邏輯學(xué)北大課課件

第四章謂詞邏輯第一節(jié)謂詞邏輯概述命題邏輯和謂詞邏輯命題邏輯：不分析簡(jiǎn)單命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)，討論關(guān)于聯(lián)結(jié)詞的推理理論。例如：

如果某甲作案，那么他一定有作案動(dòng)機(jī)。 某甲沒有作案動(dòng)機(jī)。 所以，某甲沒有作案。謂詞邏輯：分析簡(jiǎn)單命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，討論關(guān)于量詞的推理理論。例如：

所有的作案者都有作案動(dòng)機(jī)。 某甲沒有作案動(dòng)機(jī)。 所以，某甲不是作案者。

7/23/20232命題邏輯和謂詞邏輯研究推理形式的有效性時(shí)，把命題當(dāng)做不可分的邏輯單位有時(shí)是不夠的。例如：

（1）張三的朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友。所以，王五不是張三的朋友。這個(gè)推理的形式在命題邏輯中表示為：P，?q├?r這個(gè)推理事實(shí)上是有效的。但僅用命題邏輯的理論不能表明它是有效的推理。

（2）所有人都會(huì)死，張三是人，所以，張三會(huì)死。這是一個(gè)正確的三段論推理。但僅用命題邏輯的理論也不能表明它是有效推理。因此，要研究涉及量詞的推理，僅用命題邏輯的理論是不夠的。只有在命題邏輯的基礎(chǔ)上發(fā)展謂詞邏輯，才能解決這類推理的有效性問題。7/23/20233個(gè)體詞和謂詞謂詞邏輯就是把命題分解為個(gè)體詞、謂詞、量詞以及聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)。例如：（3）我是學(xué)生。（4）王五不是李四的朋友。個(gè)體詞：表示個(gè)體的語詞，如：“我”、“王五”、“李四”。謂詞：用來說明個(gè)體詞的性質(zhì)或關(guān)系的語詞。如例（3）中“是學(xué)生”是一元謂詞，例（4）“…是…的朋友”是二元謂詞。類似的，還有三元謂詞，如“…在…和…之間”以及n元謂詞。7/23/20234個(gè)體詞和謂詞的符號(hào)化個(gè)體常項(xiàng)：表示一定范圍內(nèi)確定的個(gè)體，記為小寫的：a,b,c,…；個(gè)體變?cè)罕硎疽欢ǚ秶鷥?nèi)不確定的個(gè)體，記為小寫的：x,y,z,…；個(gè)體域也稱論域：個(gè)體變?cè)淖兓秶?，記為：D。謂詞符號(hào)：表示性質(zhì)或關(guān)系的符號(hào)，記為大寫：D、E、F、G…；一元謂詞公式，記為：Dx，Ex，F(xiàn)x，…；二元謂詞公式，記為：Dxy，Exy，Hxy，Rxy，…；三元謂詞公式，記為：Gxyz，Bxyz，Pxyz，Kxyz，…；n元謂詞公式，記為：Sx1x2…xn，Wx1x2…xn，…。個(gè)體詞和謂詞的符號(hào)化實(shí)例:用a表示“張三”，用Dx表示一元謂詞“會(huì)死”，則命題“張三會(huì)死”可表示為：Da。如是Fxy表示二元謂詞“…是…的朋友”，那么：Fab表示“a是b的朋友”;?Fab表示“a不是b的朋友”。7/23/20235開語句 P：…是紫色的。 Px：x是紫色的。讓開語句有真值的方法：（1）用個(gè)體常項(xiàng)代替?zhèn)€體變?cè)?。用a表示“這朵玫瑰花”，則Pa表示語句“這朵玫瑰花是紫色的”。（2）對(duì)個(gè)體變?cè)M(jìn)行量化。例如:命題“存在玫瑰花是紫色的”為真。沒有真假的命題函數(shù)，即從個(gè)體到真值的函數(shù)。例如:7/23/20236量詞全稱量詞：指稱論域D中個(gè)體的全部。

例如：所有，任何，每一個(gè)，…。存在量詞：指稱論域D中個(gè)體至少有一個(gè)存在。例如：存在，有，有些，…。符號(hào)化的量詞：

全稱量詞：所有x，任何x，…，均記為：x。

存在量詞：有x，存在x，…，均記為：x。全稱命題：含有全稱量詞的命題。特稱(存在)命題：含有存在量詞的命題。表示論域D中個(gè)體數(shù)量的語詞7/23/20237命題的形式化（1）凡事物都是發(fā)展的。

