數(shù)學(xué)人教版九年級上冊圓錐的側(cè)面積和全面積42圓錐的側(cè)面積和全面積-課件

掌握圓錐的有關(guān)概念，會推導(dǎo)其側(cè)面積計(jì)算公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的實(shí)際問題.理解圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，弄清圓錐的母線、底面圓周長與扇形的半徑、弧長之間的對應(yīng)關(guān)系，按照扇形面積公式計(jì)算.圓錐的側(cè)面積與全面積的計(jì)算【例1】(6分)如圖所示，一個(gè)機(jī)器零件(圖1)表面涂上防銹漆，圖2是其軸切面(尺寸單位：mm)，因工作需要，請你幫助計(jì)算一下這個(gè)零件的表面積．(結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字)．【解題導(dǎo)引】零件的表面積就是其全面積，由三部分構(gòu)成：圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面、底面圓，分別計(jì)算各部分面積再求和.【規(guī)范解答】如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AD，垂足為E，則AE=DE=40mm，在Rt△APE中，由勾股定理可得AP==50(mm)，……………………2分∴S圓錐側(cè)=πrl=π×40×50=2000π(mm2)S圓柱側(cè)=π×80×100=8000π(mm2)S底=402×π=1600π(mm2)………………5分∴S表面積=S圓柱側(cè)+S圓錐側(cè)+S圓柱底=8000π+2000π+1600π=11600π≈3.64×104(mm2)．…………6分

計(jì)算表面積時(shí)漏掉底面圓的面積而造成錯(cuò)誤.與圓錐側(cè)面積有關(guān)的幾何體的表面積的計(jì)算，其關(guān)鍵：一是分析清楚幾何體表面的構(gòu)成，二是弄清圓錐與其側(cè)面展開圖扇形各元素之間的對應(yīng)關(guān)系.對結(jié)果取近似值時(shí)，注意中間過程中一般取準(zhǔn)確值，在最后結(jié)果時(shí)再取近似值.1.(2010·衢州中考)小剛用一張半徑為24cm的扇形紙板做一個(gè)如圖所示的圓錐形小丑帽子側(cè)面(接縫忽略不計(jì))，如果做成的圓錐形小丑帽子的底面半徑為10cm，那么這張扇形紙板的面積是()(A)120πcm2(B)240πcm2(C)260πcm2(D)480πcm2【解析】選B.由題意知，扇形的面積為：πrl=24×10×π=240πcm2.2.(2010·眉山中考)已知圓錐的底面半徑為4cm，高為3cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_____cm2.【解析】圓錐的母線長為=5cm，所以側(cè)面積為：4×5×π=20πcm2.答案:20π在利用公式求圓錐側(cè)面積時(shí)，應(yīng)注意扇形的半徑指的是母線的長，并不是圓錐底面圓的半徑，同時(shí)在計(jì)算時(shí)要仔細(xì)認(rèn)真，牢記圓錐與其側(cè)面展開扇形中各元素的對應(yīng)關(guān)系，不要代錯(cuò)數(shù)據(jù).與圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)的計(jì)算【例2】(2010·濰坊中考)已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為9，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的底面的半徑等于()(A)9(B)27(C)3(D)10【思路點(diǎn)撥】【自主解答】選C.扇形的弧長為，所以2πr=6π，解得r=3.準(zhǔn)確把握圓錐的有關(guān)概念，弄清圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于底面圓的周長.

