第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(少)課件

第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計7.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點7.2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器7.3利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器7.5IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較.7/22/20237.1線性相位FIRDF的條件和特點一.引言為何要設(shè)計FIR濾波器？(1)語音處理，圖象處理等應(yīng)用要求線性相位，任意幅度。FIRDF具有嚴(yán)格的線性相位，同時可具有任意幅度特性。(2)FIRDF單位抽樣響應(yīng)是有限長的，故濾波器是穩(wěn)定的。只要經(jīng)過延時，任何非因果有限長序列都能變成因果。(3)FIR可以用FFT算法來實現(xiàn)過濾信號。IIR數(shù)字濾波器缺點：優(yōu)點：相位非線性能借助模擬濾波器已有成果設(shè)計.7/22/2023.7/22/2023.7/22/2023二.線性相位的定義長度為N的h(n),傳輸函數(shù)為：Hg(ω):幅度特性,θ(ω):相位特性。線性相位:傳輸函數(shù)表達(dá)式中的θ(ω)是ω的線性函數(shù)

第二類線性相位： 第一類線性相位：群時延:是濾波器平均延遲的一個度量第一、二類線性相位的群時延相同，為τ.7/22/2023三.線性相位的條件第一類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱。第二類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱。四.線性相位條件證明(1)第一類線性相位的條件證明若，則證明：.7/22/2023所以H(z)表示為：將z=ejω代入上式，得到：.7/22/2023由上式可知：群時延：.7/22/2023(2)第二類線性相位的條件證明證明：若，則所以H(z)表示為：.7/22/2023將z=ejω代入上式，得到：由上式可知：群時延：.7/22/2023五.線性相位FIR濾波器的幅度特性由于h(n)的長度N取奇數(shù)還是偶數(shù)，對Hg(ω)的特性有影響，因此，對于兩類線性相位，下面我們分四種情況討論其幅度特性的特點：

（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)為偶對稱，

N=奇數(shù)（2）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)為偶對稱，N

=偶數(shù)（3）h(n)=-h(N-1-n)

，即h(n)為奇對稱，

N

=奇數(shù)（4）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)為奇對稱，

N

=偶數(shù).7/22/2023（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)為偶對稱，

N=奇數(shù)h(n)幅度函數(shù):

上式中：h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項進(jìn)行合并，可得：.7/22/2023看出：cos(nω)對于w=0,,2皆為偶對稱，所以幅度函數(shù)Hg(ω)也對ω

=0,,2皆為偶對稱。且H(0),H(),H(2)都可不為零(只要h((N-1)/2)不為零)。所以ω從02范圍內(nèi)，無任何約束，可以設(shè)計成任何一種濾波器。低通、高通、帶通、帶阻）.7/22/2023（2）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)為偶對稱，N

=偶數(shù)h(n)幅度函數(shù):上式中：h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項進(jìn)行合并，可得：.7/22/2023看出：cos[(n-1/2)ω)]在ω

=時為零，且對ω

=奇對稱，所以幅度函數(shù)Hg(ω)也對ω

=

奇對稱，且在ω

=處有一零點，使Hg()=0

。用n代替m,有：(所以這種情況不能用于設(shè)計ω=時，Hg(ω)0的濾波器。如：高通、帶阻).7/22/2023.7/22/2023（3）h(n)=-h(N-1-n)

，即h(n)為奇對稱，

N

=奇數(shù)h(n)幅度函數(shù):上式中，利用h(n)和sin(*)的奇對稱性合并相同的項得：負(fù)負(fù)得正.7/22/2023用n代替m,有：

看出：sin(nw)對于w=0,,2處皆為0，即Hg(w)在w=0,,2處必為零。也即H(z)在z=1處都為零。sin(nw)對w=0,,2呈奇對稱形式。(不能用于

ω=0,時，Hg(ω)0的濾波器設(shè)計，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計。).7/22/2023（4）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)為奇對稱，

