數(shù)學(xué)物理方程分離變量法

數(shù)學(xué)物理方程分離變量法第1頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月基本思想：（1）求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解;

特點(diǎn)：偏微分方程化為常微分方程（2）由疊加原理作出這些解的線性組合；特點(diǎn)：疊加原理（3）由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動(dòng)問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場(chǎng)問題等第2頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)根特征根通解求方程的通解的步驟為：

(1)寫出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，

(3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。二階常系數(shù)齊次線性微分方程第3頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月

特征根通解求方程的通解的步驟為：

(1)寫出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，

(3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。二階常系數(shù)齊次線性微分方程第4頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解：步驟1，求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解。令帶入方程：令帶入邊界條件1求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律一有界弦的自由振動(dòng)第5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月分情況討論：1）2）3）令，為非零實(shí)數(shù)特征值問題特征值與特征函數(shù)第6頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟2，疊加原理做出解的線性組合。第7頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟3，其余的定解條件求出系數(shù)。第8頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個(gè)函數(shù)?求通解?確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。第9頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月2解的性質(zhì)

x=x0時(shí)：其中：駐波法t=t0時(shí)：第10頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設(shè)有一根長為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移。解：第13頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月弦的振動(dòng)振幅放大100倍，紅色、藍(lán)色、綠色分別為n=1,2,3時(shí)的駐波。第17頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例2求下列定解問題第18頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月初始條件第21頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月若l=1,a=10時(shí)的震動(dòng)。第22頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月上述方程實(shí)際是個(gè)單簧管振動(dòng)模型直徑均勻的細(xì)管，一端封閉，一端開放第23頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

求下列定解問題解：第24頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月令帶入方程：令例4

求下列定解問題解：二有限長桿上的熱傳導(dǎo)第28頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月三拉普拉斯方程的定解問題1直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題解：矩形區(qū)域第31頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解：令，2圓域內(nèi)的拉普拉斯問題圓形區(qū)域第35頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解把上式代入微分方程可得：即從而，我們可得到常微分方程：第36頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月

與：周期本征值問題歐拉方程再利用定解條件可得：第37頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程第38頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第三步：利用疊加原理和邊界條件求得原定解問題的解再利用邊界條件，有:第39頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例5

求下列定解問題解：第40頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月歐拉方程令第41頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月其它為零第42頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月四非齊次方程的解法求下列定解問題方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？非齊次方程的求解思路用分解原理得出對(duì)應(yīng)的齊次問題解出齊次問題求出任意非齊次特解疊加成非齊次解思考第44頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月令：第45頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月令：為什么？第46頁，課件共50頁，