用x表示個(gè)體詞，用D表示“是發(fā)展的”，形式化為：xDx（2）凡是自然數(shù)都大于零。

用N表示“是自然數(shù)”，用E表示“大于零”，形式化為：x(NxEx）（3）所有大學(xué)生都不是兒童。

用S表示“是大學(xué)生”，用C表示“是兒童”，形式化為：x(SxCx)（4）有的大學(xué)生是兒童：x(Sｘ∧Cｘ)（5）小李沒有同任何人吵架。

a：小李；Ｍ：…是人，D：…同…吵架，形式化為：x（Ｍx→Ｄax）（6）有些大一學(xué)生認(rèn)識(shí)小李。a：小李；F：…是大一學(xué)生，R：…認(rèn)識(shí)…，形式化為：x(Fx∧Rxa)7/23/20238命題的形式化

在對(duì)以上命題形式化時(shí)，沒有限制論域，即論域是全域。我們也可在一定的范圍內(nèi)討論問題，因些個(gè)體變?cè)淖冇蛲幌拗圃谀硞€(gè)特定的范圍內(nèi)。（7）有的學(xué)生（Ｓ）作對(duì)（Ｒ）所有試題（Ｔ）不限制論域：x（Ｓx∧y(Ty→Rxy)）限制論域：x的變域:X=學(xué)生；y的變域:Y=試題則形式為:xyRxy一階邏輯：量詞是只對(duì)命題中的個(gè)體變?cè)M(jìn)行量化，而不對(duì)謂詞變?cè)M(jìn)行量化。高階謂詞：不僅對(duì)個(gè)體變?cè)覍?duì)謂詞變?cè)M(jìn)行量化。7/23/20239第四章謂詞邏輯第二節(jié)一階語言及其語義解釋一階語言L（1）初始符號(hào)個(gè)體變?cè)?hào)：x,y,z,…；x1,x2,…；若干（可以為0個(gè)）個(gè)體常項(xiàng)符號(hào)：a,b,c…若干（至少一個(gè)）謂詞符號(hào)：D,E,F,G,R，…聯(lián)結(jié)詞符號(hào)：,∧,∨,→；量詞符號(hào)：,；輔助符號(hào)：括號(hào)：（，）；逗號(hào)：，。（2）形成規(guī)則：包括項(xiàng)的形成規(guī)則和公式的形成規(guī)則。①項(xiàng)的形成規(guī)則：?jiǎn)蝹€(gè)的個(gè)體變?cè)╲，u，w，…）和個(gè)體常項(xiàng)（a，b，c，…）稱為項(xiàng)。7/23/202311一階語言L②公式的形成規(guī)則：1、如果R是n元謂詞（n1）,t1…tn是n個(gè)項(xiàng)，則Rt1…tn是公式（原子公式）；2、如果A是公式，則A是公式；3、如果A和B是公式，則A∧B、A∨B、A→B是公式；4、如果A是公式，v是個(gè)體變?cè)?，則vA和vA是公式（vA稱為全稱公式；vA稱為存在（特稱）公式）。

一階語言L的一個(gè)符號(hào)串是（合式）公式，當(dāng)且僅當(dāng)它符合以上形成規(guī)則。一階語言L的全體（合式）公式，記為Form（L）。一階語言L是形式語言L′的擴(kuò)充。（3）定義：用來表示符號(hào)串的縮寫。如：AB=df(A→B)∧(B→A)。7/23/202312量詞的轄域量詞的轄域：量詞的作用范圍。量詞的轄域可定義為：如果B是vB和vB的子公式，則稱B為量詞v和v的轄域。在公式中，量詞的轄域是該量詞及緊接該量詞的最短公式。帶橫線部分指明了存在量詞的轄域。(1)xＤx∨Ｅx(2)x（Ｆxy∧yＧy）(3)xy（Ｆxy∧xz（Ｇxz→Ｈyz）7/23/202313約束變?cè)妥杂勺冊(cè)冊(cè)募s束出現(xiàn)：一個(gè)變?cè)诠嚼锏某霈F(xiàn)是約束的，當(dāng)且僅當(dāng)，這種出現(xiàn)是在采用該變?cè)牧吭~的轄域內(nèi)。變?cè)淖杂沙霈F(xiàn)：一個(gè)變?cè)诠嚼锏某霈F(xiàn)是自由的,當(dāng)且僅當(dāng)，該變?cè)某霈F(xiàn)不是約束的。約束變?cè)褪羌s束出現(xiàn)的變?cè)?；自由變?cè)褪亲杂沙霈F(xiàn)的變?cè)?/p>

