數(shù)學(xué)建模培訓(xùn) 規(guī)劃理論及模型

數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)規(guī)劃理論及模型第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一、引言我們從2005年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)模競談起.其中第二個(gè)問題是一個(gè)如何來分配有限資源，從而達(dá)到人們期望目標(biāo)的優(yōu)化分配數(shù)學(xué)模型.它在運(yùn)籌學(xué)中處于中心的地位.這類問題一般可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.賽的B題“DVD在線租賃”問題的第二問和第三問第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)劃模型的應(yīng)用極其廣泛，其作用已為越來來越急速地滲透于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、商業(yè)活動(dòng)、軍事行為核科學(xué)研究的各個(gè)方面，為社會(huì)節(jié)省的財(cái)富、創(chuàng)造的價(jià)值無法估量.特別是在數(shù)模競賽過程中，規(guī)劃模型是最常見的一類數(shù)學(xué)模型.從92-06年全國大學(xué)生數(shù)模競越多的人所重視.隨著計(jì)算機(jī)的逐漸普及，它越賽試題的解題方法統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，規(guī)劃模型共出現(xiàn)了15次，占到了50%，也就是說每兩道競賽題中就有一道涉及到利用規(guī)劃理論來分析、求解.

第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型是所有規(guī)劃模型中最基本、最例1.（食譜問題）設(shè)有n種食物，各含m種營養(yǎng)素，第j種食物中第i中營養(yǎng)素的含量為aij,n種食物價(jià)格分別為c1,c2,…,cn，請(qǐng)確定食譜中n種食物的數(shù)量x1,x2,…,xn，要求在食譜中m種營養(yǎng)素簡單的一種.

2.1線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式

的含量分別不低于b1,b2,…,bm的情況下，使得總總的費(fèi)用最低.第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月首先根據(jù)食物數(shù)量及價(jià)格可寫出食譜費(fèi)用為其次食譜中第i種營養(yǎng)素的含量為因此上述問題可表述為：解第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月上述食譜問題就是一個(gè)典型的線性規(guī)劃問題，尋求以線性函數(shù)的最大（?。┲禐槟繕?biāo)的數(shù)學(xué)模型.它是指在一組線性的等式或不等式的約束條件下，第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月線性規(guī)劃模型的三種形式

⑴一般形式

目標(biāo)函數(shù)價(jià)值向量價(jià)值系數(shù)決策變量右端向量系數(shù)矩陣非負(fù)約束自由變量第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵規(guī)范形式⑶標(biāo)準(zhǔn)形式三種形式的LP問題全都是等價(jià)的，即一種形式的LP可以簡單的變換為另一種形式的LP，且它們有相同的解.以下我們僅將一般形式化成規(guī)范形式和標(biāo)準(zhǔn)形式.第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化

xoz-z第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月約束條件和變量的轉(zhuǎn)化

①．為了把一般形式的LP問題變換為規(guī)范形式，我們必須消除等式約束和符號(hào)無限制變量.在一般形式的LP中，一個(gè)等式約束可用下述兩個(gè)不等式約束去替代

第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣就把一般形式的LP變換為規(guī)范形式.

對(duì)于一個(gè)無符號(hào)限制變量，引進(jìn)兩個(gè)非負(fù)變量和，并設(shè)第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月②．為了把一般形式的LP問題變換為標(biāo)準(zhǔn)形式，必須消除其不等式約束和符號(hào)無限制變量.對(duì)于一個(gè)不等式約束代替上述的不等式約束.

對(duì)符號(hào)無限制變量的處理可按上述方法進(jìn)行.可引入一個(gè)剩余變量

，用第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于不等式約束

代替上述的不等式約束

這樣就把一般形式的LP變換為標(biāo)準(zhǔn)形式.可引入一個(gè)松弛變量，用第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題，其解的理論分析已經(jīng)很完備，在此基礎(chǔ)上也提出了很好的算單純形方法是線性規(guī)劃問題的最為基礎(chǔ)、也法——單純形方法及其相應(yīng)的變化形式（兩階段2.2線性規(guī)劃模型的求解

法，對(duì)偶單純形法等）.是最核心的算法。它是一個(gè)迭代算法，先從一個(gè)特殊的可行解（極點(diǎn)）出發(fā)，通過判別條件去判斷該可行解是否為最優(yōu)解（或問題無界），若不第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月是最優(yōu)解，則根據(jù)相應(yīng)規(guī)則，迭代到下一個(gè)更好的可行解（極點(diǎn)），直到最優(yōu)解（或問題無界）.關(guān)于線性規(guī)劃問題解的理論和單純形法具體的求解過程可參見文獻(xiàn)[1].然后在實(shí)際應(yīng)用中，特別是數(shù)學(xué)建模過程中，遇到線性規(guī)劃問題的求解，我們一般都是利用現(xiàn)有的軟件進(jìn)行求解，此時(shí)通常并不要求線性規(guī)劃問題是標(biāo)準(zhǔn)形式.比較常用的求解線性規(guī)劃模型的軟件包有LINGO和LINDO.第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)輸問題例2.