N

=偶數(shù)h(n)幅度函數(shù):上式中，利用h(n)和sin(*)的奇對稱性合并相同的項得：用n代替m,有：.7/22/2023

看出：sin[(n-1/2)ω)]對于w=0,2處皆為0，即Hg(w)在w=0,2處必為零。也即H(z)在z=1處有一個零點,且對w=0,

2呈奇對稱，對w=偶對稱(不能用于

ω=0時，Hg(ω)0的濾波器設(shè)計，故不能用作低通和帶阻濾波器的設(shè)計。).7/22/2023第一種情況：h偶、N奇，Hg(ω)關(guān)于0，，2偶對稱。四種濾波器都可設(shè)計(cos(nω))。第二種情況：h偶、N偶，Hg(ω)關(guān)于奇對稱?？稍O(shè)計低、帶通濾波器，不能設(shè)計高通和帶阻(cos[(n-1/2)ω)])。第三種情況：h奇、N奇，Hg(ω)關(guān)于0，，2奇對稱。只能設(shè)計帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計(sin(nw))。第四種情況：h奇、N偶，Hg(ω)關(guān)于0，2奇對稱，關(guān)于偶對稱。可設(shè)計高通、帶通濾波器，不能設(shè)計低通和帶阻(sin[(n-1/2)ω)])。六.（總結(jié)）線性相位FIR濾波器的幅度特性.7/22/2023.7/22/2023四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)。幅度特性取決于h(n)。設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。.7/22/2023七.線性相位FIR濾波器零點分布特點1.若z=zi是H(z)的零點,則z=zi-1也是其零點2.h(n)為實數(shù)，則零點共軛成對線性相位濾波器的零點是互為倒數(shù)的共軛對得：由??h(n)={22,20,33,6,6,33,-20,22}.7/22/2023八.線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)為N為偶數(shù)，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：要想確定濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，首先要得到系統(tǒng)的差分方程或系統(tǒng)函數(shù)。.7/22/2023N為偶數(shù)時系統(tǒng)函數(shù)：由前述可得：第一類線性相位情況下第二類線性相位情況下N為奇數(shù)時系統(tǒng)函數(shù)：N為偶數(shù)時系統(tǒng)函數(shù)：N為奇數(shù)時系統(tǒng)函數(shù)：根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)可畫出如下的濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：.7/22/2023圖7.1.2第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).7/22/2023圖7.1.3第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與FIR濾波器的直接結(jié)構(gòu)相比，利用線性相位的對稱特性可節(jié)省一半左右的計算量！.7/22/2023第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計7.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點7.2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器7.3利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器7.5IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較.7/22/20237.2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器1.由理想的頻率響應(yīng),得到理想的；2.由得到因果、有限長的單位抽樣響應(yīng);3.對加窗得到較好的頻率響應(yīng)。理想頻率響應(yīng)一、思路與方法：表達(dá)式及特點？.7/22/2023則其脈沖響應(yīng)：無限長非因果偶對稱解決方法：截短，移位保留即：隱含著使用了窗函數(shù)理想低通的傳輸函數(shù)為：特點：.7/22/2023于是：注意：是因果的，且是線性相位的，即？即事先給一線性相位為了省去每次的移位，可以令：

在通帶內(nèi)這樣：.7/22/2023于是：使用了矩形窗上式的的表達(dá)式及設(shè)計的思路可推廣到高通、帶阻及帶通濾波器，也可推廣到其它特殊類型的濾波器。實際上，給定一個 ，只要能積分得到，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾波器。為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱：即：.7/22/2023圖7.2.1理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器圖示.7/22/2023補(bǔ)充幾種常用的理想濾波器高通：令：相當(dāng)于用一個截止頻率在處的低通濾波器（實際上是全通濾波器）減去一個截止頻率在處的低通濾波器。.7/22/2023令：相當(dāng)于用一個截止頻率在處的低通濾波器減去一個截止頻率在處的低通濾波器。帶通：.7/22/2023二、FIR低通濾波器設(shè)計步驟①已知濾波器的階數(shù)N，和理想低通的ωc②

利用公式求移位值α③利用公式求理想低通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)④利用公式截短hd(n)得可實現(xiàn)濾波器響應(yīng)h(n)例7.2.1用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計FIR低通濾波器，設(shè)N=11,ωc=0.2πrad。h(n)={0,0.0468,0.1,0.1514,0.1871,1,0.1871,0.1514,0.1,0.0468,0}解：.7/22/2023三、關(guān)于對截短的討論（幅度特性）稱為用矩形窗對hd(n)進(jìn)行處理h(n)的DTFT為：