例如：在xＤx∨Ｅx中，變?cè)獂出現(xiàn)了三次，前兩次出現(xiàn)是在量詞x的轄域中，因而是約束出現(xiàn)的，第三次是自由出現(xiàn)的。7/23/202314自由變?cè)拇肴绻紸中有自由變?cè)獀，則把該公式記為：A(v)。以個(gè)體詞t代入A(v)中的v，則記為：A(v/t)。例如：（1）對(duì)于公式Px→Qx，用A(x)來表示x是自由變?cè)篈(x)：Px→Qx；（2）對(duì)于公式x(Qx∧Rxy)，用B(y)來表示y是自由變?cè)築（y）：x(Qx∧Rxy)；（3）用個(gè)體變?cè)獃代替A(x)中的自由變?cè)篈(x/y)：Py→Qy；（4）用常元a代替A(x)中的自由變?cè)篈(x/a)：Pa→Qa。自由變?cè)拇胍?guī)則：(1)、代換必須處處進(jìn)行A(x)：Px→Qx以y代換A(x)中的自由變?cè)獂：A(x/y)：Py→Qy（正確代換）A(x/y)：Px→Qy（錯(cuò)誤代換）(2)、代換不能改變量詞的約束關(guān)系B(y)：x(Qx∧Rxy)以個(gè)體變?cè)獊泶鷵QB(y)中的自由變?cè)獃：B(y/z)：x(Qx∧Rxz)（正確代換）B(y/x)：x(Qx∧Rxx)（錯(cuò)誤代換）7/23/202315一階語言L

的語義解釋一、原子公式的解釋：

給定一個(gè)個(gè)體域D，將個(gè)體常項(xiàng)解釋為個(gè)體域中特定的個(gè)體，將謂詞符號(hào)解釋成這個(gè)個(gè)體域中的性質(zhì)或這個(gè)個(gè)體域上的關(guān)系，則原子公式是否為真可以歸結(jié)為某個(gè)個(gè)體是否具有某種性質(zhì)或某些個(gè)體是否具有某種關(guān)系。二、全稱公式和特稱公式的解釋：

在給定的一個(gè)解釋下，vA為真要求將v解釋成個(gè)體域中任何個(gè)體時(shí)A都為真，而vA為真，則只要將v解釋成個(gè)體域中至少一個(gè)個(gè)體時(shí)A為真。

嚴(yán)格地講，一階語言的語義解釋就是在把個(gè)體詞解釋成為個(gè)體域中的個(gè)體、把謂詞解釋為個(gè)體域中的性質(zhì)或個(gè)體域上的關(guān)系的基礎(chǔ)上，確定公式的真值即給公式賦值。7/23/202316一階語言L的語義解釋語義解釋也稱為模型，記為μ，μ包括以下內(nèi)容：(1)一個(gè)個(gè)體變?cè)娜≈捣秶强占螪(論域、個(gè)體域)(2)對(duì)每個(gè)個(gè)體常項(xiàng)a，指定D中一個(gè)確定的個(gè)體aμ；(3)對(duì)每個(gè)n元謂詞符號(hào)R，指定D上的一個(gè)n元關(guān)系Rμ；在一個(gè)解釋（模型）中，每個(gè)閉公式有確定的真值。例如：D=自然數(shù)，個(gè)體常項(xiàng)a解釋為4（aμ=4）；一元謂詞P解釋為“是偶數(shù)（Pμ）”；二元謂詞G解釋為“＞”（Gμ=＞）；則：Pa的解釋是“4是偶數(shù)”（真命題）；xPx的解釋是“所有自然數(shù)是偶數(shù)”（假命題）；xyGyx的解釋是“對(duì)所有自然數(shù)總存在大于它的自然數(shù)”(真命題)。7/23/202317指派和賦值個(gè)體變?cè)c它所指稱的對(duì)象通過指派建立了確定的聯(lián)系。一個(gè)模型上的指派有無窮多個(gè)。原子公式的值可以根據(jù)模型和指派確定。設(shè)ρ是模型μ上的指派，v是變?cè)?，d∈D。所謂模型μ上與指派ρ相關(guān)聯(lián)的指派ρ(v/d)是指如下定義的指派：如果u≠v,則ρ(v/d)(u)=ρ(u)；如果u=v，則ρ(v/d)(u)=d。不管原指派ρ中v的值是什么，新指派ρ(v/d)總是把v指派成d，而其余變?cè)闹刀疾蛔?。顯然，如果d=ρ(v)，則ρ(v/d)=ρ，即ρ自己也是與其自身相關(guān)聯(lián)的指派。給每個(gè)變?cè)付ㄒ粋€(gè)個(gè)體的過程稱作指派，記為ρ7/23/202318謂詞邏輯的每個(gè)項(xiàng)和公式在賦值δ下都有確定的值。項(xiàng)的基本語義定義:設(shè)δ=〈μ,ρ〉是一個(gè)賦值，t是任意的項(xiàng)，t在δ下的值δ(t)是論域D中的個(gè)體，具體定義如下：(1)如果t是個(gè)體變?cè)獀，則δ(v)=ρ(v)；(2)如果t是個(gè)體常項(xiàng)a，則δ(a)=aμ。模型μ和μ上的一個(gè)指派ρ確定一個(gè)賦值δ，記為δ=<μ,ρ>7/23/202319公式的基本語義定義設(shè)δ=〈μ,ρ〉是一個(gè)賦值，A是任意的公式，A在δ下的值記為δ(A)。δ（A）=T，或者δ（A）=F。定義如下：（1）如果A是原子公式R(t1…tn)，則δ(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)〈δ（t1）,…，δ(tn)〉∈Rμ；（2）如果A是B，則δ（A）=T當(dāng)且僅當(dāng)δ（B）=F；（3）如果A是B∧C，則δ（A）=T當(dāng)且僅當(dāng)δ（B）=T且δ（C）=T；（4）如果A是B∨C，則δ(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(B)=T或δ(C)=T；（5）如果A是B→C，則δ(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(B)=F或δ(C)=T；（6）如果A是vB，則δ(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何d∈D,都有(v/d)(B)=T；（7）如果A是vB，則δ(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)存在d∈D,使得δ(v/d)(B)=T。7/23/202320公式的基本語義定義基本語義解釋的直觀意義第（1）條只不過是說原子公式R（t1…tn）為真，只要t1，…，tn所指對(duì)象具有D上的關(guān)系Rμ。第（2）——（5）條只不過說對(duì)聯(lián)結(jié)詞的解釋與第二章中的解釋相同。第（6）條不過是說vB為真就是v的值取遍論域時(shí)B的值總為真。第（7）條也不過是說vB為真就是論域中至少有一個(gè)個(gè)體使B為真。7/23/202321公式的基本語義定義設(shè)一階語言L包括二元謂詞符號(hào)G，個(gè)體常項(xiàng)a和b，取模型μ，使得個(gè)體域D是整數(shù)，Gμ是“＜”（整數(shù)上的小于關(guān)系），aμ=10，bμ=11。δ=〈μ,ρ〉,其中ρ為：ρ(x)=－2，ρ(y)=13，ρ(z)=8，…那么：δ(Gab)=T(命題“10＜11”為真)；δ(Gay)=T(命題“10＜13”為真)；δ(Gyx)=F(命題“13＜－2”為假)?？蓾M足性

設(shè)A是公式，μ是任意模型；如果存在賦值δ，使得δ（A）=T，則稱模型μ滿足A，記為：μ

=A，否則，稱模型μ不滿足A，記為：μ

≠A。協(xié)調(diào)性

設(shè)Γ是公式集(Γ={A1，A2，…An})，μ是任意模型；如果存在賦值δ，使得δ（Γ）=T（即δ（A1）=T，δ（A2）=T,…,δ(An)=T），則稱在模型μ中該公式集Γ是協(xié)調(diào)的，否則，稱Γ在模型μ中是不協(xié)調(diào)的。7/23/202322語義后承設(shè)μ是任意模型，L是所有μ構(gòu)成的模型類，Γ是公式集（Γ={A1，A2，…，An}），B是公式。如果模型μ上任何賦值δ都滿足：只要μ

=Γ（即δ（Γ）=T），就有μ

=B（即δ（B）=T），則稱（在模型類C中）B是Γ的語義后承（Γ邏輯蘊(yùn)涵B，或Γ與B具有語義推出關(guān)系，Γ推出B是有效的），記為Γ=

LB。如果在模型μ上存在賦值δ，使得μ

=Γ，但μ

≠B，則稱B不是Γ的語義后承（Γ不能有效地推出B，Γ與B沒有語義推出關(guān)系），記為?！貺

B。7/23/202323應(yīng)用實(shí)例

由前提“（這架飛機(jī)上）所有乘客或者是中國(guó)人或者是日本人”能否有效地推出結(jié)論“（這架飛機(jī)上）所有乘客是中國(guó)人，或者，所有乘客是日本人”。以（這架飛機(jī)上）乘客為論域D，以P、Q分別表示一元謂詞“是中國(guó)人”和“是日本人”，則前提和結(jié)論的形式分別是：A：x（Px∨Qx），B：xPx∨xQx。7/23/202324

取模型μ，使得D={d1,d2,d3,d4,d5},其中d1、d2、d3∈中國(guó)人；d4、d5∈日本人,δ=<μ，ρ>是μ上的一個(gè)賦值，其中ρ為：ρ(x)=d，d∈D；任取d∈D,都有δ(x/d)(Px∨Qx)=T,所以,δ(x（Px∨Qx)=T(即前提“（這架飛機(jī)上）所有乘客或者是中國(guó)人或者是日本人”為真)；但是，存在d∈D(例如，d4),使得δ(x/d)(Px)=F,也存在d∈D(例如d1),使得δ(x/d)(Qx)=F，所以，δ(xPx)=F，而且δ(xQx)=F；因此，δ(xPx∨xQx)=F（即結(jié)論“(這架飛機(jī)上)所乘客是中國(guó)人，或者，所有乘客是日本人”假），即：x（Px∨Qx）≠LxPx∨xQx。7/23/202325第四章謂詞邏輯第三節(jié)謂詞邏輯的自然推理系統(tǒng)QNP謂詞邏輯自然推理的一般步驟1、把給定的前提符號(hào)化（如果給定前提是自然語言的話）；2、用有關(guān)的規(guī)則消去量詞；3、運(yùn)用命題邏輯自然推理的規(guī)則，求出不帶量詞的結(jié)論；4、用有關(guān)規(guī)則給結(jié)論添上量詞。7/23/202327全稱量詞的推理所有動(dòng)物都有死，所有虎都是動(dòng)物，所以，所有虎都有死。（１）ｘ（Ｆｘ→Ｄｘ）Ａ1（２）ｘ（Ｈｘ→Ｆｘ）Ａ2（３）Ｆｘ→Ｄｘ消去（１）的全稱量詞（４）Ｈｘ→Ｆｘ消去（２）的全稱量詞（５）Ｈｘ→Ｄｘ（３）、(４)假言三段論（６）ｘ（Ｈｘ→Ｄｘ）（５）引入全稱量詞7/23/202328消去全稱量詞的推理規(guī)則消去全稱量詞的推理規(guī)則也稱全稱例示規(guī)則（_）

從ｖＡ可推出Ａ(ｖ/ｔ)，其中Ａ(ｖ/ｔ）表示消去全稱量詞ｖ，并用個(gè)體詞ｔ代替Ａ中的個(gè)體詞ｖ的每一出現(xiàn)而得到的公式。對(duì)_的限制：自由變?cè)獛?biāo)記

在推理時(shí)，如果引進(jìn)的前提或假設(shè)中有自由變?cè)?，那么，須在該前提或假設(shè)的右邊注上標(biāo)記。注有標(biāo)記的變?cè)凶觥皫?biāo)記的變?cè)薄?/23/202329引入全稱量詞的推理規(guī)則引入全稱量詞的推理規(guī)則也稱全稱概括規(guī)則（+）

如果個(gè)體變?cè)鲈诠剑林惺遣粠?biāo)記的（即v不在前提和A依賴的假設(shè)中自由出現(xiàn)），那么可從Ａ推出ｖＡ。對(duì)個(gè)體變?cè)鲞M(jìn)行全稱概括是有條件的：ｖ必須不帶標(biāo)記。下面推理是無效的：ＨｘＡｘＨｘ不加限制地使用+構(gòu)造一個(gè)模型μ，使得D是自然數(shù)，謂詞H解釋為“小于3”。δ=<μ，ρ>，其中ρ(x)=1。于是δ(Hx)=T（即前提“1小于3”是真的），而δ(xHx)=F，即結(jié)論的解釋命題“所有自然數(shù)小于3”是假的。由此可見，對(duì)帶有標(biāo)記的個(gè)體變?cè)荒苓M(jìn)行全稱概括。7/23/202330全稱量詞推理規(guī)則的應(yīng)用所有絕緣體(Ｆx)都不能導(dǎo)電（Ｅｘ）。金屬（Ｄｘ）都導(dǎo)電，鋁制品（Ｇｘ）都是金屬，所以，鋁制品不是絕緣體。（１）ｘ（Ｆｘ→Ｅｘ）Ａ１（２）ｘ（Ｄｘ→Ｅｘ）Ａ２（３）ｘ（Ｇｘ→Ｄｘ）Ａ３（４）Ｆｘ→Ｅｘ（１），_（５）Ｄｘ→Ｅｘ（２），_（６）Ｇｘ→Ｄｘ（３），_（７）Ｇｘｘ，H（→+

的假設(shè)）（８）Ｄｘｘ，(6)，(7)，→_（９）Ｅｘｘ，(5)，(8)，→_（１０）Ｆｘｘ，(4)，(9)，→_（１１）Ｇｘ→Ｆｘ(7)－(10)，→+

（１２）ｘ（Ｇｘ→Ｆｘ）(11)，+7/23/202331存在量詞的推理規(guī)則（１）ｘＦｘA（２）Ｆｘ(1),_從（１）到（２）不是有效的邏輯推理：構(gòu)造一個(gè)模型μ使得D是自然數(shù)，一元謂詞F解釋為“大于1”。δ=<μ,ρ>,其中，ρ（x）=1。于是δ(xFx)=T,即（１）的解釋“有的自然數(shù)大于1”是真的，而δ(Fx)=F,即（２）的解釋“１大于１”是假的。因此，從ｘＦｘ不能推出Ｆｘ。ｘＦｘ斷定了至少有一個(gè)具有性質(zhì)Ｆ的個(gè)體存在。但是，這一個(gè)體是不確定的，不能斷定它就是某個(gè)具體的個(gè)體，因此，可以用符號(hào)：α，β，γ，…；α1，α2，…表示不確定個(gè)體。Fα意指：“不確定個(gè)體α有性質(zhì)Ｆ”。從而，可以從ｘＦｘ推出Ｆα7/23/202332存在量詞的推理規(guī)則消去存在量詞的推理規(guī)則消去存在量詞的推理規(guī)則也稱為存在例示規(guī)則（_）從ｖＡ可推出Ａ（ｖ／π），π稱為新名，即在前的公式中沒有出現(xiàn)過的不確定個(gè)體的名稱，并且π須帶標(biāo)記。引入存在量詞的推理規(guī)則引入存在量詞的推理規(guī)則規(guī)則也稱為存在概括規(guī)則（+）從Ａ（t）可推出ｖＡ。其中，t可以是不確定個(gè)體的名稱，也可以是個(gè)體常項(xiàng)或個(gè)體變?cè)?/23/202333關(guān)于存在量詞推理的應(yīng)用x(Hx→Gx)，xHx├xGx（１）ｘ（Ｈｘ→Ｇｘ）Ａ１（２）ｘＨｘＡ２（３）Ｈαα，（２），_（４）Ｈα→Ｇα（１），_（５）Ｇαα，（3），（4），→_（６）ｘＧｘ（５），+7/23/202334關(guān)于存在量詞推理的應(yīng)用所有哺乳動(dòng)物（Ｄｘ）是動(dòng)物（Ｅｘ），有的哺乳動(dòng)物是水生的（Ｆｘ），所以，有的動(dòng)物是水生的。（１）ｘ（Ｄｘ→Ｅｘ）Ａ１（２）ｘ（Ｄｘ∧Ｆｘ）Ａ２（３）Ｄα∧Ｆαα，（２），_（４）Ｄα→Ｅα（１），_（５）Ｄαα，（３），∧_（６）Ｅαα，（4），（5），→_（７）Ｆαα，（３），∧_（８）Ｅα∧Ｆαα，（６），（７），∧+（９）ｘ（Ｅｘ∧Ｆｘ）（８），+7/23/202335_規(guī)則的限制（1）不確定個(gè)體的名稱必須是沒有出現(xiàn)過的新名（2）新名必須帶標(biāo)記。

（１）ｘＦｘＡ１（２）ｘＦｘＡ２（３）Ｆαα，（１），_（４）Ｆαα，（２），_（５）Ｆα∧Ｆαα,（3）,（4），∧_（6）ｘ（Ｆｘ∧Ｆｘ）（５），_這個(gè)形式推理中，違反了_的第一個(gè)限制，因而造成指稱混亂，導(dǎo)致推理無效。7/23/202336_規(guī)則的限制第二個(gè)限制（新名必須帶標(biāo)記）的理由：