設(shè)要從甲地調(diào)出物資2000噸，從乙地調(diào)出物資1100噸，分別供給A地1700噸、B地1100噸、C假定運(yùn)費(fèi)與運(yùn)量成正比.在這種情況下，采用不地200噸、D地100噸.已知每噸運(yùn)費(fèi)如表1.1所示.同的調(diào)撥計(jì)劃，運(yùn)費(fèi)就可能不一樣.現(xiàn)在問：怎樣才能找出一個(gè)運(yùn)費(fèi)最省的調(diào)撥計(jì)劃？第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1572521甲15375151乙DCBA表1.1銷地運(yùn)費(fèi)產(chǎn)地第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月乙甲DCBA解第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一般的運(yùn)輸問題可以表述如下：第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)模型：

第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若其中各產(chǎn)地的總產(chǎn)量等于各銷地的總銷量，即類似與將一般的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為其標(biāo)準(zhǔn)否則，稱為不平衡的運(yùn)輸問題，包括：，則稱該問題為平衡的運(yùn)輸問題.總產(chǎn)量>總銷量和總產(chǎn)量<總銷量.形式，我們總可以通過引入假想的銷地或產(chǎn)地，將不平衡的運(yùn)輸問題轉(zhuǎn)化為平衡的運(yùn)輸問題.從而，我們的重點(diǎn)就是解決平衡運(yùn)輸問題的求解.第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，運(yùn)輸問題是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，因而當(dāng)然可以運(yùn)用單純形方法求解.但由于平衡的運(yùn)輸問題的特殊性質(zhì)，它還可以用其它的一些特殊方法求解，其中最常用的就是表上作業(yè)法，該方法將單純形法與平衡的運(yùn)輸問題的特殊性質(zhì)結(jié)合起來，很方便地實(shí)行了運(yùn)輸問題的求解.關(guān)于運(yùn)輸問題及其解法的進(jìn)一步介紹參加文獻(xiàn)[2].第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于線性規(guī)劃問題，如果要求其決策變量取整數(shù)值，則稱該問題為整數(shù)線性規(guī)劃問題.平面法和分支定界法是兩種常用的求解整數(shù)線性對(duì)于整數(shù)線性規(guī)劃問題的求解，其難度和運(yùn)三、整數(shù)線性規(guī)劃模型算量遠(yuǎn)大于同規(guī)模的線性規(guī)劃問題.Gomory割規(guī)劃問題的方法（見文獻(xiàn)[1]）.此外，同線性規(guī)劃模型一樣，我們也可以運(yùn)用LINGO和LINDO軟件包來求解整數(shù)線性規(guī)劃模型.第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月以1988年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題為例，說明整數(shù)線性規(guī)劃模型的建立及用LINGO軟件包如何求解整數(shù)線性規(guī)劃模型。例3.有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩節(jié)鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（t，以cm計(jì)）及重量（w，以kg計(jì)）是不同的.表1給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。每節(jié)平板車有10.2m長的地方可用來裝包裝箱（像面包片那樣），載重為40t.由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制，對(duì)于第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月C5,C6,C7類包裝箱的總數(shù)有一個(gè)特別的限制：這類箱子所占的空間（厚度）不能超過302.7cm.試把包裝箱裝到平板車上，使得浪費(fèi)的空間最小.種類C1C2C3C4C5C6C7t/cm48.753.061.372.048.752.064.0w/kg200030001000500400020001000n/件8796648第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月為在第節(jié)車上裝載第件包裝箱的解令下面我們建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型。第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1)約束條件兩節(jié)車的裝箱數(shù)不能超過需要裝的件數(shù)，即：每節(jié)車可裝的長度不能超過車能提供的長度：每節(jié)車可裝的重量不超過車能夠承受的重量：第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于C5,C6,C7類包裝箱的總數(shù)的特別限制：2)目標(biāo)函數(shù)浪費(fèi)的空間最小，即包裝箱的總厚度最大：第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3)整數(shù)線性規(guī)劃模型第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由上一步中的求解結(jié)果可以看出，4)模型求解運(yùn)用LINGO軟件求解得到：5)最優(yōu)解的分析說明的裝車方案，此時(shí)裝箱的總長度為1019.7cm，兩節(jié)車共裝箱的總長度為2039.4cm.即為最優(yōu)但是，上述求解結(jié)果只是其中一種最優(yōu)的裝車方案，即此答案并不唯一.第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月0-1整數(shù)規(guī)劃是整數(shù)規(guī)劃的特殊情形，它要求線性規(guī)劃模型中的決策變量xij只能取值為0或1.單隱枚舉法，該方法是一種基于判斷條件（過濾0-1整數(shù)規(guī)劃模型的求解目前并沒有非常好的四、0-1整數(shù)規(guī)劃模型

