有效數(shù)字及其運算規(guī)則

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有效數(shù)字的一般看法

有效數(shù)字的看法

實驗中丈量的結(jié)果都是有偏差的，那么丈量值如何表達(dá)才算合理呢？如用最小分度值為

1mm的尺子測得某物體的長度L＝12.46cm，能否寫成12.460cm或12.4600cm呢？回答自然

能否定的，由于用該米尺丈量時毫米以下的一位數(shù)字6已經(jīng)是預(yù)計的（即有偏差存在），再往

下估讀已無實質(zhì)意義。在大學(xué)物理實驗中，12.460和12.4600這兩個數(shù)值與12.46有著不一樣樣樣的含義，即表示它們的偏差是不一樣樣樣的。

在實驗丈量和近似計算中獲得的數(shù)據(jù)，其末位是有偏差的，我們稱這類數(shù)為有效數(shù)字。

所以，有效數(shù)字是由若干位正確數(shù)字和一位欠正確數(shù)字構(gòu)成的。上邊的舉例L=12.46cm，就

是有四位有效數(shù)字。若我們用最小分度為0.02mm的游標(biāo)卡尺去丈量該物體，得L＝12.460cm；用最小分度為0.0lmm的螺旋測微器丈量該物體，讀數(shù)為12.4602cm，則它們分別是五位和六

位的有效數(shù)字。所以可知，同一物體，用不一樣樣樣精度的儀器去丈量，有效數(shù)字的位數(shù)是不一樣樣樣的，精度越高，有效位數(shù)越多。

當(dāng)我們用m或km作單位時，物理量L＝12.46cm表示為L＝0.1246m或L＝

0.0001246km，它們是幾位有效數(shù)字呢？由于單位換算并無改變它本來丈量的精度，所以

還是四位有效數(shù)字，這里的“0”是確立小數(shù)點地點的，不是有效數(shù)字，也就是說，在非零數(shù)

字前的“0”不是有效數(shù)字。當(dāng)“0”不是確立小數(shù)點地點，即在非零數(shù)字后邊時，與其他的

字碼是有相同地位的，都是有效數(shù)字。比方，1.005cm，是四位有效數(shù)字；1.00m是三位有效

數(shù)字。這里的“0”就不可以隨意的增或減。

2)數(shù)值的科學(xué)表達(dá)方式

當(dāng)一個數(shù)值很大，但有效數(shù)字又不多的狀況下，如何來正確表達(dá)呢?這時可以用尾數(shù)

乘以10的多少次冪的形式表示，即所謂的科學(xué)記數(shù)法。比方某號鋼的彈性模量為E=1.97×1011N/m2，它有三位有效數(shù)字，明顯寫成197,000,000,000N/m2是不堅固的。同樣，一個數(shù)值很小的量，如銅在200C時的線脹系數(shù)為0.0000167，寫成1.67×10-5則較為簡潔了然。

有效數(shù)字和相對偏差的關(guān)系

有效數(shù)字的最后一位是有偏差的，所以，大體上可以這樣說，有效數(shù)字的位數(shù)越多相對偏差就越小，有效數(shù)字位數(shù)越少相對偏差越大。一般來講，兩位有效數(shù)字對應(yīng)于十分之幾到百分之幾的相對偏差；三位有效數(shù)字對應(yīng)于百分之幾到千分之幾的相對偏差，挨次類推。所以，在進(jìn)行偏差剖析時，有時講偏差多大，有時講幾位有效數(shù)字，它們是親近相關(guān)的。

有效數(shù)字的運算規(guī)則20大學(xué)物理實驗

在物理實驗中，大批遇到的是間接丈量量，這就不可以防范地要對丈量施以各種運算。進(jìn)行有效數(shù)字運算有兩條基本規(guī)則：(1)計算的最后結(jié)果中一般只保留一位可疑數(shù)字；字的末位確立此后，對其尾數(shù)用舍入法規(guī)進(jìn)行棄取。尾數(shù)小于5則舍去，大于等于5則把末位湊成偶數(shù)。這樣的舍入法規(guī)使尾數(shù)舍去與進(jìn)入的概率相等。