如果新名不帶標(biāo)記，那么對(duì)它也可進(jìn)行全稱概括：從“某個(gè)體有性質(zhì)Ｆ”推出“所有個(gè)體都有性質(zhì)Ｆ”，這當(dāng)然是荒謬的。所以，在用-規(guī)則進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，α均帶標(biāo)記，并且，依賴帶標(biāo)記公式的各公式，其中如有α，亦須帶標(biāo)記。一旦新名從公式中消失后，就應(yīng)同時(shí)消去該新名的標(biāo)記。7/23/202337關(guān)于量詞推理的應(yīng)用所有中文系學(xué)生（Ｆｘ）都喜歡（Ｄｘｙ）任何藝術(shù)家（Ｈｘ），沒有中文系學(xué)生喜歡任何數(shù)學(xué)家（Ｅｘ），有中文系學(xué)生。所以，沒有藝術(shù)家是數(shù)學(xué)家。（1）ｘ（Ｆｘ→ｙ（Ｈｙ→Ｄｘｙ）A1（2）ｘ（Ｆｘ→ｚ（Ｅｚ→Ｄｘｚ）A2（3）ｘＦｘA3（4）Ｆαα,(３),_（5）Ｆα→ｙ（Ｈｙ→Ｄαｙ）(１)，_7/23/202338（6）Ｆα→ｚ(Ｅz→Ｄαz)(2),_（7）y（Ｈｙ→Ｄαｙ）α,(4),(5)，→_（8）ｘ(Ｅz→Ｄαz)α,(4),(6)，→_（9）Ｈｙ→Ｄαｙα,(7),_（１0）Ey→Ｄαｙα,(8),_（１1）Ｄαｙ→Eyα,(10),R．P.（１2）Ｈｙ→Ey,(9),(11),H．S．（１3）y（Ｈｙ→Ey）(12),+7/23/202339量詞的推理規(guī)則的進(jìn)一步限制限制一：運(yùn)用-和+時(shí)，必須遵守個(gè)體變?cè)拇胍?guī)則。限制二：運(yùn)用_規(guī)則時(shí)，公式中可能有的自由個(gè)體變?cè)鶓?yīng)記為新名的標(biāo)記的下標(biāo)。合理代換：不改變?cè)搅吭~的約束關(guān)系的代換。不合理代換（盲目代換）：改變?cè)搅吭~的約束關(guān)系的代換。7/23/202340違反量詞推理規(guī)則的應(yīng)用舉例下面是錯(cuò)誤地運(yùn)用_的推理：（１）xyGxyA1（２）yGyy（1）,_（x/y）構(gòu)造一個(gè)模型μ，使得D是自然數(shù)，謂詞G解釋為“小于”。δ=<μ,ρ>。于是:δ（xyGxy）=T,即（1）的解釋“沒有最大的自然數(shù)”是真的，而δ（yGyy）=F，即(2)的解釋“有小于自己的自然數(shù)”是假的。這個(gè)推理之所以無效，是由于對(duì)（1）_時(shí)進(jìn)行了盲目的代換，x本來不受y的約束，但以y代換x后，代入y的卻被y約束了。7/23/202341違反量詞推理規(guī)則的應(yīng)用舉例下面是錯(cuò)誤運(yùn)用+的推理：在包括運(yùn)算符“+”的一階語言L中，進(jìn)行如下推理：（1）ｘｙⅠ（ｘ＋ｙ）ｙA1（2）ｙⅠ（α＋ｙ）ｙα，（1），_（3）ｙｙⅠ（ｙ＋ｙ）ｙ（2），+構(gòu)造一個(gè)模型μ，使得D是實(shí)數(shù)，謂詞Ⅰ解釋成“＝”，那么（1）的解釋是真的。（3）的解釋是假的。原因是對(duì)（2）錯(cuò)誤地運(yùn)用了+，（2）中不受ｙ約束的α，代換后被ｙ約束。7/23/202342QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系