3.(2010·宜賓中考)將半徑為5的圓(如圖1)剪去一個(gè)圓心角為n°的扇形后圍成如圖2所示的圓錐,則n的值等于_____.【解析】圓錐底面圓的周長為2π×3=6π，設(shè)圍成圓錐的扇形的圓心角的度數(shù)為m°，則扇形的弧長為解得m=216，所以剪去的扇形的圓心角度數(shù)為：360°－216°=144°.答案:1444.已知圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為90°，則該圓錐的底面圓半徑與母線長的比為_____.【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，所以答案:5.一個(gè)圓錐形的零件，經(jīng)過圓錐的軸的剖面是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，那么這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角的度數(shù)為_____.【解析】由題意知，圓錐的母線長為4，底面圓的半徑為2，所以扇形的弧長為4π,4π=，解得n=180.答案:180°圓錐的母線長l，高h(yuǎn)及底面圓的半徑r,構(gòu)成直角三角形，有l(wèi)2=h2+r2,已知l、h、r中任意兩個(gè)量都可以求出第三個(gè)量.1.(2010·昆明中考)如圖，已知圓錐側(cè)面展開圖的扇形面積為65πcm2，扇形的弧長為10πcm，則圓錐母線長是()(A)5cm(B)10cm(C)12cm(D)13cm【解析】選D.由扇形面積公式l×10π=65π，解得母線長為13cm.2.(2010·湖州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周，則所得圓錐的側(cè)面積等于()(A)6π(B)9π(C)12π(D)15π【解析】選D．由題知r=3,l=5,∴S側(cè)=πrl=π×3×5=15π.3.(2010·德化中考)已知圓錐的底面半徑是3cm，母線長為6cm，則側(cè)面積為_____cm2．(結(jié)果保留π)【解析】由公式得：S=πrl=3×6×π=18π(cm2).答案:18π4.如圖,是一個(gè)廢棄的扇形統(tǒng)計(jì)圖,小華利用它的陰影部分來制作一個(gè)圓錐,則這個(gè)圓錐的底面半徑是_____.【解析】陰影部分扇形的弧長為=7.2π.設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2πr=7.2π,∴r=3.6.答案：3.65.已知扇形的圓心角為120°，面積為300πcm2．(1)求扇形的弧長．(2)若把此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的全面積是多少？【解析】(1)(2)2πr=l，則r=10cm，∴S底=πr2=100πcm2，∴S全=S側(cè)+S底=400πcm2．一、選擇題（每小題4分，共12分）1.（2010·萊蕪中考）已知圓錐的底面半徑長為5，側(cè)面展開后得到一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（）（A）2.5（B）5（C）10（D）15【解析】選C.由圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長得：2π×5=,得l=10.2.已知，如圖所示,在正方形的鐵皮上剪下一個(gè)圓形和扇形,使之恰好圍成一個(gè)圓錐模型,設(shè)圓的半徑為r,扇形的半徑為R，則圓的半徑與扇形的半徑之間的關(guān)系為()(A)R=2r(B)R=r(C)R=3r(D)R=4r【解析】選D.由題意可知,圓的周長應(yīng)等于扇形的弧長,即2πr=·2πR,故R=4r.3.（2010·孝感中考）如圖，圓錐的底面半徑為5，母線長為20，一只蜘蛛從底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)A的最短路程是()【解析】選D.設(shè)圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n°，則=2π×5，解得n=90，如圖所示，最短路程即為線段AB的長，由勾股定理可得AB=二、填空題（每小題4分，共12分）4.一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍,這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是_____.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,圓錐的母線長為l,圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°.則：解得:n=120.答案：120°5.已知⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于E，∠A=30°，若用陰影部分扇形OBD圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圍成的圓錐的底面圓的半徑是_____.【解析】∵∠A=30°,AC⊥BD,∴BE=AB=2.∴AE==6.又∠BOC=2∠BAC=60°,∴∠OBE=30°,∴2OE=OB,∴2OE+OE=6,∴OE=2,OB=4.設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,則2πr=r=.答案：6.（2010·涼山中考）如圖，如果從半徑為3cm的圓形紙片剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的體積是_____.【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，由題意知：=2πr,解得r=2cm,所以h=所以圓錐的體積為：答案:三、解答題（共26分）7.（8分）（2010·自貢中考）如圖，有一直徑是1米的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)圓心角是120°的扇形ABC，求：（1）被剪掉陰影部分的面積.(2)若用所留的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐,該圓錐底面圓的半徑是多少?【解析】(1)設(shè)O為圓心,連接OA,OB,OC,∵OA=OC=OB，AB=AC,∴△ABO≌△ACO（SSS）,又∵∠BAC=120°,∴∠BAO=∠CAO=60°,∴△ABO為等邊三角形,∴AB=米,∴S扇形ABC=×π×()2=(米)2,∴S陰影=π×()2-=(米)2.（2）在扇形ABC中，的長為π·=(米).設(shè)底面圓的半徑為r米,則2πr=,∴r=(米).8.(8分)如圖所示是一紙杯，它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐．該圓錐的側(cè)面展開圖是扇形OAB．經(jīng)測量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=8cm．求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積．（面積計(jì)算結(jié)果用π表示）.【解析】由題意可知：

=6π,

=4π,設(shè)∠AOB=n°,AO=R，則CO=R-8，由弧長公式得：解方程組故扇形OAB的圓心角是45°，OC=R-8=16（cm），所以S扇形OCD=×4π×16=32π（cm2），S扇形OAB=×6π×24=72π（cm2），S紙杯側(cè)面積=S扇形OAB-S扇形OCD=40π（cm2），S紙杯底面積=π·22=4π（cm2），S紙杯表面積=40π+4π=44π（cm2）．【歸納整合】解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，抽象出符合題意的數(shù)學(xué)模型.在實(shí)際問題中，紙杯的表面積不包含上底面圓的面積.側(cè)面積為兩扇形的面積之差，也可以類比扇形面積的求解方法，可把其理解為曲邊梯形的面積，即S=(l+l′)d.【拓展延伸】9.（10分）某工廠要選一塊矩形鐵皮加工成一個(gè)底面半徑為20cm,高為40cm的圓錐形漏斗如圖（1）,要求只能有一條接縫(接縫忽略不計(jì)),現(xiàn)有兩種方案,如圖（2）為方案一，圖（3）為方案二,那么，為了節(jié)省材料應(yīng)選哪個(gè)方案？【解析】應(yīng)選方案二，理由如下:由題意知母線l的長∴=2π×20,∴n=120,根據(jù)題意,有兩種方案:方案一:如圖(1),AB=60,BC=60,∴S矩形ABCD=3600(cm2).方案二:如圖(2),AB=60,BC=90,∴S矩形ABCD=5400(cm2).∵3600cm2>5400cm2,∴應(yīng)選方案二.【知識拓展】求圓錐的側(cè)面積和全面積時(shí),首先要畫出圓錐的側(cè)面展開圖,分析哪條線段是母線,哪條線段為底面半徑,然后利用l2=h2+r2等公式進(jìn)行計(jì)算.經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí)