第七章三角函數(shù)知識點清單-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

新教材人教B版2019版數(shù)學(xué)必修第三冊第七章知識點清單目錄第七章三角函數(shù)7.1任意角的概念與弧度制7.1.1角的推廣7.1.2弧度制及其與角度制的換算7.2任意角的三角函數(shù)7.2.1三角函數(shù)的定義7.2.2單位圓與三角函數(shù)線7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式7.2.4誘導(dǎo)公式7.3三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.1正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.2正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.3余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖修7.3.4正切函數(shù)的性質(zhì)與圖修7.3.5已知三角函數(shù)值求角7.4數(shù)學(xué)建?；顒樱褐芷诂F(xiàn)象的描述第七章三角函數(shù)第七章三角函數(shù)7.1任意角的概念與弧度制7.1.1角的推廣一、角的相關(guān)概念1.角的概念：一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形稱為角，這兩條射線分別稱為角的始邊和終邊.2.任意角類型定義正角一條射線繞其端點按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角負角一條射線繞其端點按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角零角當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時，我們也把它看成一個角，稱為零角，其始邊與終邊重合這樣定義的角，由于是旋轉(zhuǎn)生成的，所以也常稱為轉(zhuǎn)角.3.角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個角，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β(當(dāng)β是正角時，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)β是負角時，按順時針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)β是零角時，不旋轉(zhuǎn))，這時終邊對應(yīng)的角為α+β.角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法，即α-β=α+(-β).二、象限角為了方便起見，通常將角放在平面直角坐標(biāo)系中來討論，并約定：角的頂點與

坐標(biāo)原點重合，角的始邊落在x軸的正半軸上.這時，角的終邊在第幾象限，就把這

個角稱為第幾象限角.如果終邊在坐標(biāo)軸上，就認為這個角不屬于任何象限.

(1)象限角的集合：第一象限角的集合為{x|k·360°<x<k·360°+90°，k∈Z}；第二象限角的集合為{x|k·360°+90°<x<k·360°+180°，k∈Z}；第三象限角的集合為{x|k·360°+180°<x<k·360°+270°，k∈Z}；第四象限角的集合為{x|k·360°+270°<x<k·360°+360°，k∈Z}.(2)軸線角的集合：終邊落在x軸正半軸上的角的集合為{α|α=k·360°，k∈Z}；終邊落在x軸負半軸上的角的集合為{α|α=k·360°+180°，k∈Z}；終邊落在y軸正半軸上的角的集合為{α|α=k·360°+90°，k∈Z}；終邊落在y軸負半軸上的角的集合為{α|α=k·360°+270°，k∈Z}；終邊落在x軸上的角的集合為{α|α=k·180°，k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合為{α|α=k·180°+90°，k∈Z}；終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{α|α=k·90°，k∈Z}.三、終邊相同的角所有與角α終邊相同的角組成一個集合，這個集合可記為S={β|β=α+k·360°，k∈Z},即集合S的每一個元素的終邊都與α的終邊相同，k=0時對應(yīng)元素為α.四、終邊相同的角的表示1.求在某個范圍內(nèi)與已知角終邊相同的角的步驟(1)將已知角表示成一般形式α+k·360°(k∈Z)，其中0°≤α<360°；(2)采用賦值法或不等式法求解，確定k的值；(3)寫出符合條件的角.2.求終邊在某條射線或直線上的角的集合的策略(1)若所求角的終邊在某條射線上，則角之間相差360°的整數(shù)倍，所求角的集合為

{β|β=α+k·360°，k∈Z}；(2)若所求角的終邊在某條直線上，則角之間相差180°的整數(shù)倍，所求角的集合為

{β|β=α+k·180°，k∈Z}.五、區(qū)域角的表示1.區(qū)域角是指終邊在坐標(biāo)系的某個區(qū)域內(nèi)的角.表示時可分為三步：(1)按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的在-360°到360°范圍內(nèi)的角α和β,并將該范圍內(nèi)的區(qū)域角表示為{x|α<x<β}(不含邊界)或{x|α≤x≤β}(含邊界),其中β-α<360°(3)起始、終止邊界對應(yīng)的角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角的范圍.六、象限角的判斷1.角α所在象限的判斷方法根據(jù)終邊相同的角的概念，把角α轉(zhuǎn)化到0°~360°范圍內(nèi)，則轉(zhuǎn)化后的角的終