為矩形窗的幅度特性。其中：將理想低通濾波器的頻率響應(yīng)表示為：.7/22/2023則理想低通的幅度特性：則的設(shè)計低通的幅度特性：可見：設(shè)計的濾波器的幅度特性是矩形窗函數(shù)的幅度特性與理想低通濾波器的幅度特性的卷積（過程見下圖）.7/22/2023理想低通幅度特性窗函數(shù)幅度特性.7/22/2023加矩形窗處理后，對理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生了以下兩點影響：①

使理想頻率特性不連續(xù)點ω=ωc處，形成了一個過渡帶，過渡帶的寬度等于矩形窗的頻率響應(yīng)RN(ω)的主瓣寬度△ω=4π/N②在截止頻率ωc的兩邊ω=ωc±2π/N處（即過渡帶的兩邊），H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的快慢，則取決于RN(ω)波動的快慢。以上兩點就是對hd(n)截斷后，在頻域的反映，稱為吉布斯效應(yīng)，其直接影響濾波器的性能。.7/22/2023若增加截取長度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為：隨著x加大(N加大)，函數(shù)曲線波動的頻率加快(因為過零點間隔變小)，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣幅度相對值不變。

減少吉布斯效應(yīng)影響的方法：1、過渡帶寬△ω=4π/N。由此增加窗長N，能減小過渡帶寬2、增加窗長N，在減小過渡帶寬同時，能改善振蕩的情況嗎？分析：因此，減少帶內(nèi)波動和加大阻帶的衰減只能從窗形入手。.7/22/2023四、窗函數(shù)介紹窗函數(shù)的使用在數(shù)字信號處理中是不可避免的。數(shù)據(jù)、頻譜、自相關(guān)函數(shù)等都需要截短。對窗函數(shù)提出那幾方面的要求？對加窗的理解，關(guān)鍵是要搞清楚使用窗函數(shù)后所產(chǎn)生的影響：一個域相乘，在另一個域是卷積。窗函數(shù)的要求：(1)窗譜主瓣盡可能的窄，以獲得較陡的過渡帶。(2)盡量減小窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是能量盡量集中在主瓣，這樣使肩峰和波紋減小，可以增大阻帶的衰減。.7/22/2023（1）矩形窗（2）三角形窗（Bartlett).7/22/2023不同窗函數(shù)的波形以及幅度譜圖.7/22/2023當(dāng)N>>1時，N-1≈N，（3）漢寧(Hanning)窗——升余弦窗.7/22/2023.7/22/2023(7.2.11)當(dāng)N>>1時，可近似表示為（4）哈明(Hamming)窗——改進(jìn)的升余弦窗.7/22/2023.7/22/2023(7.2.13)其頻域函數(shù)為：其幅度函數(shù)為：(7.2.14)（5）布萊克曼(Blackman)窗.7/22/2023.7/22/2023I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用以下級數(shù)計算：（6）凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-BaselWindow)一般I0(x)取15~25項，便可以滿足精度要求。α參數(shù)可以控制窗的形狀。一般α加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4<α<9。當(dāng)α=5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗。α=7.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為：.7/22/2023.7/22/2023六種窗函數(shù)的基本參數(shù).7/22/2023窗函數(shù)窗譜性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)旁瓣峰值/dB主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-574π/N8π/N8π/N8π/N12π/N1.8π/N4.2π/N6.2π/N6.6π/N11π/N10π/N-21-25-44-53-74-80.7/22/2023五、用窗函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的步驟①利用，由給定的濾波器的幅頻響應(yīng)參數(shù)求出理想的單位脈沖響應(yīng)。若得不到封閉式或不能用上式計算時，可對在到間等間隔采樣M，用下式代替上式的積分當(dāng)M足夠大時，就可保證能足夠好的逼近按照頻率采樣定理，與的關(guān)系為：

.7/22/2023②按允許的過渡帶寬度△ω及阻帶衰減，選擇合適的窗函數(shù)，并估計節(jié)數(shù)N：其中A由窗函數(shù)的類型決定。③確定延時值（即濾波器的對稱中心）④

求⑤必要時驗算頻率響應(yīng)：.7/22/2023采用窗函數(shù)法，設(shè)計簡單，方便，也實用。但要求用計算機(jī)，