湖南省郴州市市第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省郴州市市第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若數(shù)列{an}的前n項和為對任意正整數(shù)都有，則（

）A．32

B．31

C．64

D．63參考答案：D【知識點】等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項和D2：∵Sn=2an-1，∴n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2an-1）-（2an-1-1）=2an-2an-1，∴an=2an-1，

當(dāng)n=1時，S1=a1=2a1-1，解得a1=1，∴{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴S6==63．【思路點撥】由已知條件推導(dǎo)出{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出S6．2.已知函數(shù)，且，則的值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.執(zhí)行如圖所示的程序，若輸入的，則輸出的所有的值的和為A．243B．363C．729D．1092參考答案：D4.是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）

A.15

B.18

C.9

D.12參考答案：D在等差數(shù)列中，所以，所以，選D.5.已知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值可以是（

） A．

B．

C.

D．參考答案：D因為，所以因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以的值可以是，選D.

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為，則輸入的值為（

）A．

3

B．

4

C.

5

D．6參考答案：C7.已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），則f=(

)A． B． C．﹣ D．0參考答案：B【考點】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知條件推導(dǎo)出函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù)，由此能求出結(jié)果．【解答】解：取x=1，y=0代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），解得f（0）=，則當(dāng)x=1，y=1時，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣；當(dāng)x=2，y=1時，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣；當(dāng)x=3，y=1時，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）﹣f（2）=﹣；當(dāng)x=4，y=1時，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）﹣f（3）=；當(dāng)x=5，y=1時，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）﹣f（4）=；當(dāng)x=6，y=1時，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）﹣f（5）=；…6個一循環(huán)2015÷6=370余5f=f（5）=．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù)．8.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】該幾何體為正八面體，即兩個全等的正四棱錐，棱長為1，棱錐的高為，即可求出體積【解答】解：該幾何體為正八面體，即兩個全等的正四棱錐，棱長為1，棱錐的高為，所以，其體積為：2×（1×1）×=，故選：A9.如圖，點列{An}、{Bn}分別在銳角兩邊（不在銳角頂點），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q(mào)表示點P與Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn為△AnBnBn+1的面積，則（）A．{dn}是等差數(shù)列 B．{Sn}是等差數(shù)列C．ux88nva是等差數(shù)列 D．{S}是等差數(shù)列參考答案：B【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)銳角的頂點為O，再設(shè)|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不確定，判斷C，D不正確，設(shè)△AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn，運用三角形相似知識，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，進(jìn)而得到數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列【解答】解：設(shè)銳角的頂點為O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不確定，則{dn}不一定是等差數(shù)列，{dn2}不一定是等差數(shù)列，設(shè)△AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn，由三角形的相似可得==，==，兩式相加可得，==2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即為Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，則數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列．故選：B．【點評】本題考查等差數(shù)列的判斷，注意運用三角形的相似和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡整理的推理能力，屬于中檔題．10.

已知集合，則集合N的真子集個數(shù)為（

）A．3；B．4C．7D．8參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量則=

、=

，設(shè)函數(shù)R），取得最大值時的x的值是

.參考答案：，Z試題分析:由題設(shè),即,故,由此可得;又,故當(dāng)取最大值時,,即,所以應(yīng)填Z.考點：向量的數(shù)量積公式及三角變換公式等知識的綜合運用．【易錯點晴】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容和工具,也高考和各級各類考試的重要內(nèi)容和考點.本題以向量的坐標(biāo)形式為背景考查的是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角變換的有關(guān)知識和運用.解答本題時要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,依據(jù)向量的數(shù)量積公式建立方程,求出.然后再化簡和構(gòu)建函數(shù)運用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)使得問題獲解.12.在中，三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則

.參考答案：13.設(shè)函數(shù)f（x）=，函數(shù)g（x）=x++a（x＞0），若存在唯一的x0，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的值為h（x0），則實數(shù)a的取值范圍為．參考答案：（﹣∞，﹣2）【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】作出函數(shù)f（x）的圖象，可得最小值為0，最大值為2，由基本不等式可得g（x）的最小值為2+a，由題意可得2+a＜0，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：作出函數(shù)f（x）=的圖象，可得f（x）的最小值為0，最大值為2；g（x）=x++a（x＞0）≥2+a=2+a，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得最小值2+a．由存在唯一的x0，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的值為h（x0），可得2+a＜0，解得a＜﹣2．故答案為：（﹣∞，﹣2）．【點評】本題考查分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用，考查基本不等式的運用：求最值，注意數(shù)形結(jié)合思想方法的運用，屬于中檔題．14.若隨機(jī)變量X～N（1，4），P（x≤0）=m，則P（0＜x＜2）

．參考答案：1﹣2m考點：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)隨機(jī)變量x～N（1，4），得到正態(tài)曲線的對稱軸是x=1，得到P（x≤0）=P（x≥2），根據(jù)所給的條件P（x≤0）=m，得到P（x≥2）=m，又根據(jù)概率之和是1，得到要求的結(jié)果．解答： 解：∵隨機(jī)變量x～N（1，4），∴正態(tài)曲線的對稱軸是x=1，∴P（x≤0）=P（x≥2）∵P（x≤0）=m，∴P（0＜x＜2）=1﹣m﹣m=1﹣2m．故答案為：1﹣2m．點評：本題考查正態(tài)分布的特點，是一個基礎(chǔ)題，解題時注意正態(tài)曲線的對稱性和概率之和等于1的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．15.已知實數(shù)x，y滿足的取值范圍是＿＿＿＿參考答案：16.已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO1，進(jìn)而求出底面ABC上的高SD，即可計算出三棱錐的體積．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過ABC三點的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點D，則SD⊥平面ABC．∵，∴=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴，∴V三棱錐S﹣ABC==．故答案為．17.已知數(shù)列：中，令，表示集合中元素的個數(shù)．（1）若，則

；（2）若（為常數(shù)，且，）則

．參考答案：（1）7

（2）根據(jù)題中集合表示的含義，可知中元素為數(shù)列中前后不同兩項的和，所以，則集合中元素為4，6，8，10，12，14，16，元素個數(shù)為7.（2）易知，數(shù)列數(shù)列為首項為，公差為（）的等差數(shù)列，所以，，可以取遍從3到中每個整數(shù)，共有個不同的整數(shù)，故。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.

(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.參考答案：(21)(I)……①矩形ABCD面積為8，即……②由①②解得：，∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(II)，設(shè)，則，由得..當(dāng)過點時，，當(dāng)過點時，.①當(dāng)時，有，，其中，由此知當(dāng)，即時，取得最大值.②由對稱性，可知若，則當(dāng)時，取得最大值.③當(dāng)時，，，由此知，當(dāng)時，取得最大值.綜上可知，當(dāng)和0時，取得最大值.19.（本小題滿分12分）如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截面得，已知FA⊥平面ABC，AB＝2，BD＝1，AF＝2，CE＝3，O為AB的中點． （1）求證：OC⊥DF；（2）求平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小；參考答案：解：（1）證法一：平面，平面，

…………2分又且為的中點，平面，………………4分平面，

……………………6分證法二：如圖，以為原點，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

…………2分即

………………6分（2）解法一：解：設(shè)平面的法向量為………7分設(shè)平面的法向量為由得,

解得,

…………9分所以

,

…11分故平面與平面相交所成銳二面角的大小為.

…12分20.（本小題滿分12分）已知，函數(shù)，（1）若直線與函數(shù)相切于同一點，求實數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)，使得成立，若存在，求出實數(shù)的取值集合，不存在說明理由．參考答案：解（1）設(shè)切點，，，，設(shè)切點，，

………5分（2）令，即，令，所以有兩不等根，，不妨令，所以在上遞減，在上遞增，所以成立因為，所以所以,且令，所以在上遞增，在上遞減所以，又，所以代入,所以

………12分21.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，，，.（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）設(shè)BD與AC交于O點，求二面角B-OB1-C平面角正弦值.參考答案：（1）證明：設(shè)，交于點，∵底面為菱形，∴，又∵，是的中點，∴，，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）解：∵，是的中點，∴，，，兩兩垂直，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，由題得，，，則，，，，設(shè)是平面的一個法向量，，，，可得，設(shè)是平面的一個法向量，，，，可得，，∴二面角平面角正弦值為.

22.橢圓C：(a＞b＞0)的長軸長為2，P為橢圓C上異于頂點的一個動點，O為坐標(biāo)原點，A2為橢圓C的右頂點，點M為線段PA2的中點，且直線PA2與直線OM的斜率之積為．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的左焦點F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于兩點A，B，線段AB的垂直平分線與x軸交于點N，N點的橫坐標(biāo)的取值范圍是(，0)，求線段AB的長的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（I）由2a=2，解得a=，設(shè)P（x0，y0），A1（，0），A2（，0）．由=1，可得=﹣．根據(jù)OM∥PA1，可得，于是===﹣=﹣，解得b2．（II）設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點坐標(biāo)公式可得線段AB的中點Q，QN的方程為：y﹣=﹣，可得N．根據(jù)＜＜0