動力系統(tǒng)建模課件

動力系統(tǒng)建模

唐云（清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系）

ytang@引言1。動力系統(tǒng)的基本概念與方法：從蝴蝶泉到蝴蝶效應(yīng)2。機(jī)械與電力系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)模型3。生命科學(xué)的數(shù)學(xué)建模4。分形模型目錄引言動力系統(tǒng)是關(guān)于系統(tǒng)演化規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)建模是連接動力系統(tǒng)理論與應(yīng)用的橋梁。特點(diǎn)：（1）廣泛的應(yīng)用前景；（2）深刻的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)；（3）計(jì)算技術(shù)。動力系統(tǒng)建模作用：（1）教學(xué)：數(shù)學(xué)建模；（2）科學(xué)研究：與國民經(jīng)濟(jì)及科學(xué)前沿關(guān)系密切。從蝴蝶泉到蝴蝶效應(yīng)

1.1蝴蝶的生態(tài)問題

云南大理蝴蝶泉，是影片《五朵金花》里阿鵬和金花對歌的地方，也有名的游覽勝地。泉內(nèi)蝴蝶種類繁多，每年農(nóng)歷4月15日白族的“蝴蝶會”前后，蝴蝶大的大如巴掌，小的小如蜜蜂，成串懸掛于泉邊的合歡樹上，盛況空前。明代徐霞客在其“游記”中稱：“真蝶萬千，連須鉤足，自樹巔倒懸而下及于泉面”。郭沫若在1961年游蝴蝶泉時(shí)也曾留下“首尾聯(lián)接數(shù)公尺，自樹下垂疑花序”的詩句。

令人惋惜的是，近十?dāng)?shù)年，人們已經(jīng)很難看到美麗的蝴蝶盛會，有時(shí)，雖有蝴蝶聚集，但數(shù)量已少。據(jù)當(dāng)?shù)馗咐蟼餮裕汉?，原有一蓬枝葉茂密、開白花、發(fā)清香的茨蓬，花枝纏在橫斜泉面的樹干上，蝴蝶沿著這些下垂的花枝連成串。如今，茨蓬已除，泉面樹干葉枯，加上周圍自然環(huán)境受到破壞，田野大量使用農(nóng)藥，誤傷不少蝴蝶，那連須鉤足懸于泉面的奇觀，久已不見。1.2數(shù)學(xué)模型:Logistic映射f(x)=ax(1-x)，x在[0,1]內(nèi)變化xn+1=f(xn)

從[0,1]內(nèi)點(diǎn)x0出發(fā)，由Logistic映射的迭代形成xn=fn(x0),n=0,1,2,…序列{xn}稱為x0的軌道。由軌道迭代的極限集可組成分岔圖種群數(shù)的模型簡化：相應(yīng)的迭代為了一個序列，即Logistic映射Logistic映射分岔圖關(guān)于吸引子

吸引子是動力系統(tǒng)相空間中的一類特殊集合，它能把周圍的軌道都“吸引”（收斂）過來。吸引子分類：（1）平衡點(diǎn)（2）周期軌（3）擬周期軌（4）混沌吸引子■當(dāng)0<a<1時(shí)，由于■當(dāng)1<a<3時(shí)，任何(0,1)中初始值的軌道趨于

兩個不動點(diǎn)x1*,

x2*,一個穩(wěn)定(吸引),另一個xn

→0物種逐漸滅亡x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，為映射f

的不動點(diǎn)（周期1點(diǎn))例：a=1.5時(shí)

xn→1/3.不穩(wěn)定，軌道{xn}趨向穩(wěn)定點(diǎn)。數(shù)值迭代：倍周期分岔

■當(dāng)1+61/2<a<3.5440903506…時(shí),從任意的點(diǎn)x0出

也稱為周期2點(diǎn),對應(yīng)軌道稱周期2軌道.(原來周期點(diǎn)失穩(wěn))發(fā)的軌道將逐漸沿著四個數(shù)值振動，它們滿足稱為周期4點(diǎn)，對應(yīng)軌道稱周期4軌道(原有周期點(diǎn)

若a再增大，周期4點(diǎn)又會失穩(wěn)，而產(chǎn)生新的穩(wěn)定又失穩(wěn))周期8點(diǎn)，這個周期不斷加倍的過程將重復(fù)無限次，會依次出現(xiàn)周期16點(diǎn)，周期32點(diǎn)，….，這種過程稱為倍周期分岔.相應(yīng)的分岔值c1=3,c2=1+61/2…構(gòu)成一個單調(diào)增加的數(shù)列{ck}.其極限值為c*=3.569945557391…。