邊落在第幾象限，角α就是第幾象限角.2.角nα所在象限的判斷方法由角α的范圍求出角nα的范圍，再利用終邊相同的角所在象限的判斷方法進

行判斷即可.注意：不要忽略nα為軸線角的情況.3.角αn(n≠(1)分類討論法：根據(jù)角α所在象限，寫出角α的范圍(用含有k的式子表示)，由此求出角αn的范圍，然后對k進行分類討論，從而確定角αn(2)幾何法：先把各象限分為n等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向依次將區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，一、二、三、四，……，則角α原來是第幾象限角，標(biāo)號為幾的區(qū)域即為角αn的終邊所在區(qū)域說明：當(dāng)n≥4時，角αn的終邊在四個象限都有分布，研究的價值不大，所以一般只討論n=2，n=3的情形7.1.2弧度制及其與角度制的換算一、角度制與弧度制1.角度制使用角度來度量角時，是把圓周等分成360份，其中每一份所對應(yīng)的圓心角為1度，這種用度作單位來度量角的制度稱為角度制.角度制還規(guī)定1度等于60分，1分等于60秒，即1°=60'，1'=60″.2.弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，記作1rad.以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制.3.弧度數(shù)：在半徑為r的圓中，若弧長為l的弧所對的圓心角為αrad，則α=lr(1)用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”或“rad”可以省略不寫；用角度為單位表示角的大小時，“度”或“°”不可以省略.(2)不管是用弧度還是用角度為單位表示的角，其大小都是一個與半徑的大小無關(guān)的定值.(3)角度制與弧度制不能混用，比如“π6+k·360°，k∈Z”或“60°+2kπ，k∈Z”的寫法是錯誤的二、弧度制與角度制的換算1.角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°=2πrad2πrad=360°180°=πradπrad=180°1°=π180rad≈0.1rad=180π°≈57.角度數(shù)×π180弧度數(shù)×180π2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0ππππ2π3π5ππ3π2π三、扇形的弧長及面積公式1.設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角為n°(α為其圓心角的弧度數(shù))，則角度制弧度制扇形的弧長l=nπrl=αr扇形的面積S=nπS=12αr2=12四、扇形的弧長和面積的求解1.涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關(guān)鍵是先分析題目中已知哪

些量，求哪些量，然后靈活運用扇形的弧長公式l=αr，面積公式S=12αr2=12解或列方程(組)求解.注意：運用弧度制下的扇形的弧長公式及面積公式的前提是α的單位為弧度.2.扇形的周長及面積的最值問題(1)當(dāng)扇形的周長一定時，扇形的面積有最大值.其求法是把面積S轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑

r的二次函數(shù)，但要注意r的取值范圍，還要特別注意扇形的弧長l必須滿足0<l<2πr.(2)當(dāng)扇形的面積一定時，扇形的周長有最小值.其求法是把周長L轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑

r的函數(shù)，但要注意r的取值范圍.7.2任意角的三角函數(shù)7.2.1三角函數(shù)的定義一、三角函數(shù)的定義1.如圖，對任意角α來說，設(shè)P(x，y)是α終邊上異于原點的任意一點，r=x2+y2(r>0)，則一般地，稱yr為角α的正弦，記作sinα；稱xr為角α的余弦，記作cosα；當(dāng)角α的終邊不在y軸上時，稱yx為角α的正切，記作tanα.角α(1)稱rx為α的正割，記作secα，即secα=r(2)稱ry為α的余割，記作cscα，即cscα=r(3)稱xy為α的余切，記作cotα，即cotα=xy.在各三角函數(shù)都有意義的前提下，secα=1cosα，cscα=1sin二、三角函數(shù)數(shù)值在各象限的符號1.三角函數(shù)值在各象限的符號如圖.?記憶口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦，即第一象限各三角函數(shù)值均

