高數(shù)下三重積分及其計(jì)算-課件

高數(shù)下三重積分及其計(jì)算假如當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí),該和式的極限存在,則稱此極限為空間物體的質(zhì)量M,即

當(dāng)然,在三維空間定義的函數(shù)u=f(x,y,z)的“幾何”意義是四維空間的“曲面”,我們能夠想象,但不管如何也無法畫出其“圖形”,因此我們不再討論其幾何意義、

下面我們給出三重積分的定義:

定義:設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù),將閉區(qū)域任意分成n個(gè)小閉區(qū)域v1,v2,,vn,其中vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的體積,在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)(i,i,i),作乘積f(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和假如當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí),該和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域上的三重積分,并記為即其中dv

稱為體積元素,其它術(shù)語與二重積分相同、同樣有:閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定可積、

在直角坐標(biāo)系中,假如我們用三族(平行于坐標(biāo)的)平面x=常數(shù),y=常數(shù),z=常數(shù),對(duì)空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個(gè)規(guī)則小區(qū)域都是長方體、其體積元素為:dv=dxdydz、三重積分可寫成:

由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì),不再敘述、二、三重積分在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法

與二重積分類似,三重積分可化成三次積行計(jì)算、具體可分為先單后重和先重后單兩種類型、(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)①先單后重:

設(shè)閉區(qū)域在xoy面的投影為閉區(qū)域Dxy、

在閉區(qū)域Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y),作垂直于xoy面的直線穿過閉區(qū)域、穿入時(shí)的下邊界曲面方程:z=z1(x,y)穿出時(shí)的上邊界曲面方程:z=z2(x,y)先將x,y看作定值,f(x,y,z)看作z的函數(shù),則積分為閉區(qū)域Dxy上的函數(shù),能夠理解為壓縮在平面薄片Dxy上的密度函數(shù)、(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)y=y1(x)y=y2(x)ab

由三重積分的物理意義,若將f(x,y,z)理解為閉區(qū)域上的體密度函數(shù),那么三重積分表示空間物體的質(zhì)量M、則函數(shù)F(x,y)能夠理解為壓縮在平面薄片Dxy上的密度函數(shù)、則質(zhì)量M等于F(x,y)在平面薄片Dxy上二重積分:即下面只需將二重積分化成二次積分:不妨設(shè)Dxy為X—區(qū)域:y1(x)yy1(x),axb、則

此方法也稱為先一后二,或切條法(先z次y后x,或先z次x后y)

注意:這是用平行于z軸(或垂直于xoy平面)且穿過閉區(qū)域

內(nèi)部的直線與閉區(qū)域的邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)情形、

用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分、化三重積分為三次積分的步驟:⑴投影:得平面區(qū)域;⑵穿越法定限:穿入點(diǎn)—下限,穿出點(diǎn)—上限、關(guān)于二重積分化為累次積分的方法,差不多介紹過、oxyzDxy例1:將三重積分化成三次積分,其中為長方體,各邊界面平行于坐標(biāo)面、

解:將投影到xoy面得Dxy,它是一個(gè)矩形:cyd,axb,在Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y)作平行于z

軸的直線,交邊界曲面于兩點(diǎn),其豎坐標(biāo)為l和m(l<m)、abcd(x,y)ml例2:計(jì)算平面x+y+z=1所圍成的區(qū)域、Dxyxyzo其中是三個(gè)坐標(biāo)面與

解:畫出在xoy面上的投影區(qū)域Dxy:0

y1–x,0

x1,平行于z軸直線穿過的下曲面為z=0,上曲面為z=1–x–y,有0

z1–x–y、x+y+z=1x+y=1解:畫出積分區(qū)域的草圖、其中積分區(qū)域?yàn)橛汕鎧=x2+y2,y=x2,y=1,z=0所圍成的空間閉區(qū)域、例3:化三重積分為三次積分,

在xoy面上的投影區(qū)域Dxy:x2

y1,–1

x1,平行于z軸的直線穿過的下曲面為z=0,上曲面為z=x2+y2,有0

zx2+y2、例4:將三次積分化為按y,z,x的次序積分、解:由所給積分次序可得

:0zx2+y2,0y1,0x1、

即在xoy面上得投影為方形區(qū)域,0y1,0x1、平行于z軸的直線穿過的下曲面為z=0,上曲面為z=x2+y2,有0zx2+y2、

由題意要求,需要先對(duì)y積分,則應(yīng)作平行于y軸的直線穿過,為此,需作一母線平行于y軸的柱面z=x2,將積分區(qū)域分為兩部分(見圖)1,2、

1,2在xoz面上的投影區(qū)域D1,D2分別為:

D1:0zx2,0x1;D2:x2zx2+1,0x1、xoz

關(guān)于y的變化范圍:在D1上:0y1;在D2上:因此,

除了上面介紹的先單后重法(切條法)外,利用先重后單法或稱截面法也可將三重積分化成三次積分、

先重后單,就是先求關(guān)于某兩個(gè)變量的二重積分再求關(guān)于另一個(gè)變量的定積分、②先重后單:D(z)xyzoc1c2

設(shè)積分區(qū)域介于兩平行平面z=c1,z=c2(c1<c2)之間,用任一平行且介于此兩平面的平面去截,

得區(qū)域D(z),c1zc2、則

易見,若二重積分容易計(jì)算時(shí),特別是被積函數(shù)f(x,y,z)與x,y無關(guān)時(shí),則二重積分的結(jié)果就是D(z)的面積,因此,用截面法較為方便、

即得三重積分值.(4)最后計(jì)算單積分(3)計(jì)算二重積分的函數(shù)F(z);其結(jié)果為z

截面法的一般步驟:(1)把積分區(qū)域向某軸(例如z軸)投影,得投影區(qū)間[c1,c2];(2)對(duì)z[c1,c2]用過z軸且平行xoy面的平面去截,得截面D(z);例5:計(jì)算解:易見介于z=–c和z=c

之間,而zyxo或故例6:計(jì)算解一:先重后單、介于z=0

和z=1之間,D(z):x2+y2

z、解二:先單后重、將投影到xoy面得投影區(qū)域:Dxy:x2+y2

1、

平行于z軸的直線穿過的下曲面為z=x2+y2,上曲面為z=1,因此有

x2+y2

z1、(用極坐標(biāo),用對(duì)稱性)因此,因此,

此例介紹的是一種計(jì)算三重積分的方法,這種方法也具有一定的普遍性,這就是我們將要介紹的柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法、三、小結(jié)三重積分的定義;在直角坐標(biāo)系下的體積元素:dv=dxdydz;三重積分的計(jì)算:用切條法或截面法將三重積分化為三次積分、考慮題:為六個(gè)平面x=0,x=2,y=1,x+2y=4,z=x,z=2圍成的區(qū)域,f(x,y,z)在上連續(xù),則累次積分________

(D)x=0x=2y=1

x+2y=4四、在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)M在xoy面上的投影P的極坐標(biāo)為r,,則如此的三個(gè)數(shù)r,,z

就叫點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)、規(guī)定:0r<+,02,–<z<+、直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的變換公式:三重積分在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算zx0yzMrSzr=常數(shù)圓柱面

z=常數(shù)垂直z軸的平面動(dòng)點(diǎn)M(r,,

z)柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面zx0yzMrSPr=常數(shù)圓柱面

z=常數(shù)垂直z軸的平面動(dòng)點(diǎn)M(r,,

z)柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面=常數(shù)過z軸的半平面xz

y0drrrddz平面z柱面坐標(biāo)下的體積元素

元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成:半平面及+d;

半徑為r及r+dr的圓柱面;平面z及z+dz;xz

y0drrrddz底面積:rdrddz平面z+dz、柱面坐標(biāo)下的體積元素

元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成:半平面及+d;

半徑為r及r+dr的圓柱面;平面z及z+dz;xz

y0drrrddz底面積:rdrddz、dv柱面坐標(biāo)下的體積元素

元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成:半平面及+d;

半徑為r及r+dr的圓柱面;平面z及z+dz;因此:dv=rdrddz、因此

然后再把它化為三次積分來計(jì)算、

積分次序一般是先z次r后、

積分限是依照z,r,在積分區(qū)域中的變化范圍來確定、解:積分區(qū)域?yàn)橐粓A錐面與平面z=1圍成、

將積分區(qū)域投影到xoy面得Dxy:x2+y2

1、例1:計(jì)算三重積分:圓錐面柱面坐標(biāo)方程為z=r.則積分限為:02,0r1,r

z1、

注:若空間區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)軸為軸的圓柱體,圓錐體或旋轉(zhuǎn)體時(shí),通?？偸强紤]使用柱坐標(biāo)來計(jì)算、因此例2:計(jì)算三重積分面z=1,z=2和圓錐面圍成的區(qū)域、其中是由平解:確定變量z,r,的變化范圍、r,的范圍容易定出:02,0r2、z

呢?當(dāng)0r1時(shí),1

z2;當(dāng)1r2時(shí),r

z2、作圖!由圖能夠看出:因此,五、在球坐標(biāo)系下的計(jì)算法

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),則點(diǎn)M可用三個(gè)有次序的數(shù)r,

,來確定,其中

r

為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離,為有向線段OM與

z

軸正向的夾角,為從

z

軸正一直看自

x

軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP

的夾角,這個(gè)地方P

為點(diǎn)M在

xoy

面上的投影,如此的三個(gè)數(shù)

r,

,就叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)、x=OAy=OBz=OCOM=r、=OMsincos=OMsinsin

=OMcos=OPcos=OPsin因此規(guī)定:0r<+,0,02、SrMyz

x0

r為常數(shù)為常數(shù)球面圓錐面球面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面:動(dòng)點(diǎn)M(r,,)CCSMyz

x0P

r為常數(shù)為常數(shù)為常數(shù)球面圓錐面半平面球面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面:動(dòng)點(diǎn)M(r,,)rdrdrsinxz

y0圓錐面rd球面r圓錐面+d球面r+dr