【2022蘇教數(shù)學優(yōu)化方案】《三角恒等變換》優(yōu)化總結

本章優(yōu)化總結本章優(yōu)化總結知識網絡構建專題探究精講章末綜合檢測知識網絡構建專題探究精講三角函數(shù)式的化簡求值問題專題一三角函數(shù)求值主要有三種類型，即：(1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細觀察就會發(fā)現(xiàn)這類問題中的角與特殊角都有一定的關系，如和或差為特殊角，當然還有可能需要運用誘導公式．(2)“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問題關鍵在于結合條件和結論中的角，合理拆、配角．當然在這個過程中要注意角的范圍．(3)“給值求角”，本質上還是“給值求值”，只不過往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結合函數(shù)的單調性確定角，必要時還要討論角的范圍．例1【點評】給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關鍵在于“變角”．使其角相同或具有某種關系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示．②將已知條件進行轉化推出可用的結論．其中“湊角法”是解決此類問題的常用技巧．解題時首先是分析已知式與待求式之間角、函數(shù)、結構間的差異，有目的地將已知式、待求式的一方或兩方加以變換，找出它們之間的聯(lián)系，最后求出待求式的值．例2【分析】本題主要考查三角函數(shù)式的恒等變形及已知三角函數(shù)值求角，因為2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，可先將條件式3sinβ＝sin(2α＋β)展開后求α＋β的正切值．【點評】

(1)給值求角實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角．把所求的角用含已知其值的角的式子表示，即先求出該角的某一個三角函數(shù)值，由所求的函數(shù)值結合該函數(shù)的單調區(qū)間求得角，但不要忽視對所求角范圍的討論．例3【點評】給角求值的解題規(guī)律是恰當?shù)剡\用誘導公式，合理地進行角的變換，運用和角公式、二倍角公式、積化和差與和差化積公式、萬能代換公式和半角公式，使其轉化為特殊角的三角函數(shù)值的求解問題．給角求值中要注意當角較大時，應先利用誘導公式，這樣能使角之間的關系更明確，這也是給角求值的技巧之一．技巧之二是進行角變換，將其中一個角用另兩個角(已知角或特殊角)表示出來，減少未知角的個數(shù)．三角函數(shù)式的證明專題二三角式的化簡或證明，主要從三方面尋求思路：一是觀察函數(shù)特點，已知和所求中包含什么函數(shù)，它們可以怎樣聯(lián)系；二是觀察角的特點，它們之間可經過何種形式聯(lián)系起來；三是觀察結構特點，它們之間經過怎樣的變形可達到統(tǒng)一．例4已知tan2θ＝2tan2φ＋1，求證：cos2φ＝2cos2θ＋1.【分析】由已知入手，可利用不同的三角函數(shù)公式進行化簡，得到不同的方法．【點評】三角恒等式可分為無條件三角恒等式和條件三角恒等式兩類．其證明思路與代數(shù)恒等式類同，證明的實質是進行恒等變換消去差異，達到形式上的統(tǒng)一．(1)無條件三角恒等式的證明方法主要有以下幾種：左右相推法，左右歸一法，變更問題法，分析法、綜合法及分析綜合法；(2)條件三角恒等式的證明，關鍵在于準確，適時地應用條件，也就是要仔細地尋找條件和欲證式之間的內在聯(lián)系與區(qū)別，證明方法一般有：代入法，消去法，綜合法、分析法、分析綜合法等．三角形中的三角函數(shù)問題專題三三角形中的三角函數(shù)問題主要有求值、化簡、證明，其實質是附條件的三角函數(shù)問題．還有一種重要題型是判斷三角形的形狀，從角的方面看若最大角是銳角、直角、鈍角，可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．從邊的方面看可分為等腰三角形、非等腰三角形，等腰三角形又可分為等邊三角形和底、腰不等的等腰三角形，分類標準必須清楚．例5在△ABC中，若sinC＝cosA＋cosB，求證：A，B中必有一個為直角．【分析】本題主要考查和差化積公式及半角公式．先將角C化成π－(A＋B)，消去一個角．由結論可知必有cosA＝0或cosB＝0之類的因式，因此化積，化出關于cosA、cosB的因式是變形的方向．【點評】利用三角公式可以解決一些與三角形有關的問題．三角恒等變換的綜合應用專題四sin(θ＋φ)(φ為輔助角)；③基本目標是復角化單角，異名化同名，轉換運算形式試著相約或相消，達到項數(shù)盡量少，種類(名稱)盡量少，次數(shù)盡量低，分母中盡量不含三角函數(shù)；盡可能不帶根號，能求出值的求出值來，絕對值要討論．例6【分析】本題考查三角函數(shù)公式的靈活運用，包括二倍角公式、降冪公式．切入點是將已知三角函數(shù)化為標準式來