謂詞邏輯的自然推理系統(tǒng)QNP是一個(gè)根據(jù)量詞和聯(lián)結(jié)詞的推導(dǎo)規(guī)則，運(yùn)用有前提的形式推演構(gòu)建起來的形式系統(tǒng)。關(guān)于量詞的否定規(guī)律：Q1：xA├┤xA；Q2：xA├┤xA；Q3：xA├┤xA；Q4：xA├┤xA。7/23/202343QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q1的證明先證：xA├xA：（1）xA(x)A(x是A中自由變?cè)?（2）xA(x)H（3）xA(X)(2)，_（4）A(α)α，(3)，_（5）A(α)(1)，_（6）A(α)∧A(α)α，(3)，(4)，∧+(7)xA(x)(2)—(6)，_(消去H)7/23/202344QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q1的證明再證：xA├xA:(1)xA(x)A(x是A的自由變?cè)?(2)xA(x)H1(3)A(x)x，H2(4)xA(x)(3)，+(5)A(x)→xA(x)(3)—(4)，→+(消去H2)(6)A（x）(1)，(5)，M.T.(7)A(x)(6)，_(8)xA(x)(7)，+(9)xA(x)∧xA(x)(2)，(8)，∧+(10)xA(x)(2)—(9)，_(消去H1)7/23/202345QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系設(shè)A是任何公式，x在A中不自由，我們有:Q5：A├┤xAQ6：xA├┤AQ7a：xA├yA(x/y)(y不在A中出現(xiàn))Q7b：yA├xA(y/x)(x不在A中出現(xiàn))Q8a：xA├yA(x/y)(y不在A中出現(xiàn))Q8b：yA├xA(y/x)(x不在A中出現(xiàn))改名規(guī)則：改變量詞所約束的變?cè)闹脫Q規(guī)則。由于xA≡yA(x/y),xA≡yA(x/y),因此，我們可以用等價(jià)置換規(guī)則把一個(gè)公式中出現(xiàn)的xA置換為yA(x/y),或者把xA置換為yA（x/y）。7/23/202346QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q9：xyA├┤yxA；Q10：xy├┤yxA；Q11：xyA├yxA；（1）xyA(x,y)A(x,y是A中自由變?cè)?）yA(α,y)α,(1),-（3）A(α,y)α,(2),-（4）xA(x,y)(3),+（5）yxA(x,y)(4),+Q12：x(A∧B)├┤xA∧xB(x對(duì)∧的分配律)Q13：x(A∨B)├┤xA∨xB(x對(duì)∨的分配律)7/23/202347QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q13的證明先證：x(A∨B)├xA∨xB(1)x(A∨B)A(2)(xA∨xB)H(3)A(α)∨B(α)α,(1),_(4)xA∧xB(2),R.P.(De.M）(5)xA∧xB(4),R.P.(Q3)(6)xA(5),∧_(7)xB(5),∧_(8)A(α)(6),_(9)B(α)(7),_(10)B(α)α,(3),(8),∨_(tái)(11)B(α)∧B(α)α,(9),(10),∧+(12)xA∨xB(2)—(11),_(消去H)7/23/202348QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q13的證明再證:xA∨xB├x(A∨B)(1)xA∨xBA(2)x(A∨B)H(3)x(A∨B)(2),R.P.(Q3)(4)x(A∧B)(3),R.P.(DeM.)(5)xA∧B(4),R.P.(Q12)(6)xA(5),∧_(7)xA(6),R.P.(Q3)(8)xB(5),∧_(9)xB(8),R.P.(Q3)(10)xB(1),(7),∨_(tái)(11)xB∧xB(9),(10),∧+(12)x(A∨B)(2)—(11)，_(消去H)7/23/202349QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q14：x(A→B)├xA→xBQ15：x(A→B)├xA→xBQ14：x(A→B)├xA→xBQ15：x(A→B)├xA→xB只證Q14：（1）x(A→B)A(2)xAH(3)A→B(1),_(4)A(2),_(5)B(3),(4),→_(6)xB(5),+(7)xA→xB(2)—(6),→+(消去H)7/23/202350QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q16：xA∨xB├x(A∨B)Q17：x(A∧B)├xA∧xB但是，Q16和Q17反過來不成立，即：

x(A∨B)├xA∨xBxA∧xB├x(A∧B)對(duì)任意的公式A和B，如果x不在B中自由出現(xiàn)，那么，我們有：

Q18：x(A∧B)├┤xA∧BQ19：x(A∧B)├┤xA∧BQ20：x(A∨B)├┤xA∨BQ21：x(A∨B)├┤xA∨BQ22：x(A→B)├┤xA→BQ23：x(A→B)├┤xA→BQ24：