當(dāng)c*<a<4時(shí)，Logistic映射進(jìn)入混沌區(qū)域.反映出■遍歷性：點(diǎn)

x0的軌道不趨向任何穩(wěn)定的周期性,即不同初始值，即使它們離得非常近，它們的的是：軌道,它的軌道在(0,1)(或其中某些區(qū)間)內(nèi)的任何一個子區(qū)間(a,b)內(nèi)都會出現(xiàn)無數(shù)次.■敏感性：軌道表現(xiàn)出對初始條件的強(qiáng)烈敏感軌道也終將以某種方式分離.混沌的特點(diǎn)■

Feigenbau常數(shù)(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趨于無窮時(shí)，趨于常數(shù)

q=4.6692016這常數(shù)的意義在于普適性，例如周期3窗口，還有■存在周期窗口：混沌區(qū)域內(nèi)某些地方仍有倍周期分岔，例如a＝3.835附近其他映射

任取(0,1)中的點(diǎn)x0,可以通過作圖來取得迭代

在以xn為橫坐標(biāo)、xn+1為縱坐標(biāo)的第一象限作拋物線?。簒n+1＝a

xn(1-xn)的數(shù)值序列{xn},從而也通過圖象直觀地看出由x0出發(fā)的軌道的變化.這作圖的過程頗象蜘蛛織網(wǎng),故稱為蛛網(wǎng)迭代.

圖像方法：蛛網(wǎng)迭代11xnxn＋1x0x1x1x2■

1<a<3

從(0,1)中任何初值出發(fā)的軌道趨向不動點(diǎn)(周期1點(diǎn))

■3<a<61/2+1

從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期2點(diǎn)■61/2+1<a<

3.54409035從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期4點(diǎn)■

a=3.58軌道進(jìn)入渾沌狀態(tài)■

a=4軌道的渾沌性表現(xiàn)充分

蛛網(wǎng)迭代的優(yōu)點(diǎn)是軌道非常直觀形象.缺點(diǎn)是當(dāng)周期數(shù)較大時(shí)不易看清軌道變化細(xì)節(jié)

密度分布圖：■從密度：從一個初始點(diǎn)

x0出發(fā)，由迭代所產(chǎn)生的序列{xn}(n一般很大)在區(qū)間[0,1]上的概率分布密度.■將具體算法：將[0,1]區(qū)間分成m個長度為h=1/m的小區(qū)間，序列{xn}nN=0落在各個小區(qū)間[ih,(i+1)h]的個數(shù)為ki,則該序列落在各小區(qū)間的概率（即密度)為pi=ki/N

i=0,1,2,…,m■密度圖：橫軸為區(qū)間[0,1],縱軸為概率

p.每個小區(qū)間上的細(xì)柱線的高度等于該區(qū)間上密度■

a=3.2(m=100N=10000x0=0.1)(這是周期2情況)■

a=3.45(這是周期4情況)■

a=3.55(周期8的情況)

以上密度圖顯示在

0<a<c*的情況下,{xn}只有極少數(shù)落在周期點(diǎn)以外的小區(qū)間,而最終以幾乎相等的概率落在周期點(diǎn)所在的小區(qū)間?！?/p>

a=3.6(進(jìn)入混沌區(qū))

(最混沌狀態(tài))■

a=4Logistic模型的混沌自相似（分形）圖一

圖二圖三：圖二局部放大圖圖四：圖三局部放大圖1.3關(guān)于“蝴蝶效應(yīng)”1961年冬天E.Lorenz進(jìn)行關(guān)于天氣預(yù)報(bào)的計(jì)算。他考慮下面加熱的流體由熱傳導(dǎo)進(jìn)入對流，然后產(chǎn)生湍流的過程，對Rayleigh-Bernard方程進(jìn)行約化，得到下面的Lorenz方程。D.Gulick,EncounterswithChaos,Mc-GrawHill,Inc.,NewYork,1992.Lorenz方程

和

為正數(shù).

,,和

與流體的物理性質(zhì)相關(guān).Lorenz取

,,和

.Lorenz吸引子對初值條件的敏感依賴性10,000個幾乎相同的初值條件從這10,000個初值出發(fā)的每條軌道經(jīng)過同樣時(shí)間后其終點(diǎn)很不一致.這些點(diǎn)都在同一個吸引子范圍內(nèi).S.H.Strogatz,NonlinearDynamicsandChaoswithApplicationstoPhysics,Biology,ChemistryandEngineering,Addison-WesleyPublishingCompany,NewYork,1994.所謂“蝴蝶效應(yīng)”是指：

初始值很小的改變會引起絕然不同的結(jié)果.

巴西的一只蝴蝶扇動翅膀會引起

明年在得克薩斯的大風(fēng)暴嗎？E.Lorenz

數(shù)學(xué)的偉大使命在于從混沌中發(fā)現(xiàn)秩序?！稜栐谀莻€混沌的體制中，結(jié)構(gòu)上的微小差異幾乎都會造成行為方式上的巨大變化，可控制的行為似乎已被排除?！箞D爾特.考夫曼關(guān)于混沌一個動力系統(tǒng)是混沌的，如果它滿足：(1)有一個由周期軌道組成的稠密集合；(2)軌道敏感地依賴于其初值條件；(3)為拓?fù)鋫鬟f的.混沌的度量性質(zhì)：(1)正Lyapunov指數(shù)(2)拓?fù)潇嘏c測度熵(3)分形結(jié)構(gòu)混沌出現(xiàn)在各個領(lǐng)域的一種現(xiàn)象:數(shù)學(xué)、物理、由此引起的復(fù)雜而有趣的現(xiàn)象“侏羅紀(jì)公園”中的恐龍重現(xiàn)生物、金融、經(jīng)濟(jì)、管理等等：宇宙的起源

龍卷風(fēng)的產(chǎn)生、厄爾尼諾現(xiàn)象東南亞金融危機(jī)爆發(fā)可以從某些簡單的離散的數(shù)學(xué)模型開始,討論2.機(jī)械和電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1動力學(xué)模型Newton力學(xué)體系是第一個，也是最基本的動力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。建模過程：（1）數(shù)據(jù)積累：第谷(TychoBrahe,1546-1601)（2）經(jīng)驗(yàn)公式：開普勒(J.Kepler,1571-1630)的行星“三大定律”。（3）數(shù)學(xué)模型：牛頓(I.Newton,1642-1727)的“萬有引力”。（4）驗(yàn)證：如哈雷彗星和海王星的發(fā)現(xiàn)。非線性振動Duffing方程Duffing方程位移x位移x時(shí)間Tdx/dt位移x時(shí)間Tdx/dt位移x

耗散系統(tǒng)相體積的演化

解釋初值敏感和奇怪吸引子要用到相體積的伸展與折疊，定量描述這一特征的量是李雅普諾夫指數(shù)，這要證明三維（以上）相體積

而中要有正有負(fù)。講混沌時(shí)專門解釋或用初等的例子說明不嚴(yán)格，并且要花費(fèi)一定學(xué)時(shí)。但只要在前面講正則方程和劉維定理時(shí)稍做改動就可以自然引出耗散系統(tǒng)相體積演化公式，概念的引入嚴(yán)格、定量，學(xué)時(shí)反而減少。通常講劉維定理，對相空間保守體系其證明用到過去教材都是代入保守體系的正則方程。實(shí)際上，對一力學(xué)體系，如果除保守力外還含非保守力，則正則方程應(yīng)寫為其中代表非保守力，代入前式后得出，積分馬上得到容易證明，對保守力對非保守力（如）對高維耗散系統(tǒng)，自然導(dǎo)出指數(shù)形式形式其中（i=1～f）可正可負(fù)總和為正。極限環(huán)與分岔考慮一個數(shù)學(xué)例子：

用二維極坐標(biāo)表示，作代換得到當(dāng)時(shí)有方程有三個根：

，，，點(diǎn)是穩(wěn)定定態(tài)（焦點(diǎn)）

（硬激勵）穩(wěn)定定態(tài)（焦點(diǎn)）；

不穩(wěn)定的極限環(huán)；

穩(wěn)定的極限環(huán)。黑洞（軟激勵）

是穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)極限環(huán)分岔叉式分岔：定性舉例，旋轉(zhuǎn)單擺

Hopf分岔：點(diǎn)到極限環(huán)的突變

穩(wěn)定定態(tài)；

穩(wěn)定極限環(huán)；

終態(tài)穩(wěn)定點(diǎn)與初始條件有關(guān)（亞臨界Hopf分岔）。

倍周期分岔:周期成倍突變

阻尼單擺的強(qiáng)迫振動方程引入無因次量后化為

:時(shí)，穩(wěn)定的定態(tài)，，不穩(wěn)定點(diǎn)，

擺長為l，小球質(zhì)量為m的單擺，相對與平衡的下垂位置的角位移為θ，重力加速度為g，則其運(yùn)動方程為：

(1)或

(2)