為正，第二象限只有正弦值為正，第三象限只有正切值為正，第四象限只有余弦值

為正.三、利用三角函數(shù)的定義求值1.利用三角函數(shù)的定義求值的常見情況(1)已知角α終邊上任意一點P(x，y)(x≠0)時,求出r=x2+y2，則sinα=ytanα=yx.當(dāng)角α的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況看是否需對參數(shù)進行分類討論(2)角的終邊在直線上時，注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況進行處理，分別取兩條射線上異于原點的任意一點，再利用三角函數(shù)的定義求解.四、三角函數(shù)值符號的判斷1.判斷三角函數(shù)值符號的步驟(1)確定角所在的象限；(2)利用三角函數(shù)值的符號規(guī)律“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來判斷符號.7.2.2單位圓與三角函數(shù)線一、單位圓與三角函數(shù)線1.單位圓：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足x2+y2=1的點組成的集合稱為單位圓.2.三角函數(shù)線如圖，設(shè)角α的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊落在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于點P(x，y)，過點P作x軸的垂線，垂足為M.設(shè)角α的終邊(或終邊的反向延長線)與直線x=1交于點T，稱OM，MP，AT分別為角α的余弦線、正弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.利用角的正弦線、余弦線和正切線，可以直觀地看出角的正弦、余弦和正切

的信息.當(dāng)三角函數(shù)線與x軸(或y軸)的正方向同向時，所表示的三角函數(shù)值為正，與x軸(或y軸)的正方向反向時，所表示的三角函數(shù)值為負，并且三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值.二、三角函數(shù)線的應(yīng)用1.利用三角函數(shù)線比較大小(1)三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負，其長度是三角函數(shù)值的絕對值.(2)比較兩個三角函數(shù)值的大小，不僅要看三角函數(shù)線的長度，還要看方向.7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1.平方關(guān)系：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α+cos2α=1.2.商數(shù)關(guān)系：同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切，即tanα=sinαcosα，其中角α滿足條件α≠kπ+二、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值1.已知某三角函數(shù)值求同角的其余三角函數(shù)值(1)若給出角所在的象限，則直接利用平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求解.(2)若未給出角所在的象限，則需根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定角所在的象限，然后利用平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求解.若角所在的象限不確定，則需對角所在的象限分類討論2.利用sinα±cosα與sinαcosα之間的關(guān)系求值若已知sinα±cosα，sinαcosα中的一個，則可以利用方程思想求得sinα，cosα的值，從而解決相關(guān)問題.涉及的三角恒等式有：(1)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα；(2)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα；(3)(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2；(4)(sinα-cosα)2=(sinα+cosα)2-4sinα·cosα.三、齊次式的求問題1.已知tanα=m，求形如asinα+b法是將分子、分母同時除以cosα(或cos2α)，化成關(guān)于tanα的式子，再求值.2.已知tanα=m，求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子的值，方法是將其看成分母是1的分式，利用1=sin2α+cos2α進行代替后，分子、分母同時除以cos2α，得到關(guān)于tanα的式子，再求值.四、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡或證明1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡的方法(1)化切為弦，即把正切函數(shù)化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化簡的

目的.(2)對于含有根號的，常把根號下的式子化成完全平方式，然后去根號，達到化簡的

目的.(3)對于含高次的三角函數(shù)式，往往因式分解或構(gòu)造出sin2α+cos2α=1，以降低次數(shù)達

到化簡的目的.2.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式證明的方法(1)從左向右或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡.(2)左右歸一法：證明等號兩邊都等于同一個數(shù)或式子.(3)比較法：設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或“左邊右邊=1(右邊(4)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到符合已知條

件或出現(xiàn)明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立.7.2.4誘導(dǎo)公式一、誘導(dǎo)公式公式一sin(α+2kπ)=sinαk∈Z揭示了終邊相同的角的同一三角函數(shù)值的關(guān)系cos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanα公式二sin(-α)=-sinα揭示了終邊關(guān)于x軸對稱的兩個角的同一三角函數(shù)值的關(guān)系cos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式三sin(π-α)=sinα揭示了終邊關(guān)于y軸對稱的兩個角的同一三角函數(shù)值的關(guān)系cos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα公式四sin(π+α)=-sinα揭示了終邊關(guān)于原點對稱的兩個角的同一三角函數(shù)值的關(guān)系cos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα公式五sinπ2實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化cosπ2公式六sinπ2cosπ2公式七cos3π2sin3π2公式八cos3π2sin3π2知識拓展

誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“k·π2±α(k∈Z)”的各三角函數(shù)值的化簡公式.記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限(1)“奇”“偶”是對k·π2±α(k∈Z)中的整數(shù)k來講的(2)“變”與“不變”是針對三角函數(shù)名稱而言的.(3)“象限”指k·π2±α(k∈Z)中，將α看成銳角時，k·π2±α(k∈Z)所在的象限，根據(jù)“一全正，二正弦，三正切，舉例如下：?二、利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問題1.利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟(1)“負化正”：化負角為正角；(2)“大化小”：將大于2π的角化為0~2π的角；(3)“角化銳”：把π2~2π的角轉(zhuǎn)化為0~π2(4)“銳求值”：求所得到銳角的三角函數(shù)值.三、利用誘導(dǎo)公式解決條件求值問題1.解決條件求值問題時，首先要仔細觀察條件中的已知式與所求式的角、函數(shù)名稱

及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系，再利用誘導(dǎo)公式將已知式向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫较蛞阎睫D(zhuǎn)化.2.觀察角時，要注意分析兩個角之間是否具有互余、互補關(guān)系，或分析兩個角的和、差是不是特殊角等.常見的互余關(guān)系：π3-α與π6+α，π4+α與π4-α等；常見的互補關(guān)系：π3+α與2π3-α，π四、集合利用誘導(dǎo)公式化簡、證明三角函數(shù)式1.三角函數(shù)式化簡的方法和技巧(1)方法：三角函數(shù)式化簡的關(guān)鍵是抓住函數(shù)名稱之間的關(guān)系和角之間的關(guān)系，靈活應(yīng)用相關(guān)的公式及變形解決問題.(2)技巧：①異名化同名；②異角化同角；③切化弦.2.證明三角函數(shù)式的常用方法(1)由左邊推至右邊或由右邊推至左邊，遵循的是化繁為簡的原則.(2)證明左邊=A，右邊=A，則左邊=右邊，這里的A起著橋梁的作用.(3)通過作差或作商證明，即左邊-右邊=0或左邊右邊=1(右邊7.3三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.1正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像一、周期函數(shù)1.周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對定義域內(nèi)的每一個x，都滿足f(x+T)=f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個函數(shù)的周期.2.最小正周期對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最

小的正數(shù)就稱為f(x)的最小正周期.3.知識拓展：①周期函數(shù)f(x)的定義是針對定義域內(nèi)的每一個x值而言的，若只有個別的x值滿足f(x+T)=f(x)(T≠0)，則不能說函數(shù)f(x)是周期函數(shù).②自變量x本身加的非零常數(shù)才是周期，例如，f(2x+T)=f(2x)，T≠0，T不是周期，而應(yīng)寫成f(2x+T)=f2x+T2=f(2x)，T③并不是每一個函數(shù)都是周期函數(shù)，若函數(shù)具有周期性，則其周期不唯一.④若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期.二、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=sinx圖象定義域R值域[-1，1]奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期T=2π單調(diào)性在區(qū)間2kπ-π2，在區(qū)間2kπ+π2最值當(dāng)x=2kπ+π2(k∈Z)時，y有最大值，y當(dāng)x=2kπ+3π2(k∈Z)時，y有最小值，對稱軸直線x=π2+kπ，對稱中心(kπ，0)，k∈Z作正弦函數(shù)y=sinx的圖象時，在精確度要求不高的情況下，一般先找出確定圖象形狀的關(guān)鍵的五個點(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0)(一個周期內(nèi)，函數(shù)圖象的最高點、最低點以及圖象與x三、正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用1.利用正弦函數(shù)的圖象解不等式的步驟(1)作出正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象；(2)寫出不等式在區(qū)間[0，2π]上的解集；(3)根據(jù)題目要求寫出不等式的解集.2.利用正弦函數(shù)的圖象解決方程解的問題對于含有正弦函數(shù)的方程的解的問題，一般無法直接求解，常把它轉(zhuǎn)化為正弦函

數(shù)的圖象與其他函數(shù)圖象的交點問題，通過圖象可以比較直觀地解決問題，這正

是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.四、正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用1.利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小的步驟(1)運用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；(2)運用單調(diào)性比較大小.7.3.2正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖像一、正弦型函數(shù)1.一般地，形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)稱為正弦型函數(shù)，其中A，ω，φ都是常數(shù)，且A≠0，ω≠0.二、參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響1.A(A>0，A≠1)對y=Asinx的圖象的影響一般地，函數(shù)y=Asinx(A>0，A≠1)的圖象可以看作是將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的.2.φ(φ≠0)對函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象的影響一般地，函數(shù)y=sin(x+φ)(φ≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點左(當(dāng)φ>0時)或向右(當(dāng)φ<0時)平移|φ|個單位而得到的.3.ω(ω>0，ω≠1)對函數(shù)y=sinωx的圖象的影響一般地，函數(shù)y=sinωx(ω>0，ω≠1)的圖象可以看作是將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的三、y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象的過程1.先平移后伸縮

