2023年高考數(shù)學總復習第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第8節(jié)：函數(shù)與方程（學生版）

2023年高考數(shù)學總復習第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第8節(jié)函數(shù)與方程

考試要求結合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二

次方程根的存在性及根的個數(shù).

I知識診斷?基礎夯實

知以梳理

.函數(shù)的零點

⑴函數(shù)零點的概念

函數(shù)y=/(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點.

(2)函數(shù)零點與方程根的關系

方程_/(x)=0有實數(shù)根Q函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸有交點=>函數(shù)了=Ax)有零點.

(3)零點存在性定理

若函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間口，切上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符

號相反即人“)負6)<0,則在區(qū)間@④內(nèi),函數(shù)歹=/(x)至少有一個零點，即相應方

程/(x)=0在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個實數(shù)解.

2.二次函數(shù)y="2+bx+c(a>0)的圖像與零點的關系

/=〃-4acJ>0J=0J<0

二次函數(shù)

”2/.

V4

y=ax2-\-bx+c

O\x=xx

(a>0)的圖像{2

與X軸的交點3，0),(孫0)8,0)無交點

零點個數(shù)210

|常用結論

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)段)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則方)至多有一個零點.函數(shù)的零

點不是一個“點”，而是方程外)=0的實根.

2.由函數(shù)y=/U)(圖像是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［a,切上有零點不一定能推出

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y(a)^)<0,如圖所示，所以人0負6)<0是y=/(x)在閉區(qū)間口，切上有零點的充分

不必要條件.

斗后㈤

\/

6aWi>x

3.周期函數(shù)如果有零點，則必有無窮多個零點.

|［診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“義”)

(1)函數(shù)/(x)=lgx的零點是(1,0).()

(2)圖像連續(xù)的函數(shù)y=/a)(xe。)在區(qū)間(。，內(nèi)有零點，則人07(6)<0.()

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)在b2~4ac<Q時沒有零點.()

2.函數(shù)/(x)=x+lnx—3的零點所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(l,2)

C.(2,3)D.(3,4)

3.(2019?全國III卷)函數(shù)次》)=2皿11》一5m2%在［0,2兀］的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

4.(易錯題)若二次函數(shù)/(x)=x2—2x+〃?在區(qū)間(0,4)上存在零點，則實數(shù)〃?的取

值范圍是.

2V,x<0,i

5.(易錯題)設函數(shù)/(x)=-則g(x)=/a)—：的零點的集合為_______.

jlogzxl，x>0,2

6.(2021?唐山檢測)方程2、+3'=左的解在［1,2)內(nèi)，則左的取值范圍是.

考點突破?題型剖析

考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定

1.函數(shù)大幻=^一|一一上一1的零點所在區(qū)間是()

x+1

A.(-l,0)B.(0,1)

C.(l,2)D.(2,3)

2.(2021?西安調(diào)研)函數(shù)_/(x)=logRX-F的一個零點所在的區(qū)間是()

5X

A.(0,1)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

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3.若a<b<c,則函數(shù)y(x)=(x—a)(x—b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—a)的兩個零點分

別位于區(qū)間()

A.(a,b)和(b,c)內(nèi)

B.(—8,q)和g,°)內(nèi)

C.(b,c)和(c,+8)內(nèi)

D.(—8,°)和(c,+8)內(nèi)

4.設函數(shù)歹=%3與夕=8"的圖像的交點為(xo，yo)>若x()W(〃，n+1),〃WN,則

n的值為.

考點二確定函數(shù)零點的個數(shù)

(21%12,x0,

例1⑴函數(shù)犬x)=,，'、’的零點個數(shù)為()

—1+lnx,x>0

A.3B.2C.lD.O

(2)函數(shù)人x)=2、+x3—2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是()

A.OB.lC.2D.3

(3)(2021?蘭州診斷)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足/(x+l)=-/(x),

當xd[0,1]時，/(x)=cos},則函數(shù)y=/(x)—|x|的零點個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

[nx--J-x>0

訓練1(1)(2022?太原模擬)函數(shù)/(》)=,'''的零點個數(shù)是()

4x+1,xWO

A.lB.2C.3D.4

(2)函數(shù)y=lg|x|—sinx的零點個數(shù)為.