等式右邊是周期性的驅(qū)動力，其角頻率為。把方程式無量綱化，用去除每一項(xiàng)，將無量綱的時(shí)間叫做t，即得

(3)式中都是無量綱化的。

阻尼單擺的強(qiáng)迫振蕩旋轉(zhuǎn)數(shù)其中Henon-Heiles星體勢模型等勢圖粒子真實(shí)軌跡粒子的龐加萊截面激勵轉(zhuǎn)子2.3關(guān)于電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型電力工業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)的支柱產(chǎn)業(yè)，并且直接影響到人民的生活。我國電力工業(yè)發(fā)展迅速：194919902001裝機(jī)容量（億千瓦）0.0181.353.36年發(fā)電量（萬億千瓦時(shí)）0.00430.6181.45世界排名2542重大停電事故時(shí)間地點(diǎn)造成損失1978年12月法國電網(wǎng)電壓崩潰停電4-7小時(shí)，直接損失2億美元1982年12月加拿大魁北克停電8.5小時(shí)1987年7月日本東京停電3小時(shí)1996年7月美國西部200萬用戶停電3小時(shí)1996年8月美國西部750萬用戶停電3-6小時(shí)北美東部大停電2003年8月14日下午3時(shí)許，俄亥俄州北部34.5萬伏超高壓突然發(fā)生故障。一小時(shí)內(nèi)波及包括紐約和多倫多在內(nèi)的美加?xùn)|中部大停電，5000萬人陷入黑暗之中。至16日10時(shí)基本恢復(fù)正常。估計(jì)經(jīng)濟(jì)損失每天達(dá)300億美元。這兩張衛(wèi)星照片分別顯示了美國和加拿大部分地區(qū)當(dāng)?shù)貢r(shí)間8月13日晚9時(shí)21分（左），及14日9時(shí)03分的夜間光亮強(qiáng)度，從中可以看出停電前后這一地區(qū)的夜間照明情況的差異。美國東部時(shí)間１４日下午，美國東北部和加拿大部分地區(qū)發(fā)生大面積停電，波及美加兩國的許多城市，給當(dāng)?shù)亟煌?、通信和居民的生活造成?yán)重影響。紐約市目前已有８５％的地區(qū)恢復(fù)了電力供應(yīng)。電力系統(tǒng)的建模負(fù)荷發(fā)電機(jī)組電力網(wǎng)法拉第電磁感應(yīng)定律克希荷夫電流定律（節(jié)點(diǎn)）和電壓定律（回路）電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型含n+m+1條母線且第m+1條母線為無窮大的電力系統(tǒng)方程為：微分代數(shù)方程DAE(Differential-AlgebraicEquation)在電力系統(tǒng)中為動態(tài)狀態(tài)變量，一般是發(fā)電機(jī)電壓和轉(zhuǎn)角；為瞬時(shí)變量，一般是母線電壓及其他潮流變量；參數(shù)通常是系統(tǒng)參數(shù)，元件參數(shù)及負(fù)荷和電壓設(shè)定值等操作參數(shù)。關(guān)于DAE的穩(wěn)定性與分岔考慮DAE單機(jī)無窮大系統(tǒng)SMIB分岔圖參數(shù)空間奇異誘導(dǎo)分岔SIB

(singularityinducedbifurcation)障礙點(diǎn)(impassepoint)(0,0)xy電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到擾動后恢復(fù)到原始穩(wěn)態(tài)，或達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的能力。它主要研究電壓穩(wěn)定性，前面所提到的一些重大事故也都是由電壓崩潰引起的?？梢园央娏ο到y(tǒng)的穩(wěn)定性分成靜態(tài)和動態(tài)兩大類。它們所研究的對象和方法各有不同，如下表。電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題靜態(tài)穩(wěn)定性電力系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定性分析歸于求解一組非線性代數(shù)方程的潮流分析法。在這里重要的是計(jì)算其穩(wěn)定區(qū)域，即可行域（或靜態(tài)安全域）。如Venkatasubramanian等［１９９６］所指出的，可行域的邊界通常是由上述鞍結(jié)分岔(SNB)，Hopf分岔(HB)和奇異誘導(dǎo)分岔(SIB)組成。動態(tài)穩(wěn)定性對電力系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性研究可按動態(tài)過程所經(jīng)歷的時(shí)間長短而引起電壓失穩(wěn)分成三類：（１）零秒～（約）10秒，為暫態(tài)電壓穩(wěn)定。（２）１～５分鐘（多為２～３分鐘），為中期電壓穩(wěn)定。（３）幾分鐘～幾十分鐘，為長期電壓穩(wěn)定。其中（３）?？蓺w結(jié)靜態(tài)穩(wěn)定性來研究，而（１）是當(dāng)前電力系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的基本課題?；旌舷到y(tǒng)與暫態(tài)穩(wěn)定性混合系統(tǒng)(Hybridsystem)為研究電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，可將DAE分時(shí)間段定義，即看成一個混合系統(tǒng)，其一般形式如下。電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性分析方法(1)

