數(shù)值分析數(shù)值微積分

數(shù)值分析課件數(shù)值微積分第1頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分基本公式與一般概念

Newton-Cotes公式復(fù)化求積公式Romberg算法高斯求積公式數(shù)值微分內(nèi)容比較抽象，理論要求高，簡(jiǎn)單介紹第2頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析4.1基本公式與一般概念

實(shí)際問題中常常需要計(jì)算積分，例如重積分、線面積分等各種運(yùn)算都以定積分的計(jì)算為基礎(chǔ)，而計(jì)算定積分的Newton-Leibniz公式要以存在初等函數(shù)形式的原函數(shù)為前提，即在公式中原函數(shù)為初等函數(shù)。但在許多場(chǎng)合無(wú)法在初等函數(shù)范圍內(nèi)求出原函數(shù)，例如，形式上很簡(jiǎn)單的積分在初等函數(shù)范圍內(nèi)求不出原函數(shù)，則無(wú)法用Newton-Leibniz公式計(jì)算相應(yīng)的定積分。第3頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析基本公式與一般概念

數(shù)值微積分

用函數(shù)值的線性組合表示導(dǎo)數(shù)或者積分的近似值的計(jì)算方法。幾個(gè)基本公式1.矩形公式 由積分中值定理知：若 ，則

其中， 稱為函數(shù) 在區(qū)間[a,b]上的平均值，幾何上可解釋為在區(qū)間[a,b]上的平均高度。記區(qū)間[a,b]的中點(diǎn)坐標(biāo) ，并用近似代替 ，便得到一個(gè)近似公式（矩形公式）第4頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析2.梯形公式 用區(qū)間[a,b]兩端點(diǎn)處函數(shù)的平均值近似代替，便得到其近似公式它在幾何上表示用過(guò)兩端點(diǎn)的直線代替曲線，用梯形面積近似代替曲邊梯形面積，因而稱為梯形公式。注：公式中用了2個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值。第5頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析3.拋物線公式 如果用過(guò)兩端點(diǎn)a,b和中點(diǎn)的拋物線來(lái)代替被積函數(shù)，就可得到拋物線公式也稱為simpson公式。注：公式中用了3個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值。從幾何意義上可看出，在通常情況下，拋物線公式的精度相對(duì)比較高。第6頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析例題 分別用矩形公式、梯形公式和拋物線公式計(jì)算 ，并與精確值進(jìn)行比較。解 用矩形公式可得

用梯形公式可得

用拋物線公式可得 而準(zhǔn)確值 第7頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析習(xí)題 分別用矩形公式、梯形公式和拋物線公式計(jì)算。第8頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析求積公式及其代數(shù)精度上面的幾個(gè)公式（矩形、梯形和拋物線公式）有個(gè)共同點(diǎn)，就是用積分區(qū)間[a,b]內(nèi)若干點(diǎn)的函數(shù)值的線性組合來(lái)計(jì)算積分的近似值，而組合系數(shù)之和等于積分區(qū)間的長(zhǎng)度。也就是說(shuō)：用積分區(qū)間[a,b]內(nèi)若干點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)平均值近似代替其平均值，而各點(diǎn)權(quán)數(shù)之和等于1.一般地，可以在積分區(qū)間內(nèi)取n+1個(gè)互異的點(diǎn) ，用函數(shù)值 的加權(quán)平均近似代替，即 從而第9頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析上述函數(shù)值的線性組合稱為求積公式，稱為求積節(jié)點(diǎn)，稱為求積系數(shù)。構(gòu)造求積公式的關(guān)鍵在于按照一定的原則和要求確定滿足條件的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。數(shù)值求積方法是近似方法，為保證精度，自然希望求積公式能對(duì)“盡可能多”的函數(shù)準(zhǔn)確成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念。表示方法：積分—I[f]；求積公式—Q[f]第10頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析定義 如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。一般地，欲使求積公式具有m次代數(shù)精度，只要令它對(duì)于都能準(zhǔn)確成立，這就要求第11頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析插值型的求積公式設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn) ，且已知函數(shù)f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的值，做插值函數(shù)。由于代數(shù)多項(xiàng)式的原函數(shù)是容易求出的，我們?nèi)∽鳛榉e分 的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式稱為是插值型的，式中求積系數(shù)通過(guò)插值基函數(shù)積分得出第12頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析Newton-Cotes公式是等距節(jié)點(diǎn)情況下的插值型求積公式。公式的形式與Cotes系數(shù)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分，步長(zhǎng) ，則n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)用n次Lagrange插值多項(xiàng)式近似代替積分函數(shù)中的被積函數(shù)f(x),則插值型的求積公式可表示成其中，系數(shù)稱為Cotes系數(shù)，并滿足關(guān)系4.2Newton-Cotes公式第13頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析當(dāng)選定n后，計(jì)算出系數(shù)后代入多項(xiàng)式即可。例如，當(dāng) ，則 求積公式即為梯形公式當(dāng)n=2時(shí)，則求積公式即為Simpson公式第14頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析當(dāng)n=4時(shí)，則可得出式中，這個(gè)公式稱為Cotes公式。為了便于應(yīng)用，將Cotes系數(shù)列表如下：第15頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析n12345678第16頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析注意對(duì)于每個(gè)固定的n,n+1個(gè)Cotes系數(shù)成對(duì)稱形式，且各系數(shù)之和等于1；又Cotes系數(shù)僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，與被積函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)；一旦構(gòu)造出求積公式，均可用公式Q[f]對(duì)I[f]做數(shù)值計(jì)算。第17頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析偶階求積公式的代數(shù)精度n=0時(shí)的梯形公式具有1次代數(shù)精度，n=1時(shí)的矩形公式具有1次代數(shù)精度，n=2時(shí)的Simpson公式卻達(dá)到3次代數(shù)精度。定理 當(dāng)階數(shù)n為偶數(shù)時(shí)的Newton-Cotes公式至少有n+1次代數(shù)精度。第18頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析習(xí)題分別寫出n=3,5,6時(shí)想要的Cotes公式。第19頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析4.3復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式由于高次插值多項(xiàng)式常常存在數(shù)值不穩(wěn)定，為了克服這個(gè)問題，采用了分段的低次插值。同樣，高階的Newton-Cotes公式也會(huì)引起數(shù)值不穩(wěn)定，這可采用復(fù)化的低階公式來(lái)解決。設(shè)將求積區(qū)間[a,b]分成n等分，步長(zhǎng)為 ，分點(diǎn)為我們?cè)诿總€(gè)子區(qū)間 上應(yīng)用某種較低階的求積公式 ，計(jì)算出局部上的近似值，然后取n個(gè)區(qū)間上的總和得出積分 的近似值，上式就是復(fù)化求積公式。第20頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析為了得到復(fù)化梯形公式則要用到在每個(gè)小區(qū)間 上用到端點(diǎn)處的函數(shù)值。為了得到復(fù)化Simpson公式則要用到在每個(gè)小區(qū)間 上用到中點(diǎn) 處的函數(shù)值。而復(fù)化Cotes公式則要用到在每個(gè)小區(qū)間上插入的3個(gè)等分點(diǎn) 處的函數(shù)值第21頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析設(shè) ，將[a,b]分成n等分，步長(zhǎng) 。記復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式、復(fù)化Cotes公式分別為 ，則第22頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析例題 已知函數(shù) 的數(shù)據(jù)表如下： 將區(qū)間[0,1]8等分，用復(fù)化求積公式T8，S4計(jì)算

的值。01/81/43/81/210.99739780.98961580.97672670.95885105/83/47/810.93615560.90885160.87719250.8414709第23頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析解 用T8計(jì)算用S4計(jì)算，則第24頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析該積分用冪級(jí)數(shù)可獲得任意精度的近似解，因?yàn)楣仕玫降慕浦?位均為有效數(shù)字。按照T8計(jì)算，只得到2位有效數(shù)字，但S4卻可得到6位有效數(shù)字?？梢姡瑥?fù)化Simpson公式比復(fù)化梯形公式精度高得多。第25頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析習(xí)題 分別用復(fù)化梯形公式（取n=8）和復(fù)化辛普森公式（取n=4）求解積分的值。第26頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析4.4龍貝格（Romberg）算法復(fù)化梯形公式雖然精度不高，但是有便于計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，特別是對(duì)積分區(qū)間不斷對(duì)半分，各復(fù)化梯形公式之間還有遞推關(guān)系，對(duì)計(jì)算特別有利。把這些復(fù)化梯形公式進(jìn)行某種線性組合，便可非常有效地提高計(jì)算的精度。一、梯形法的遞推公式我們已知，將積分區(qū)間n等分后，可得復(fù)化梯形公式若把每個(gè)子區(qū)間 再對(duì)半分，記新分點(diǎn)即小區(qū)間的中點(diǎn)為 ，則子區(qū)間的個(gè)數(shù)便變成2n個(gè)。第27頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析欲求，計(jì)算量幾乎是計(jì)算的2倍。自然會(huì)想到，怎么利用的結(jié)果來(lái)簡(jiǎn)化的計(jì)算，只要計(jì)算各新分點(diǎn) 處的函數(shù)值。已知小區(qū)間 對(duì)半分后再用梯形公式為從而即可把用到計(jì)算上去，而只要算出各新分點(diǎn)處函數(shù)值之和。上式稱為梯形法的遞推公式。第28頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析例題1