考點三函數(shù)零點的應用

角度1根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)

加，xWl,

例2(1)(2021?湖南雅禮中學檢測)已知函數(shù)段)=?,(aGR),若關于

X2—3x+3,x>l

x的方程;(x)=2a(aeR)恰有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.L1]B?

C.Glu(l,+°°)D.R

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(2)設次x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的xWR,都有人2—幻=人2+幻，且當

xG[—2,0]時，/(刈二日^一1,若關于X的方程y(x)—log"(x+2)=0(a>l)在區(qū)間

(-2,6]內(nèi)恰有三個不同實根，則實數(shù)。的取值范圍是.

角度2根據(jù)零點范圍求參數(shù)

例3函數(shù)｛x)=N+bx+c的兩個零點為2,3.

⑴求b,c的值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+加x的兩個零點分別在區(qū)間(1,2),(2,4)內(nèi)，求機的取值范

圍.

QX-axWO

訓練2(1)已知函數(shù)Hx)=,‘’(aGR),若函數(shù)人x)在R上有兩個零點,

2x~afx>0

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1]B.[l,+°°)

C.(0,1)D.(-8,1]

(2)設實數(shù)a,b是關于x的方程|lgx|=c的兩個不同實數(shù)根，且a<X10,則He

的取值范圍是.

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微點突破/嵌套函數(shù)的零點問題

函數(shù)的零點是命題的熱點，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關問題交匯.對于嵌套函數(shù)的零點,

通常先“換元解套”，將復合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖像、

性質(zhì)求解.

例1函數(shù)人x)=,''若函數(shù)g(x)=X/(x))—。有三個不同的零點，

2x+1?x^-1>

則實數(shù)a的取值范圍是.

例2(2021?長沙質(zhì)檢)已知函數(shù)/(》)=,二:其中e為自然對數(shù)的底

4x3—6x2+l,x20,

數(shù)，則函數(shù)g(x)=3[/(x)]2—lQ/(x)+3的零點個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.3

I分層訓練?鞏固提升

A級基礎鞏固

1.已知函數(shù)/(X)的圖像是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表:

X12345

段)-4-2147

在下列區(qū)間中，函數(shù)外)必有零點的區(qū)間為()

A.(l,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

2.函數(shù)/(x)=a?—x—1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的值為()

A.--B.O

4

D.0或一」

c.-

44

2-r-[xV]

3.已知函數(shù)/(x)=,,'''則函數(shù)/(x)的零點為()

,l+10g2X,X>1,

A.~,0B-2,0c.-D.0

22

4.(2021?青島模擬)已知x=a是函數(shù)/(x)=2*—log5的零點，若O<xo<a,則/(xo)

的值滿足()

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AKxo）=O

B;/（xo）＞O

C:/（xo）＜O

D＜xo）的符號不確定

5.函數(shù)Xx）=x-cos2x在區(qū)間[0,2無]上的零點的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

6.（2022?成都診斷）曲線^=6與歹=《的交點橫坐標所在區(qū)間為（）

7.(2022?渭南調(diào)研)設函數(shù)4x)=e》+x—2,g(x)=lnx+x2-3.若實數(shù)a,b滿足火a)

=0,g(b)=0,則()

A.g(a)<0</(/))B：他0<<g(a)

C.0<g(a)</3)D必)<g(“)<0

8.（2021?惠州模擬）若定義在R上的偶函數(shù)外）滿足Xx+2）=/（x）,且當x￡[0,1]

時，/（x）=x,則函數(shù)N=/（X）—log3|x|的零點有（）

A.多于4個B.4個

C.3個D.2個

2

9.已知函數(shù)加）=e+。的零點為1,則實數(shù)“的值為.

10.（2021?汕頭質(zhì)檢）若函數(shù)/）=/—原+1在區(qū)間g力上有零點，則實數(shù)。的取

值范圍是.

11.已知函數(shù)月幻=，"+'若函數(shù)y=/（/（x）+加）有四個零點，則實數(shù)用的