(2)有效數(shù)

5則末位進(jìn)1，

比方：

2.4526

取三位有效數(shù)字，則為

2.45；2.3456

取三位有效數(shù)字，則為

2.34；

1.2550取三位有效數(shù)字，則為

1.26；12.3650取四位有效數(shù)字，則為

12.36。

1)加減運算

依據(jù)偏差合成的理論，加減運算后結(jié)果的絕對偏差應(yīng)等于參加運算的各數(shù)值偏差之和。如y=x1+x2，設(shè)偏差分別為

y、

x1和

x2，則

y=

x1

+

x2。可見

y

的絕對偏差較

各個

x的絕對偏差中最大的還大，而絕對偏差大的x值，其有效數(shù)字的最后一位必然靠前。

所以，運算結(jié)果的有效數(shù)字末位應(yīng)與參加運算中偏差最大的數(shù)值的末位相同，即取至參加運算各數(shù)中最靠前出現(xiàn)可疑的那一位。比方：

30.430.4

+4.325-0.235

34.72530.165

上式中，由于30.4是參加運算的數(shù)據(jù)中偏差最大的，所以兩個計算結(jié)果都應(yīng)該只保留一位小

數(shù)，依據(jù)此刻通用的“四舍六入五湊偶”的法規(guī)，分別為34.7和30.2，有效數(shù)字為三位。

乘除運算

依據(jù)偏差合成的理論，乘除運算結(jié)果的相對偏差等于參加運算各數(shù)值的相對偏差之和，

所以運算結(jié)果的相對偏差應(yīng)大于參加運算各數(shù)值中任一個的相對偏差。如設(shè)y=x1x2，偏差分別為y、x1和x2，則yy=x1x1+x2x2，即y的相對偏差較各個x的相對偏差都大。同時，我們知道一個數(shù)值的有效數(shù)字位數(shù)與相對偏差相關(guān)，相對偏差越大，有效數(shù)字位數(shù)越少，所以乘除運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，可預(yù)計為與參加運算各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。比方：35.40721255281.6342163×15.6389898043605817029301634288425.4904460§2—3有效數(shù)字及其運算規(guī)則21上邊的例子中15.6和721有效位數(shù)最少，只有三位，故運算結(jié)果修約成三位有效數(shù)字，即分別為25.5和35.4。

函數(shù)運算的有效數(shù)字

在進(jìn)行函數(shù)運算時，不可以搬用四則運算的有效數(shù)字的運算規(guī)則，由于四則運算規(guī)則不合用于函數(shù)運算。實質(zhì)上，四則運算的有效數(shù)字運算規(guī)則是依據(jù)偏差傳達(dá)理論及有效數(shù)字的含義總結(jié)概括出來的。所以對函數(shù)運算只好應(yīng)用偏差傳達(dá)的方法，先求出函數(shù)的絕對偏差的估

計值，再由絕對偏差值在小數(shù)點前后的地點來確立函數(shù)值的末位（應(yīng)與絕對偏差地點對齊），從而確立函數(shù)值的有效數(shù)字。

在物理實驗中，為了簡單和一致起見，對常用的對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)可在其可疑位增添1和減少1來計算其值，依據(jù)其數(shù)據(jù)的變化，確立它的有效數(shù)字的位數(shù)。如求

sin20013'，可先求sin20014'=0.3458441，再求sin20012'=0.3452982，兩值在小數(shù)點

后第四位開始變化，所以，sin20013'=0.3456就取四位有效數(shù)字。

在有效數(shù)字運算中還應(yīng)注意的一些問題

①計算公式中的常數(shù)，如πg(shù)，2等都是正確數(shù)，在運算