數(shù)學建模食堂排隊問題

數(shù)學建模食堂排隊問題第1頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月引言

在學校，我們常常可以看到這樣的情景：下課后，許多同學爭相跑向食堂去買飯，為數(shù)不多的食堂窗口前很快就排滿了長長的隊伍。所以增加窗口數(shù)量，減少排隊等待時間，是同學們十分關心的問題。然而就食堂角度來看，雖然可以贏得更多同學到該食堂來就餐。但同時也會增加食堂的運營成本。因此，我們將根據(jù)綜合食堂中午的擁擠狀況建立數(shù)學模型，為其擁擠狀況找到一個比較合理的解決方案。第2頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月摘要首先，我們分析了一些調查數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)學生流符合泊松分布，服務時間符合指數(shù)分布，由此，我們的模型就變成了排隊理論模型。根據(jù)模型求解得到的數(shù)據(jù)，我們對模型分析后發(fā)現(xiàn)，解決本模型的關鍵就在于分析學生平均排隊時間，如果對其窗口數(shù)進行關系擬合，就兩者之間的關系進行分析。針對窗口數(shù)與顧客平均排隊時間之間的關系，比較增加窗口后成本的增加量與減少排隊等待時間所帶來的收益之間的關系。第3頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立與分析我們假設食堂的座位數(shù)是足夠的，不需要添加新的桌椅。所以解決食堂擁擠狀況，主要解決排長隊的問題。就此問題建立模型，進行分析。食堂窗口與就餐人員之間是服務機構與顧客的關系,可以按如下示意圖表示等待服務顧客接受服務到達排隊規(guī)則服務時間服務系統(tǒng)離開第4頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們假設學生到食堂就餐的時刻是隨機的,用N(t)表示[0,t)時間內到達該服務系統(tǒng)的顧客數(shù),用V(n)表示第n位顧客所需的服務時間,則有隨機變量{V(n),n=1,2,…}.

因此,由排隊論的有關知識,t時刻到達服務系統(tǒng)的人數(shù)為k的概率為:

P(N(t)=k)=,k=1,2…,其中λ＞0,

第n位顧客所需的服務時間不超過t的概率服從負指數(shù)分布:P(V(n)≤t)=其中μ＞0.第5頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月為了使模型便于求解,我們假定：

每個工作人員的打飯效率相同。每個窗口的飯菜相同。食堂打飯服務系統(tǒng)的容量無限,來到食堂就餐的學生不會在未打好飯之前離去.

這樣,得到一個輸入過程為最簡單流,服務時間為負指數(shù)分布,1個服務臺,系統(tǒng)容量無限,顧客數(shù)無限的等待制排隊模型.第6頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月這里,對有關符號的數(shù)量指標加以說明:λ——單位時間內平均到達的顧客數(shù),即平均到達率;μ——單位時間內受到服務的顧客數(shù),即平均服務率;1/μ——每位顧客的平均服務時間;Lq——等待隊長的期望值;Wq——等待時間的期望值.第7頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月模型求解假設食堂有4個服務窗口,對該食堂進行討論.在12:00至12:40之間,每4分鐘為1個時段,統(tǒng)計到達人數(shù),如下表.求得平均到達率為:λ=(68+93+105+118+134+147+136+113+89+47)/(10×4×4)=5.94(人/分鐘)第8頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月相應地,對50名顧客接受服務的時間進行統(tǒng)計,得到下表.1/μ=(2×2.5+35×7.5+8×12.5+3×17.5+1×22.5+1×27.5)/(50×60)=9.42（秒）=0.157(分鐘)求得平均服務時間為:所以平均服務率為:μ=6.37(顧客/分鐘)第9頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月結果分析上述模型求出的平均服務時間為9.4秒,這與實際情況大體吻合;等待隊長的期望值為12.88顧客,明顯偏長,但實際上,高峰期往往排隊會更長些,這主要是因為在高峰期,用餐人數(shù)比閑時明顯增多(如下圖所示),且持續(xù)時間較長;相應地,現(xiàn)實中高峰期的等待時間也比求得的平均等待時間(2.17分鐘)要久.第10頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月時段到達人數(shù)第11頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月窗口設置改進現(xiàn)假設各時段內的用餐人數(shù)是均勻增加的,根據(jù)各時段的到達人數(shù)分別求出每個時段需要的窗口數(shù),如下表所示.窗口數(shù)時段第12頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月所以時間12:00←←12:05←12:1512:35→12:40→窗口344454時段12344578910服務76.44101.9101.9101.9127.4127.4127.4127.4127.450.96排隊003.0816.086.619.68.6000第13頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月給食堂管理部門的建議按就餐人員到達時間設置窗口:12:00前２個,12:00后3個,12:05后4個,12:15后5個