y=sinx的圖象y=sin(x+φ)的圖象y=sin(ωx+φ)的圖象y=Asin(ωx+φ)的圖象.2.先伸縮后平移

y=sinx的圖象y=sinωx的圖象y=sin(ωx+φ)的圖象y=Asin(ωx+φ)的圖象.3.在變換過程中，橫向的伸縮和左右平移僅針對x而言，如果x前面有系數(shù)ω，需要把系數(shù)ω提出來，再進行變換.四、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意義1.|A|表示物體偏離平衡位置的最大距離，稱為振幅.2.ωx+φ稱為相位；φ稱為初相.3.周期T=2π|ω|表示物體完成一次運動所需要的時間4.f=1T=|ω|2π表示單位時間內(nèi)能夠完成的運動次數(shù)，五、用“五點法”作正弦型函數(shù)的圖象1.用“五點法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的步驟(1)列表.ωx+φ0ππ3π2πx-φπ2ω-πω-3π2ω-2πω-y0A0-A0(2)描點.(3)連線得函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象.(4)通過左右平移得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)，x∈R的圖象.六、函數(shù)圖象的變換1.一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，x∈R)的圖象可以由y=sinx的圖象經(jīng)過平移變換和伸縮變換得到.在圖象變換中要注意變換的次序：可以先平移后伸縮，也可以先伸縮后平移，但是兩種變換次序中，平移的量是不同的.先平移后伸縮，平移的量是|φ|個單位；先伸縮后平移，平移的量是|φ|ω個單位，這是容易出錯的地方，應(yīng)特別注意七、根據(jù)圖象求三角函數(shù)的解析式根據(jù)三角函數(shù)的圖象求y=Asin(ωx+φ)的解析式的方法1.逐一定參法(1)A的確定：一般可由圖象上的最高點、最低點的縱坐標(biāo)來確定|A|.(2)ω的確定：因為T=2π|ω|，所以往往通過求周期T來確定ω.中心之間的距離為T2，相鄰的兩條對稱軸之間的距離為T2心之間的距離為T4，相鄰的兩個最大(小)值點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為T，最大值點與最小值點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為T2(3)φ的確定：①把圖象上的一個已知點的坐標(biāo)代入y=Asin(ωx+φ)(此時A，ω已知)，求得φ；②以“五點法”中的第一個點-φω，0(也叫初始點)作為突破口來確定φ依據(jù)“五點法”作圖，點的序號與式子的對應(yīng)關(guān)系如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)：ωx+φ=0；“第二點”(即圖象的“峰點”)：ωx+φ=π2“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)：ωx+φ=π；“第四點”(即圖象的“谷點”)：ωx+φ=3π2在用以上方法確定φ的值時，還要注意題目中給出的φ的范圍，不在要求范圍內(nèi)的要通過周期性轉(zhuǎn)化到要求范圍內(nèi).2.待定系數(shù)法將若干特殊點代入函數(shù)解析式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)A，ω，φ.這里需要注意的是，要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一個點，并能正確代入函數(shù)解析式.3.圖象變換法運用逆向思維，先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)=Asinωx，再根據(jù)圖象平移規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù).八、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T=2π|ω|2.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0，ω≠0)的值域為[-|A|，|A|].3.對于y=Asin(ωx+φ)(A≠0，ω≠0)，若為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若為偶函數(shù)，則φ=kπ+(k∈Z).4.求y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間，一般將ωx+φ看成一個整體，代入y=sinx的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式，解x即可.π2注意：當(dāng)x的系數(shù)ω<0時，一般用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)后求解若A<0，則單調(diào)性與A>0時相反.5.討論y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω≠0)圖象的對稱性，一般將ωx+φ看成一個整體，令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)，可求出函數(shù)圖象的對稱軸；令ωx+φ=kπ(k∈Z)，可求出函數(shù)圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)7.3.3余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖修一、余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象函數(shù)y=cosx圖象定義域R值域[-1，1]奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期為2π單調(diào)性在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上單調(diào)遞減最值當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時，取最大值，為1；當(dāng)x=2kπ+π(k∈Z)時，取最小值，為-1對稱軸直線x=kπ，k∈Z對稱中心π2+kπ二、余弦（型）函數(shù)的圖象及其變換1.用“五點法”作余弦(型)函數(shù)的圖象用“五點法”作函數(shù)y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω≠0)的圖象的步驟與用“五點法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω≠0)的圖象的步驟相同，關(guān)鍵是找到“五點”，即函數(shù)圖象在[0，2π]上的最高點、最低點、與x軸的交點，即-φ2.余弦(型)函數(shù)的圖象變換(1)同名三角函數(shù)之間的變換方法：由函數(shù)y=cosx的圖象通過平移和伸縮變換可得到y(tǒng)=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的圖象，具體變換過程與由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的圖象的過程相同.