利用遞推公式計(jì)算積分值解 被積函數(shù) ，顯然應(yīng)定義 ，而由梯形公式然后將區(qū)間二等分，再求出中點(diǎn)的函數(shù)值利用遞推公式得進(jìn)一步二分求積區(qū)間，并計(jì)算新分點(diǎn)上的函數(shù)值第29頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析再次利用遞推公式得這樣繼續(xù)二分下去，以k表示對(duì)半分的次數(shù)，相應(yīng)的復(fù)化梯形公式記作，將對(duì)半分所算出的積分?jǐn)?shù)值列表如下：從表的最后一個(gè)值知，用復(fù)化梯形公式計(jì)算該積分需要將[0,1]區(qū)間作1024等分才能得到有7位有效數(shù)字的近似值，計(jì)算量很大。k12345Tn0.93979330.94451350.94569090.94598500.9460596k678910Tn0.94607690.94608150.94608270.94608300.9460831第30頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析二、Romberg公式用梯形的遞推公式精度比較低。精度稍高點(diǎn)，就要求對(duì)積分區(qū)間等分好多份。為了提高計(jì)算精度，我們用誤差的事后估計(jì)法改造梯形遞推公式。為了方便，將函數(shù) 在[a,b]點(diǎn)的積分記作I。由于復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為 ，故對(duì)半分后所得的公式 的截?cái)嗾`差大致減為誤差的1/4，即 由此可見，只要二分前后的兩個(gè)積分值與相當(dāng)接近，就可以保證計(jì)算結(jié)果的誤差很小，這樣直接用計(jì)算結(jié)果來(lái)估計(jì)誤差的方法通常稱作誤差的事后估計(jì)法。第31頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析我們用已經(jīng)算出來(lái)的值 對(duì)做了誤差估計(jì)?，F(xiàn)在，以它作為近似值的補(bǔ)償，將求積公式改進(jìn)為，即

注意： 有趣的是經(jīng)過(guò)這番用誤差的事后估計(jì)法改造后的公式（*）正好是Simpson公式，即而該公式的截?cái)嗾`差為。這表明：經(jīng)過(guò)對(duì)的線性組合，可提高求積公式的精度，而組合系數(shù)之和等于1，這正是求積公式所要求的必要條件。第32頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析同樣，我們把放到的位置上，重復(fù)上面的分析，只要注意到的截?cái)嗾`差為，再對(duì)半分一次，得出，其截?cái)嗾`差大致為的，即仿上得到比更好的公式，并且可驗(yàn)證正好是Cotes公式，即 第33頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析同樣，我們把放到的位置上，重復(fù)上面的分析，只要注意到的截?cái)嗾`差為，再對(duì)半分一次，得出，其截?cái)嗾`差大致為的，即仿上得到比更好的求積公式，記作，即 這就是Romberg公式，或稱為Romberg算法。第34頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析這種通過(guò)對(duì)積分區(qū)間的對(duì)半化，按遞推公式可得到各復(fù)化梯形公式，再經(jīng)過(guò)線性組合，依次得到復(fù)化Simpson公式，復(fù)化Cotes公式和Romberg公式，其精度可大大提高。例題2

用Romberg算法重新計(jì)算積分值 并和梯形的遞推公式結(jié)果做比較。第35頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析用Romberg算法得到的結(jié)果如下其中，k表示對(duì)半分區(qū)間的次數(shù)。如果要估計(jì)誤差，可在上表的下面再算一行，這樣一般地，的近似程度比的要好。如果滿足 ，N為自然數(shù)，便可說(shuō)積分的近似值為，精度為。k00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608680.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831第36頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析例題3