算法，對(duì)于變量比較少的情形，我們可以采取簡條件）的窮舉法.我們也可以利用LINGO和LINDO軟件包來求解0-1整數(shù)規(guī)劃模型.第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月背包問題例4.有n個(gè)物品，編號(hào)為1,2,…,n，第i件物品重ai千克，價(jià)值為ci

元，現(xiàn)有一個(gè)載重量不超過大，應(yīng)如何裝載這些物品？a千克的背包，為了使裝入背包的物品總價(jià)值最用變量xi

表示物品i是否裝包，i=1,2,…,n，并令：解第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月可得到背包問題的規(guī)劃模型為：第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月指派問題例5.有n項(xiàng)任務(wù)，由n個(gè)人來完成，每個(gè)人只能做一件，第i個(gè)人完成第j項(xiàng)任務(wù)要cij小時(shí)，如何合理安排時(shí)間才能使總用時(shí)最??？引入狀態(tài)變量xij

，并令：解則總用時(shí)表達(dá)式為：第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月可得到指派問題的規(guī)劃模型為：第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月上面介紹的指派問題稱為指派問題的標(biāo)準(zhǔn)形式，還有許多其它的諸如人數(shù)與任務(wù)數(shù)不等、及但一般可以通過一些轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式.某人可以完成多個(gè)任務(wù)，某人不可以完成任務(wù)，某任務(wù)必須由某人完成等特殊要求的指派問題.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式的指派問題，我們可以利用匈牙利算法實(shí)現(xiàn)求解.它將指派問題中的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)矩陣，利用矩陣上簡單的行和列變換，結(jié)合解的判定條件，實(shí)現(xiàn)求解（見文獻(xiàn)[2]）.第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月DVD在線租賃第二個(gè)問題的求解問題二的分析經(jīng)營成本和會(huì)員的滿意度是被考慮的兩個(gè)相互制約的重要因素.在忽略郵寄成本的前提下，經(jīng)營成本主要體現(xiàn)為DVD的數(shù)量.我們主要考慮在會(huì)員向網(wǎng)站提供需求信息，且滿足一定要求的前提下，對(duì)給定數(shù)量DVD進(jìn)行分配決策，使得DVD的數(shù)量盡量小，會(huì)員滿意度最大.第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)按照公歷月份進(jìn)行的租賃業(yè)務(wù)，即會(huì)員無論兩次租賃還是一次租賃，必須在當(dāng)月內(nèi)完成DVD的租與還.同時(shí)假設(shè)網(wǎng)站對(duì)其會(huì)員進(jìn)行一次租賃業(yè)務(wù)時(shí)，只能向其提供3張?jiān)摃?huì)員已經(jīng)預(yù)定的DVD，否則不進(jìn)行租賃.經(jīng)觀察，可以認(rèn)為在線訂單中每個(gè)會(huì)員的預(yù)定DVD的表示偏好程度的數(shù)字反映了會(huì)員對(duì)所預(yù)定不同DVD的滿意程度，且當(dāng)會(huì)員租到其預(yù)定排序?yàn)?，2，3的三張DVD時(shí)，滿意度達(dá)到100%.會(huì)員沒有預(yù)定的DVD對(duì)其滿意度的貢獻(xiàn)為0.第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月利用層次分析法，對(duì)此滿意指數(shù)的合理性進(jìn)行了簡單分析.該問題要求根據(jù)現(xiàn)有的100種DVD的