Lyapunov函數(shù)法

(2)

TEF（暫態(tài)能量函數(shù)法）（Hsiao-DongChiang）

關(guān)于BCU法（boundaryofstabilityregionbasedcontrollingunstableequilibriumpoint）

(3)

EAC（等面積準(zhǔn)則）和EEAC（擴(kuò)展的EAC）（薛禹勝）

關(guān)于同步穩(wěn)定性與CCEBC（“互補(bǔ)簇簇標(biāo)能量壁壘準(zhǔn)則”）

ISD（孤立穩(wěn)定域）與NARI（由ISD導(dǎo)誘導(dǎo)的鄰域吸引子）

為論證EEAC法的合理性，可以把電力系統(tǒng)的暫態(tài)過程近似地看作一個分時(shí)間段的簡單Hamilton系統(tǒng)，

其中勢能函數(shù)V為2.4關(guān)于大型發(fā)電機(jī)組軸承的轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究事故：如大同、秦嶺等地20萬千瓦發(fā)電機(jī)組的七次（含一次在國外）重大事故。軸系特點(diǎn)：（1）多自由度；（2）高速、強(qiáng)震動；（3）非線性，如分岔與混沌。數(shù)學(xué)模型研究。3.生命科學(xué)中的數(shù)學(xué)建模3.1生態(tài)模型設(shè)有n個種群（密度為）相互作用，則一般形式為（Kolmogorov）（1）其中，記，則對表示即（如食餌）對起促進(jìn)作用，而表示（如捕食者）對起阻礙作用。通常。顯然，都是不變的超平面。記我們感興趣的是正平衡解的穩(wěn)定性（吸引性）。捕食者－食餌模型：

考慮兩個捕食者和一個食餌的三維情形，這里兩個捕食者是對稱的，它們之間形成競爭的關(guān)系，且三物種嚴(yán)格依賴于比率：

分析表明，該模型通常沒有孤立的嚴(yán)格正平衡解，即至少有一個物種會滅絕。但在一定的條件下會出現(xiàn)由平衡解組成的一條平衡曲線。該曲線一邊穩(wěn)定，另一邊不穩(wěn)定，在中間出現(xiàn)一類“無參數(shù)分岔”現(xiàn)象，使得系統(tǒng)從總體上是穩(wěn)定的。捕食系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性3.2病毒感染模型SARS病毒概述及其生命周期病毒在細(xì)胞內(nèi)各生化反應(yīng)的動態(tài)模擬病毒在細(xì)胞間傳播的動態(tài)模擬進(jìn)一步的工作SARS病毒概述一種新型冠狀病毒,屬單鏈正義RNA病毒特點(diǎn)

增長迅速,易變異主要結(jié)構(gòu)

基因組RNA

結(jié)構(gòu)蛋白SARS病毒的生命周期病毒在細(xì)胞內(nèi)各生化反應(yīng)的動態(tài)模擬符號:假設(shè)RNA聚合酶的合成先于其他生化反應(yīng),即設(shè)細(xì)胞內(nèi)RNA聚合酶為常數(shù)病毒生命周期的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)由平衡點(diǎn)(0,0,0,0,0,0,0,0),且當(dāng)時(shí)該平衡點(diǎn)穩(wěn)定.該系統(tǒng)有零平衡點(diǎn)和一個正平衡解數(shù)值結(jié)果正鏈RNAN-蛋白病毒在細(xì)胞間傳播的動態(tài)模擬考慮易感染細(xì)胞,已感染細(xì)胞,自由病毒粒子和免疫細(xì)胞間的關(guān)系數(shù)學(xué)模型

數(shù)值結(jié)果易感染細(xì)胞數(shù)量已感染細(xì)胞數(shù)量病毒粒子數(shù)量免疫細(xì)胞數(shù)量S,I,V,m四種粒子與參數(shù)的依賴關(guān)系S與的依賴關(guān)系I與的依賴關(guān)系3.3關(guān)于生物信息學(xué)和系統(tǒng)生物學(xué)生物信息系統(tǒng)生物學(xué)模型：隨機(jī)微分方程等4.分形模型

分形是簡單空間(如歐氏空間)中具有某種精細(xì)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜集合，其特點(diǎn)為：

(1)具有自相似結(jié)構(gòu)；

(2)不同于傳統(tǒng)的幾何圖形,不是某些簡單方程的解集,但常可通過對較簡單的變換作迭代來產(chǎn)生.(3)需用分維數(shù)來度量,其維數(shù)通常大于相應(yīng)的拓?fù)渚S；

(4)具有混沌性質(zhì).法國的Mandelbrot.B開創(chuàng)了分形幾何1967年的論文：“英國海岸線的長度不確定”

（fractalgeometry）的研究（1）具有無限嵌套層次的精細(xì)結(jié)構(gòu)對自然幾何形態(tài)的數(shù)學(xué)研究海岸線的長度隨測量尺度變化（2）在不同尺度下具有某種相似特性科赫雪花

維數(shù)d=log4/log3=1.26186Koch雪花曲線設(shè)E0為單位直線段三等分后，中間一段用與其組成等邊三角形的另兩邊代替，得到E1對E1的4條線段的每一條重復(fù)以上做法，得到E2以此方法重復(fù)，可得En當(dāng)n趨于無窮，得到的極限曲線就是Koch曲線用Mathematica畫koch曲線redokoch[ptlist_List]:=Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]},For[i=1,i<pnum,i=i+1,tmp=Join[tmp,{ptlist[[i]],ptlist[[i]]*2/3+ptlist[[i+1]]/3,(ptlist[[i]]+ptlist[[i+1]])/2+{ptlist[[i]][[2]]-ptlist[[i+1]][[2]],ptlist[[i+1]][[1]]-ptlist[[i]][[1]]}*Sqrt[3]/6,ptlist[[i]]/3+ptlist[[i+1]]*2/3,ptlist[[i+1]]}]];tmp]Inko01={{0,0},{1,0}};Show[Graphics[Line[Nest[redokoch,Inko01,4]],AspectRatio->Sqrt[3]/6]]自相似性精細(xì)結(jié)構(gòu)：復(fù)雜性不隨尺度減小而消失處處不光滑，每一點(diǎn)是尖點(diǎn)長度：En的長度＝(4/3)n趨于無窮本身定義方式簡單Koch曲線的特點(diǎn)Koch曲線在有限區(qū)域卻長度無限，它具有分維數(shù)。單參數(shù)的函數(shù)曲線是一維的嗎？設(shè)是平面上邊長為1/2的正三角形，構(gòu)造fnf1f2f3以此方式得到fn

，在[0,1]一致收斂到極限函數(shù)f的象將為整個三角形分維數(shù)將單位邊長的線段，正方形，立方體分成邊長為1/2的同樣幾何物體，得到21，22，23個小線段，正方形，立方體注意指數(shù)給出了幾何物體的維數(shù)若將幾何物體的長度（線度）縮小為1/r，定義分形維數(shù)得到N個相似小幾何物體，那么維數(shù)d滿足N=rdd=logN/logrKoch曲線的維數(shù)？約1.2618Cantor集從單位區(qū)間[0,1]出發(fā)，三分去中段，得E1，E1兩個區(qū)間三分去中得E2

，極限集合為Cantor集

這是一個完備的、完全不連通、具有自相似的精細(xì)結(jié)構(gòu)的集合，其長度為0?？低袪柸旨暇S數(shù)d=log2/log3=0.6309Sierpinski集合三角形四等分去中間小三角形所得極限圖形維數(shù)＝？Weierstrass

函數(shù)W(x)=(s－2)ksin(kx),>1,1<s<2

數(shù)學(xué)分析中的著名例子：處處連續(xù)，但無處可微lambda=2;nmax=20;s=1.2;Plot[Sum[lambda^((s-2)k)Sin[(lambda^k)x],{k,1,nmax}],{x,-1,1}]使用Mathematica給s以不同的值的函數(shù)，自仿射S=1.2S=1.5S=1.99S=1.7復(fù)變函數(shù)的迭代Julia集：固定考慮Zk+1=Zk2+給定復(fù)數(shù)初值Z0,

，得到無窮復(fù)數(shù)序列{Zk}J