用Romberg算法計(jì)算積分值 的近似值，使其精度達(dá)到。解 被積函數(shù) 。按照梯形遞推公式依次得第37頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析用Romberg算法得到的結(jié)果如下其中，k表示對(duì)半分區(qū)間的次數(shù)。 因?yàn)? ，故可取 作為積分的近似值，精度為。k03.0000013.100003.1333323.131183.141573.1415733.138993.141593.141593.1415843.140943.141593.141593.14159第38頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析4.5高斯求積公式對(duì)于求積公式含有2n+2個(gè)待定參數(shù) ，當(dāng)為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的插值求積公式其代數(shù)精度至少為n次，如果適當(dāng)選取 ，有可能使求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，這類求積公式稱為高斯（Gauss）求積公式。相應(yīng)的節(jié)點(diǎn) 稱為高斯點(diǎn)。由定義知高斯公式必為插值型的求積公式，而插值型求積公式的求積系數(shù) 是通過(guò)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的Lagrange插值基函數(shù)的積分來(lái)運(yùn)算的。因此，找出Gauss點(diǎn)是個(gè)關(guān)鍵問題。第39頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析定理1

插值型的求積公式中的節(jié)點(diǎn) 是Gauss點(diǎn)的充分必要條件是 與一切次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式在區(qū)間[a,b]上正交，即例1

構(gòu)造形如 的Gauss求積公式。解： 按照定理1，對(duì)于求Gauss點(diǎn)，有其中， ，即第40頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析例2

構(gòu)造形如 的Gauss求積公式。解： 按照定理1，對(duì)于求Gauss點(diǎn)，有其中， ，求出其中的 ，即為Gauss點(diǎn)。進(jìn)而用節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Lagrange插值基函數(shù)可求出求積系數(shù)。第41頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析帶權(quán)的Gauss公式有些積分要把被積函數(shù)分離成兩個(gè)因子的乘積 才好計(jì)算，其中 ，即研究積分這稱為帶權(quán)的積分， 稱為權(quán)函數(shù)。典型的求積公式：1、高斯--勒讓德求積公式 權(quán)函數(shù)： 區(qū)間：2、高斯—切比雪夫求積公式 權(quán)函數(shù)： 區(qū)間：第42頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析4.6數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分就是用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。構(gòu)造數(shù)值微分的主要方法：1、按導(dǎo)數(shù)定義可以簡(jiǎn)單地用差商近似導(dǎo)數(shù)，這樣立即得到幾種數(shù)值微分公式其中，h為一增量，稱為步長(zhǎng)，第三種數(shù)值微分方法稱為中點(diǎn)方法。它其實(shí)是前兩種方法的算術(shù)平均，但它的誤差階卻由提高到。第43頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析2、Taylor展開法設(shè)，則上面兩式相加，即得其中為截?cái)嗾`差。O（hN）表示精度，自然數(shù)N越大，表示精度越高。第44頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析3、插值型數(shù)值求導(dǎo)公式對(duì)于列表函數(shù)y=f(x):運(yùn)用插值原理，可以建立插值多項(xiàng)式作為它的近似。由于多項(xiàng)式的求導(dǎo)比較容易，所以我們?nèi)〉闹底鳛榈慕浦?。這樣建立的數(shù)值公式統(tǒng)稱為插值型的求導(dǎo)公式。注意：即使f(x)與的值相差不大，其導(dǎo)數(shù)的值也可能差別很大。因此，在使用求導(dǎo)公式時(shí)應(yīng)特別注意誤差的分析。xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn第45頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析求某個(gè)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值時(shí)，以下公式成立兩點(diǎn)公式當(dāng)節(jié)點(diǎn)只有x0和x1時(shí)，則從而，第46頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析三點(diǎn)公式取等距節(jié)點(diǎn)存在以下關(guān)系式實(shí)用五點(diǎn)公式設(shè)等距節(jié)點(diǎn)，可仿三點(diǎn)公式的推導(dǎo)方法得出五點(diǎn)公式，它是由四次插值多項(xiàng)式求導(dǎo)后代入節(jié)點(diǎn)而得出的。