2022-2023學(xué)年湖南省常德市鼎城區(qū)教育局逆江坪鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省常德市鼎城區(qū)教育局逆江坪鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知滿足，則的最小值為（

）A.6

B.8

C.12

D.15

參考答案：B略2.函數(shù)y=log2的定域?yàn)椋?/p>

）

A．{x|–3＜x＜2}

B．{x|–2＜x＜3}

C．{x|x＞3或x＜–2}

D．{x|x＜–3或x＞2}

參考答案：B3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且A,B,C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)O），則等于（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.若，則的定義域?yàn)?

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足：，則的值是(

)A．

B.

C.

D.參考答案：A6.F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂直，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，若，則C的離心率是（

）A．

B．

C．2

D．參考答案：B

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的運(yùn)算.7.橢圓

A．2

B．4 C．

D．參考答案：C略8.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=的圖象如圖1所示，則導(dǎo)函數(shù)y=可能為

參考答案：D9.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，，則（

）A．3

B．

C．

D．6參考答案：D10.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x－1，那么不等式f(x)<的解集是

（

）

A．{x|0<x<}

B．{x|－<x<0}

C．{x|－<x<0或0<x<}

D．{x|x<－或0≤x<}參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知6名嫌疑犯、、、、、中有1人在商場(chǎng)偷走錢包．路人甲猜測(cè)：或偷的；路人乙猜測(cè)：不可能偷；路人丙猜測(cè)：、、當(dāng)中必有1人偷；路人丁猜測(cè)：、、都不可能偷。若甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)，則此人是

．參考答案：丁

假設(shè)甲猜對(duì)，即D或E偷的，則乙也猜對(duì)，相互矛盾；假設(shè)乙猜對(duì)，即C沒(méi)偷，又丙猜錯(cuò)，則是D或E偷的，此時(shí)甲也猜對(duì)，相互矛盾；假設(shè)丙猜對(duì)，即A、B、F當(dāng)中必有一人偷，此時(shí)乙也猜對(duì)；假設(shè)丁猜對(duì)，即D、E、F都不可能偷，甲、乙、丙均猜錯(cuò)，符合題意，故猜對(duì)的是丁。12.已知橢圓的半焦距為C，（C＞0），左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，拋物線y2=（a+c）x與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率是

．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)四邊形ABFC是菱形得到B的橫坐標(biāo)為（a﹣c），代入拋物線方程求出B的縱坐標(biāo)為b，因此將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理得到關(guān)于橢圓離心率e的方程，即可得到該橢圓的離心率．【解答】解：∵橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，∴A（a，0），F(xiàn)（﹣c，0）∵拋物線y2=（a+c）x與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，可設(shè)B（m，n），C（m，﹣n）∵四邊形ABFC是菱形，∴m=（a﹣c）將B（m，n）代入拋物線方程，得n2=（a+c）（a﹣c）=b2∴B（（a﹣c），b），再代入橢圓方程，得化簡(jiǎn)整理，得4e2﹣8e+3=0，解之得e=（e=＞1不符合題意，舍去）故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓與拋物線相交得到菱形ABFC，求橢圓的離心率e，著重考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．13.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為________.參考答案：4略14.已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的體積為

▲

．參考答案：15.在數(shù)列中，，且，則這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)的絕對(duì)值之和為

__________.

參考答案：答案：76516.已知三棱錐中,,直線與底面所成角為，則此時(shí)三棱錐外接球的表面積為．參考答案：17.在△ABC中，，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，

.參考答案：-9三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，存在常數(shù)a，b（），使得

恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）對(duì)稱，

已知函數(shù)（I）求證：存在定點(diǎn)M，使得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（II）定義，求的表達(dá)式，并求除以31的余數(shù)；（III）對(duì)于（II）中的求證：對(duì)于任意都有

.參考答案：解：（I）設(shè)，則由（常數(shù)）對(duì)任意x恒成立，則，解得，所以，存在定點(diǎn)，使得函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱?！?分（II）由（I）得，…………5分又①得②①+②得

，所以

，…7分∵，∴……從而可知除以31的余數(shù)為1.……9分（III）當(dāng)時(shí)，由（II）知：，故要證：對(duì)于任意都有則只需證：對(duì)于任意都有…………10分構(gòu)造函數(shù),則顯然：在上恒成立，所以在為增函數(shù)，且所以：，即在上恒成立，取，則有：所以原不等式得證?！?4分略19.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分．對(duì)于函數(shù)與常數(shù)，若恒成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且．?）若是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，求；（2）若是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，且當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值與最小值；（3）若是增函數(shù)，且是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，試比較下列各組中兩個(gè)式子的大小，并說(shuō)明理由．①與；②與．參考答案：解：（1）由題意知恒成立，令，可得，∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，故，又，故．

………………3分（2）當(dāng)時(shí)，，令，可得，由可得，即時(shí)，，

…………………4分可知在上的取值范圍是．

又是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，故恒成立，當(dāng)時(shí)，，…，

…………………6分故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的取值范圍是．

……………8分由此可得在上的最大值為，最小值為．………………10分（3）由是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，可知恒成立，即恒成立，

令，可得，

…12分即，又，∴是一個(gè)等比數(shù)列，∴，所以．

…………………15分當(dāng)時(shí)，由是增函數(shù)，故，又，故有．…………………18分

略20.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意的，恒成立，證明.參考數(shù)據(jù)：.參考答案：(1)；在遞減，在遞增.(2)見證明【分析】（1）根據(jù)條件可得，解出m代入f'（x）中，然后判斷寫出單調(diào)區(qū)間即可；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）＝xlnx+1﹣ax﹣b≥0恒成立，求出g（x）的最小值，然后由g（x）min≥0，可得ab≤a﹣aea﹣1，然后構(gòu)造函數(shù)h（x）＝x﹣xex﹣1（x＞0），求出h（x）的最大值即可證明ab．【詳解】解：（1）∵f（x）＝（x+m）lnx+1，∴f'（x）（x＞0），∵f（x）在x處取得極值，∴，∴m＝0，∴f（x）＝xlnx+1，∴f'（x）＝lnx+1，∵當(dāng)0＜x時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，），單調(diào)增區(qū)間為（，）（2），即.記，則，由，得.所以.由，得，于是，其中.記，則，，顯然時(shí)，，即在時(shí)單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以存在，使，?且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，令，上述函數(shù)變形為，，在單調(diào)遞增，所以，即，故也即成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造法，屬中檔題．21.（本題滿分18分）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)、都有成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)在上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)于區(qū)間上的“凸函數(shù)”，在上的任取，，，……，，證明：．參考答案：解：（1）設(shè)，是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有．函