單元，本章將只討論三個(gè)節(jié)點(diǎn)的三角形單元。剖分要一直進(jìn)行到彈性體區(qū)域的邊界上。當(dāng)邊界是直線時(shí)，就取三角形單元的一邊；當(dāng)邊界是曲線時(shí)，則在每一小段上用相應(yīng)的直線近似地代替曲線而作為三角形單元的一邊。

具體剖分時(shí)，一般應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1）任意三角形單元的頂點(diǎn)，必須同時(shí)也是其相鄰三角形單元的頂點(diǎn)，而不能是其相鄰三角形的內(nèi)點(diǎn)。2）盡可能使同一個(gè)三角形單元各邊的長(zhǎng)度相差不太大，在三角形單元中，最好不要出現(xiàn)鈍角。3）應(yīng)力較為集中，應(yīng)力變化較大的地方，單元應(yīng)分得小一些，單元布置應(yīng)密集一些；在應(yīng)力變化比較平緩的地方，單元可分得大一些，單元布置可稀疏一些。4）在厚度或材料常數(shù)有突變的地方，除了應(yīng)把這部分的單元分得較小，較密一些以外，還必須把突變線作為單元的分界線。也就是說，在一個(gè)單元內(nèi)部，只能包含一個(gè)厚度和一種材料。

5）當(dāng)整個(gè)彈性體在幾何上具有對(duì)稱軸，而荷載又對(duì)稱于該軸或反對(duì)稱于該軸時(shí)，則其位移和應(yīng)力也必然具有這種對(duì)稱或反對(duì)稱性質(zhì)，為了減少計(jì)算工作量，只需取其一部分作為求解區(qū)域進(jìn)行單元剖分和計(jì)算，例如水電站的引水壓力鋼管，就可取鋼管截面的四分之一部分進(jìn)行剖分和計(jì)算。

6）在對(duì)節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)應(yīng)注意，單元