(2)不同名三角函數(shù)之間的變換方法：①利用誘導(dǎo)公式，尋找不同名三角函數(shù)之間的關(guān)系，主要利用π2±α化簡②用誘導(dǎo)公式將不同名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，再根據(jù)平移、伸縮變換得出最終結(jié)果.三、函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的性質(zhì)1.函數(shù)y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期T=2π|ω|2.函數(shù)y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的值域為[-|A|，|A|].3.對于y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)，若為奇函數(shù)，則φ=kπ+π2(k∈Z)；若為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)4.形如y=Acos(ωx+φ)(A≠0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的求法(1)當(dāng)A>0時，把ωx+φ看作一個整體，利用y=cosx的單調(diào)增區(qū)間求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用y=cosx的單調(diào)減區(qū)間求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.(2)當(dāng)A<0時，把ωx+φ看作一個整體，利用y=cosx的單調(diào)增區(qū)間求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，利用y=cosx的單調(diào)減區(qū)間求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.注意：若ω為負，一般先把ω化為正數(shù)再求解.5.函數(shù)y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的圖象的對稱軸方程由ωx+φ=kπ，k∈Z求得，即x=kπ-φω，k∈Z；圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)由ωx+φ=π2+kπ，k∈Z求得，對稱中心為四、與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域（最值）1.常見的求與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(最值)的類型及解法(1)形如y=asinx(或y=acosx)的函數(shù)，可利用正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))的有界性求解，要注意對a的正負的討論.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的函數(shù)，可先由定義域求得ωx+φ的范圍，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范圍，最后求得值域(最值).(3)形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c)(a≠0)的函數(shù)，可利用換元思想，設(shè)t=sinx(或cosx)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=at2+bt+c求值域(最值).注意t的范圍需要根據(jù)定義域來確定.(4)形如y=asinx+bcsinx+d或y=acos7.3.4正切函數(shù)的性質(zhì)與圖修一、正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象函數(shù)y=tanx圖象定義域xx≠值域R周期性是周期函數(shù)，最小正周期是π奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在每一個開區(qū)間-π2對稱性圖象是中心對稱圖形，對稱中心的坐標(biāo)為kπ2，0二、與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、對稱性、奇偶性、周期性1.定義域、對稱性研究函數(shù)的性質(zhì)時，首先要確定函數(shù)的定義域，求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，除了滿足函數(shù)定義域的一般要求外，還要注意y=tanx有意義時，x≠π2+kπ，k∈Z對于正切型函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A≠0，ω>0)的定義域、對稱性問題，解題時一般將“ωx+φ”視為一個整體.令ωx+φ≠kπ+π2，k∈Z，求解x即可得其定義域；令ωx+φ=kπ2，k∈Z，求解x2.奇偶性：y=tanx是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱.若y=tan(ωx+φ)是奇函數(shù)，則φ=kπ2(k∈Z)3.周期性：函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的最小正周期T=π|ω|，常常利用此公式來求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期解與正切函數(shù)有關(guān)的三角不等式時，先確定在一個周期-π2，π2內(nèi)使不等式成立的ωx+φ的范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的周期性三、正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用1.正切型函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A>0，ω≠0，φ是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的求法(1)若ω>0，由于y=tanx在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思

想，令kπ-π2<ωx+φ<kπ+π2，k∈Z，解得的x(2)若ω<0，可利用誘導(dǎo)公式先把y=Atan(ωx+φ)轉(zhuǎn)化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間.2.利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小時，應(yīng)先將異名化為同名，把不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性比較大小.