題學習最短路徑問題課件

第十三章

軸對稱13.4課題學習最短路徑問題學習目標1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（難點）2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．（重點）導入新課復習引入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短3.在我們前面的學習中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點A關(guān)于直線l的對稱點？AlA′前面我們研究過這些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題”.例1體育課上，老師測量小明跳遠成績的依據(jù)是(

)A．過直線上一點且垂直于這條直線的直線有且

只有一條B．兩點之間，線段最短

C．垂線段最短D．兩點確定一條直線C1知識點運用“垂線段最短”解決最短路徑問題如圖，l為河岸(視為直線)，要想開一條溝將河里的水從A處引到田地里去，則應從河邊l的何處開口才能使水溝最短，找出開口處的位置并說明理由.1解：圖略.

理由：垂線段最短.相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ABl問題1

牧人飲馬問題2知識點運用“兩點之間線段最短”解決最短路徑問題精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．

你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題當點C在直線l的什么位置時，AC與BC的和最??？分析：ABl如圖，點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點之間，線段最短.lABCB（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？（2）我們能否把左圖A、B兩點轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

（3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標？分析：lABClABClABCB′如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′.當點C在直線l的什么位置時，AC與CB′的和最??？在連接AB′兩點的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求.在直線l上任取另一點C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點B、B′的對稱軸，點C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′證明：如圖.在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱變換，把復雜問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．方法總結(jié)：問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題ABl某供電部門準備在輸電主干線l上連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落成的A，B兩個居民小區(qū)送電．(1)如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩旁，如圖13.4--3，那么分支點M在什么地方時總線路

最短？例2圖13.4--3(2)如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同旁，如圖13.4--4，

那么分支點M在什么地方時總線路最短？

圖13.4--4(1)連接AB，與l的交點即

為所求分支點M；(2)作點B關(guān)于l的對稱點B1，

連接AB1交l于點M，點M即為分支點．導引：

(1)如圖13.4--3，連接AB，與l的交點即為所求分支

點M.(2)如圖13.4--4，作點B關(guān)于l的對稱點B1，連接AB1

交l于點M，點M即為所求分支點．解：

圖13.4--3

圖13.4--4

解決“一線＋兩點”型最短路徑問題的方法：當兩點在直線異側(cè)時，連接兩點，與直線的交點即為所求作的點；當兩點在直線同側(cè)時，作其中某一點關(guān)于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點即為所求作的點．如圖13.4--5，牧馬營地在點P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營地．請你設計一條放牧路線，使其所走的總路程最短．例3圖13.4--5要使其所走的總路程最短，可聯(lián)想到“兩點之間，線段最短”，因此需將三條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上，為此作點P關(guān)于直線a的對稱點P1，作點P關(guān)于直線b的對稱點P2，連接P1P2，分別交直線a，b于點A，B，連接PA，PB，即得放牧所走的最短路線．導引：

如圖13.4--5，作點P關(guān)于直線a的對稱點P1，關(guān)于直線b的對稱點P2，連接P1P2，分別交直線a，b于點A，B，連接PA，PB.由軸對稱的性質(zhì)知，PA＝P1A，PB＝P2B，所以先到點A處吃草，再到點B處飲水，最后回到營地，按這樣的路線放牧所走的總路程最短．解：

解決“兩線＋一點”型最短路徑問題，要作兩次軸對稱，從而構(gòu)造出最短路徑．如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題嗎？問題2

造橋選址問題如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？aBAbMN由于河寬是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.分析：lABCaBAbMNA'如圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移到點A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問題轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，A′N+NB最?。繀⒖加覉D，利用“兩點之間，線段最短”可以解決.如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′總結(jié)歸納：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換，把較復雜的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。問題2歸納抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題lABC小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱變換平移變換兩點之間，線段最短.1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD嘗試應用：2.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河10004.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（）A．10B．15C．20D．30A5、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點，在BC邊上求作一點P，使△PMN的周長最小。M’P歸納總結(jié)本節(jié)課你有什么收獲？①學習了利用軸對稱解決最短路徑問題②感悟和體會轉(zhuǎn)化的思想補償提高

如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋思路分析：

由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋新知1運用軸對稱解決距離最短問題

運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同.新知2利用平移確定最短路徑選址

解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖D(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題.

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到