多元函數(shù)微積分教學(xué)課件2

第6章多元函數(shù)微積分第1節(jié)多元函數(shù)的概念第2節(jié)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分第3節(jié)多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則第4節(jié)多元函數(shù)微分法的應(yīng)用第5節(jié)二重積分的概念第6節(jié)二重積分的計(jì)算第7節(jié)二重積分的應(yīng)用§61多元商數(shù)的概念二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)思考與練習(xí)■二元函數(shù)的定義定義1設(shè)有三個(gè)變量,y和,如果當(dāng)變量,y在某一給定的二元有序?qū)崝?shù)勸內(nèi)任取一對(duì)值x,y時(shí),變量按照一定的規(guī)律總有唯一確實(shí)的數(shù)值和們對(duì)應(yīng),則變量叫做變量,y的二元函數(shù),記傳=f(x,y)其中x,y為自變量,z為因變量(x,y)變化的范圍稱為函數(shù)的定義域。設(shè)點(diǎn)xn,y)∈D,則,z=f(x,y)稱為對(duì)應(yīng)(xn,y)的函數(shù)值,函數(shù)值的總體稱為函數(shù)的值域。類似地,可定義三元函數(shù)及其他多元函數(shù)。例1正圓錐體體積和它的底半徑,高h(yuǎn)之間具有關(guān)系Trh這里,ν隨著r,h的變化而變化,當(dāng),h在一定范圍(r>0,h>0內(nèi)取定一隊(duì)值時(shí),ν的值就隨之確定,即當(dāng)定二元有序數(shù)組r,h)時(shí),1便有確定的值與之對(duì)應(yīng)這時(shí)底半徑r和高h(yuǎn)是相互獨(dú)立的,它們淘不存在依賴關(guān)系,體積是半徑和高h(yuǎn)的二元函數(shù)例2一個(gè)有火爐的房間內(nèi)在同一時(shí)刻的溫度分布在選定空間直角坐標(biāo)系后,房間內(nèi)每一點(diǎn)x,y,x)處都有唯一的溫度u與之對(duì)應(yīng),這時(shí)溫度是x,y,z的一個(gè)三元函數(shù),故可表為=u(x,y,z)若考慮房間不同時(shí)刻的溫度分布,則溫度就是x,y,,t的一個(gè)四元函數(shù)=l(x,y,,1)類似的例子還可舉出很多,今后我們主要研究二元函數(shù)■二元函數(shù)的幾何意義般地講,二元函數(shù)的幾何意義表示空間直角坐標(biāo)系中的個(gè)曲面。設(shè)二元函數(shù)=f(x,y)(x,y)∈D在定義域D內(nèi)每取一點(diǎn)p(x,y),根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式就得到相應(yīng)的值,空間中的M(x,y,f(x,y)的坐標(biāo)滿足關(guān)系式=f(x,y),當(dāng)點(diǎn)p(x,y)跑遍定義域D)時(shí),相應(yīng)的點(diǎn)M(x,y,f(x,y)就在空間描繪出一個(gè)曲面,這個(gè)曲面就是二函數(shù)=f(x,y)的圖形。(2)二元函數(shù)z=f(x2y)的圖形—一空間點(diǎn)集{(xry,f(x,y)(x,y)eD通常是一張曲面(函數(shù)曲面)f(x,y)二元函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義,P(x0,y)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn),如于任意給定的正數(shù)E,總存在正數(shù)δ,使得對(duì)于適合不等式0<|P=y(x-x0)2+(y-y0)2<8的一切點(diǎn)p(xy)∈D,都有f(x,y)-A<c成立,則稱常數(shù)為函數(shù)f(x,y)當(dāng)x→>x,y→>y時(shí)的極限,記作imf(x,y)=A或f(x,y)→A(P→0,這里P=Pl小結(jié)(1)(x,y)趨于(xy)是指點(diǎn)p(x,y)與點(diǎn)(x,y舶距離√(x-xn)2+(y-y)2趨于零。這一點(diǎn)與一元函數(shù)相類似。(2)當(dāng)(x,y)趨于(xn,y)時(shí),函數(shù)(x,y)以A為極限,是指p(x,y)以任何方式趨于0(x,y肘時(shí),函數(shù)都無限接近例3數(shù)(x1)=(x2+y)sn12(x2+y2≠0)求證limf(x,y)=0證明(