數(shù)理方法第一章

數(shù)理方法第一章第1頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月感興趣的方向光學(xué)傳輸理論非線性動力學(xué)孤子理論計算物理辦公室一樓118房間電話7011314第2頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程第3頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)物理方法，吳崇試數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼數(shù)學(xué)物理方法，郭本宏MethodsofMathematicalPhysics，H.JeffeysandB.Jeffeys，ThirdEdtion，CambridgeUniversityPress,1972MatLab工程數(shù)學(xué)應(yīng)用，許波，劉征編著Mathematica4.0使用教程，劉元高，劉耀儒Maple計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)應(yīng)用及程序設(shè)計，李世奇，杜慧琴第4頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)及運(yùn)算第二節(jié)區(qū)域第三節(jié)復(fù)變函數(shù)第四節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第5頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)形如z=x+iy的數(shù)被稱為復(fù)數(shù)，其中x,yR。x=Rez，y=Imz分別為z的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位，其意義為i2=-1z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1=Rez2且Imz1=Imz1第6頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)平面復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)z平面復(fù)數(shù)z=x+iy虛軸實(shí)軸模幅角復(fù)數(shù)不能比較大小主幅角第7頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)數(shù)的表示代數(shù)表示：z=x+iy三角表示：z=r(cos+isin)指數(shù)表示：z=rexp(i)注意在三角表示和指數(shù)表示下，兩個復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)模相等且幅角相差2k第8頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個復(fù)數(shù)加減運(yùn)算z1

z2=(x1

x2)

+i(y1

y2)復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則z1+(-

z2)-

z2第9頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月乘法運(yùn)算兩個復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加第10頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月除法運(yùn)算兩個復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減第11頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月共軛運(yùn)算復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù)為z*=x-iy共軛復(fù)數(shù)為z*是復(fù)數(shù)z關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)第12頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)球面無窮遠(yuǎn)點(diǎn)第13頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例第14頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)區(qū)域區(qū)域的概念鄰域平面上以z0為中心，為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)所組成的集合，稱為z0的-鄰域|z-z0|<0<|z-z0|<z0z0第15頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月開集設(shè)G為一平面點(diǎn)集，z0為G中任意一點(diǎn)，如果存在z0的一個鄰域，使該鄰域的所有點(diǎn)都屬于G，那么稱z0為G的內(nèi)點(diǎn)。如果G內(nèi)的每一個點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，那么稱G為開集。Gz0第16頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域平面點(diǎn)集D稱為一個區(qū)域，如果它滿足下列兩個條件：1.D是開集；2.D是連通的。邊界設(shè)D為復(fù)平面上的一個區(qū)域，如果點(diǎn)p不屬于D，但是在p的任何鄰域內(nèi)都包含有D中的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)p稱為D的邊界點(diǎn)。D的邊界點(diǎn)之全體稱為D的邊界，一般用D來表示。閉區(qū)域區(qū)域D連同它的邊界D一起構(gòu)成閉區(qū)域，記為Dz1z2p第17頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月xyORxyORxyROr1xyR-ROxOyxOy21第18頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月單連通域與多連通域設(shè)B為復(fù)平面上的一個區(qū)域，如果在其中作一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于B，則稱B為單連通區(qū)域，否則稱為多連通區(qū)域。BB單連通域多連通域第19頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例用復(fù)數(shù)表示的平面點(diǎn)集第20頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)之定義設(shè)G是一個復(fù)數(shù)z=x+iy的集合。如果有一個確定的法則存在，按照這一法則，對于集合G中的每一個復(fù)數(shù)z，有一個或多個復(fù)數(shù)=u+iv與之對應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為=f(z)。說明1如果z的一個值對應(yīng)著的唯一一個值，那么我們稱f(z)是單值的；如果z的一個值對應(yīng)著多個的值，那么我們稱f(z)是多值函數(shù)。第21頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月說明2復(fù)變函數(shù)=f(z)可以看作是z平面到平面上的一個映射。復(fù)變函數(shù)=f(z)可以寫成=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iy=f(z)z平面平面第22頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例求0<<,0<r<1經(jīng)=iz變換后在平面上的圖形。z平面平面=iz=zexp(i/2)第23頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)舉例—基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)第24頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例求z平面上帶形區(qū)域-<Rez<+,0<Imz<經(jīng)=ez變換后在平面上的圖形。=ez注意第25頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月根式函數(shù)記注意根式函數(shù)是多值函數(shù)第26頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月限制值域單值化的主要途徑限制值域或擴(kuò)大定義域限制值域的幅角范圍為[,2)限制值域的幅角范圍為[0,)01第27頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月擴(kuò)大定義域Riemann面第28頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例1設(shè)，規(guī)定0arg(z-1)<2，求(2),(i),(0),(-i)。第29頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例2設(shè)，規(guī)定(2)=1,討論z沿C1或C2連續(xù)變化到原點(diǎn)時，函數(shù)(0)的值。當(dāng)z沿C1移動到z=0時，arg(z-1)|z=0=當(dāng)z沿C2移動到z=0時，arg(z-1)|z=0=-第30頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月對數(shù)函數(shù)性質(zhì)1第31頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月單值化的主要途徑限制值域或擴(kuò)大定義域限制值域Riemann面第32頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2注意符號lnz與ln|z|，以及Lnz的區(qū)別恒等式下列式子不成立第33頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例計算Ln2，Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)Oxy1+i2-i-1第34頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三角函數(shù)性質(zhì)周期性恒等式非有界函數(shù)第35頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例求解sinz=0的全部根求解sinz=2的全部根第36頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月反三角函數(shù)第37頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月雙曲函數(shù)性質(zhì)1.以2i為周期2.與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系3.恒等式第38頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月反雙曲函數(shù)第39頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月冪函數(shù)第40頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)=f(z)定義在z0的去心鄰域0<|z-z0|<內(nèi)。如果有一個確定的數(shù)A存在，>0，()>0，使當(dāng)0<|z-z0|<時，有|f(z)-A|<，則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時的極限，記為第41頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1定理2設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z=x0+iy0，那么第42頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例第43頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性稱函數(shù)=f(z)在z=z0點(diǎn)連續(xù)，如果1.f(z0)存在；