線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性教材課件

第4章線性系統(tǒng)的能控性

和能觀測(cè)性4.1引言

4.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性

4.3線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性4.4線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性

4.5能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形

4.6系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的對(duì)偶原理4.7線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解4.8能控性和能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)（陣）的關(guān)系

4.9系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題4.10MATLAB在能控性和能觀測(cè)性分析中的應(yīng)用

4.1引言線性系統(tǒng)的能控性(controllability)

加入適當(dāng)?shù)目刂谱饔煤?，能否在有限時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到希望的狀態(tài)上，即系統(tǒng)是否具有通過(guò)控制作用隨意支配狀態(tài)的能力。線性系統(tǒng)的能觀測(cè)性(observability)通過(guò)在一段時(shí)間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)輸出的觀測(cè)，能否判斷系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即系統(tǒng)是否具有通過(guò)觀測(cè)系統(tǒng)輸出來(lái)估計(jì)狀態(tài)的能力。4.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性

狀態(tài)能控性反映輸入對(duì)狀態(tài)的控制能力。如果狀態(tài)變量由任意初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)都能由輸入(控制項(xiàng))來(lái)影響，并能在有限時(shí)間內(nèi)控制到空間原點(diǎn)，那么稱系統(tǒng)是能控的，或者更確切地說(shuō)，是狀態(tài)能控的。否則，就稱系統(tǒng)為不完全能控的?！纠?－1】某電橋系統(tǒng)的模型如圖4-1所示。該電橋系統(tǒng)中，電源電壓為輸入變量，并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量和。試分析電源電壓對(duì)兩個(gè)狀態(tài)變量的控制能力。解：由電路理論知識(shí)可知，若圖4-1所示的電橋系統(tǒng)是平衡的(例)，電容的電壓是不能通過(guò)輸入電壓改變的，即狀態(tài)變量是不能控的，則系統(tǒng)是不完全能控的。若圖4-1所示的電橋系統(tǒng)是不平衡的，兩電容的電壓和可以通過(guò)輸入電壓控制，則系統(tǒng)是能控的。由狀態(tài)空間模型來(lái)看，當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量和時(shí)，可得如下?tīng)顟B(tài)方程：由上述狀態(tài)方程可知，狀態(tài)變量的值，即電橋中電容的電壓，是自由衰減的，并不受輸入的控制。因此，該電壓的值不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減至零，即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點(diǎn)。具有這種特性的系統(tǒng)稱為狀態(tài)不能控的。

4.2.2狀態(tài)能控性的定義考慮線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中，為維狀態(tài)向量，為維輸入向量，為時(shí)間定義區(qū)間，分別為和的元為的連續(xù)函數(shù)的矩陣。能控性定義1．狀態(tài)能控對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)，如果對(duì)取定初始時(shí)刻的一個(gè)非零初始狀態(tài)，存在一個(gè)時(shí)刻，，和一個(gè)無(wú)約束的的容許控制，，使?fàn)顟B(tài)由轉(zhuǎn)移到時(shí)，則稱此在時(shí)刻是能控的。

能控性定義2．系統(tǒng)能控對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在時(shí)刻為能控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的，能控。如果系統(tǒng)對(duì)于任意的均是狀態(tài)完全能控的（即系統(tǒng)的能控性與初始時(shí)刻的選取無(wú)關(guān)），則稱系統(tǒng)是一致能控的。簡(jiǎn)稱系統(tǒng)在時(shí)刻能控性定義3．系統(tǒng)不完全能控取定初始時(shí)刻，如果狀態(tài)空間中存在是不能控的，則稱是不完全能控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)不能控。一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻系統(tǒng)在時(shí)刻能控性定義若存在能將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到的控制作用，則稱狀態(tài)是時(shí)刻能達(dá)的。若對(duì)所有時(shí)刻都是能達(dá)的，則稱狀態(tài)為完全能達(dá)或一致能達(dá)。能達(dá)的，時(shí)刻狀態(tài)能達(dá)的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是時(shí)刻能達(dá)的。若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是時(shí)刻則稱系統(tǒng)是4．狀態(tài)與系統(tǒng)能達(dá)

定義的幾點(diǎn)解釋

（1）對(duì)軌跡不加限制，是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一種定性特性；（2）容許控制的分量幅值不加限制，且在（3）線性系統(tǒng)的能控性與（4）如果將上面非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，改為零狀態(tài)到非上平方可積；無(wú)關(guān)；零狀態(tài)，則稱為系統(tǒng)的能達(dá)性。（5）系統(tǒng)不完全能控為一種“奇異”情況。4.2.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判別一、格拉姆矩陣判據(jù)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)

狀態(tài)完全能控的充分必要條件是存在時(shí)刻，使如下定義的格拉姆矩陣

為非奇異。

二、秩判據(jù)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

式中，x為n維狀態(tài)向量，u為r維輸入向量，A，B分別為、常數(shù)陣。滿秩，即系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣【例4－1】

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性解：由狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有故它是一個(gè)三角形矩陣，斜對(duì)角線元素均為1，不論取何值，其秩為3，故系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。【例】電路如圖所示。其中，u為輸入，i為輸出，流經(jīng)電感的電流和電容上的電壓為狀態(tài)變量，分析系統(tǒng)的能控性。

解：令整理以上三式得向量－矩陣形式的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為當(dāng)滿足時(shí)，滿秩，系統(tǒng)能控，否則不能控。三、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)對(duì)為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)1．若A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣,則系統(tǒng)能控的充要條件為：對(duì)應(yīng)A的每個(gè)約當(dāng)塊的B的分塊的最后一行都不全為零;2．若A為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣,則系統(tǒng),有：能控的充要條件為：對(duì)應(yīng)A的每個(gè)特征值的所有約當(dāng)塊的B的分塊的最后一行線性無(wú)關(guān)?！纠?－5】

下列系統(tǒng)是狀態(tài)能控的：

下列系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的：

四、PBH判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)

系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，對(duì)矩陣的所有特征值

均成立

，或等價(jià)地

也即和是左互質(zhì)的。表4-1能控性判據(jù)對(duì)比表，判據(jù)判定方法特點(diǎn)格拉姆矩陣判據(jù)的各行函數(shù)線性獨(dú)立需要求矩陣指數(shù)函數(shù)并判定函數(shù)相關(guān)，計(jì)算復(fù)雜秩判據(jù)滿秩1.計(jì)算簡(jiǎn)便可行。2.缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能控約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對(duì)應(yīng)的B矩陣分塊的最后一行線性無(wú)關(guān)1.易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能控。2.缺點(diǎn)為需變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形PBH判據(jù)1.易于分析哪些特征值(極點(diǎn))能控。2.缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值4.2.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性一、輸出能控性定義設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)式中，x為n維狀態(tài)向量，u為r維輸入向量，y為m維輸出向量。若存在一個(gè)無(wú)約束的容許控制，在有限的時(shí)間間隔內(nèi)，能轉(zhuǎn)移到任一指定的期望的最終輸出，則稱系統(tǒng)是輸出完全能控的，簡(jiǎn)稱輸出能控。將任一初始輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)二、輸出能控性判據(jù)

其輸出完全能控的充分必要條件是輸出能控性判別矩陣的秩等于輸出向量的維數(shù)m，即

【例4－8】

試判斷如下系統(tǒng)的輸出能控性解：由輸出能控性的代數(shù)判據(jù)有故系統(tǒng)輸出完全能控。

例判斷系統(tǒng)是否具有狀態(tài)能控性和輸出能控性。

秩為1，等于輸出變量的個(gè)數(shù)，因此系統(tǒng)是輸出能控的。秩為1，所以系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的。線性時(shí)變系統(tǒng)在定義時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，狀態(tài)完全能控的充要條件是Gram矩陣非奇異。式中

為時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

4.2.5線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性一、格拉姆矩陣判據(jù)

二、能控性判據(jù)若對(duì)初始時(shí)刻，在時(shí)間

()，使得線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A(t)和輸入矩陣B(t)中的各元素在內(nèi)對(duì)時(shí)間t分別是(n-2)和(n-1)階連續(xù)可導(dǎo)，

再定義如下線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性矩陣若能控性矩陣滿足則稱時(shí)變系統(tǒng)在初始時(shí)刻上狀態(tài)完全能控。時(shí)間區(qū)間定義例4.4.1

秩為3，所以系統(tǒng)是完全能控4.3線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性

本節(jié)主要討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性問(wèn)題。關(guān)鍵問(wèn)題：基本概念：狀態(tài)能觀測(cè)性；基本方法:狀態(tài)能觀測(cè)性的判別方法；狀態(tài)能觀測(cè)性的物理意義和在狀態(tài)空間中的幾何意義。4.3.1能觀測(cè)性的直觀討論

狀態(tài)能觀測(cè)性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測(cè)量的輸出和輸入來(lái)確定或識(shí)別系統(tǒng)狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)的任何內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化都可由系統(tǒng)的外部輸出和輸入唯一地確定，那么稱系統(tǒng)是能觀測(cè)的，或者更確切地說(shuō)，是狀態(tài)能觀測(cè)的。否則，就稱系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能觀測(cè)的。4.3.2狀態(tài)能觀測(cè)性的定義考慮零輸入時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式

（4-15）如果每一個(gè)狀態(tài)x(to)都可通過(guò)在有限時(shí)間間隔to≤t≤t1內(nèi)，由y(t)觀測(cè)值確定，則稱系統(tǒng)為(完全)能觀測(cè)的。不失一般性，設(shè)to=0。

式中，考慮式（4-15）所描述的零輸入系統(tǒng)

1．狀態(tài)能觀測(cè)對(duì)于式（4-15）所示線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻，對(duì)于所有的系統(tǒng)的輸出能惟一確定一個(gè)非零的初始狀態(tài)向量則稱此非零狀態(tài)在時(shí)刻是能觀測(cè)的。2．系統(tǒng)能觀測(cè)對(duì)于式（4-15）所示線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，如果指定初始時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻，，對(duì)于所有，系統(tǒng)的輸出能惟一確定時(shí)刻的任意非零的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻狀態(tài)是完全能觀測(cè)，簡(jiǎn)稱均是能觀測(cè)的（即系統(tǒng)的選取無(wú)關(guān)），則稱系統(tǒng)是初始狀態(tài)向量系統(tǒng)能觀測(cè)。如果系統(tǒng)對(duì)于任意的能觀測(cè)性與初始時(shí)刻一致完全能觀測(cè)。

3．系統(tǒng)不能觀測(cè)

對(duì)于式（4-15）所示線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻，對(duì)于所有系統(tǒng)的輸出不能惟一確定時(shí)刻的任意非零的初始狀態(tài)向量（即至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不能被確定），則稱系統(tǒng)在時(shí)刻是狀態(tài)不完全能觀測(cè)，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)不能觀測(cè)。定義的幾點(diǎn)解釋：（1）對(duì)于線性定常系統(tǒng)，由于系統(tǒng)矩陣A(t)和輸出矩陣C(t)都為常數(shù)矩陣，與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此不必在定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時(shí)刻狀態(tài)完全能觀”，而為“某一時(shí)刻狀態(tài)完全能觀，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀”。（2）上述定義中的輸出觀測(cè)時(shí)間，并要求。這是因?yàn)椋敵鲎兞康木S數(shù)m一般總是小于狀態(tài)變量x(t)的維數(shù)n。否則，若m=n且輸出矩陣C(t)可逆，則即狀態(tài)變量x(t)可直接由輸出y(t)確定。由于m<n，為了能唯一地求出狀態(tài)變量的值，不得不依靠在一定區(qū)間內(nèi)測(cè)量得的連續(xù)(或有限幾組)輸出值以確定系統(tǒng)狀態(tài)。（3）在定義中把能觀性定義為對(duì)初始狀態(tài)的確定，這是因?yàn)?，一旦確定初始狀態(tài)，便可根據(jù)狀態(tài)方程的解表達(dá)式，由初始狀態(tài)和輸入，計(jì)算出系統(tǒng)各時(shí)刻的狀態(tài)值。4.3.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性判據(jù)一、格拉姆矩陣判據(jù)設(shè)定常連續(xù)系統(tǒng)在輸入時(shí)的齊次狀態(tài)方程

（4-16）

（4-17），常數(shù)陣。為非奇異。和輸出方程分別為式中，x為n維狀態(tài)向量，y為m維輸出向量，A，C分別為則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻t1使如下格拉姆矩陣代數(shù)判據(jù)：由式（4-16）和（4-17）所描述的線性定常系統(tǒng)，

（4-21）時(shí)，該系統(tǒng)才是能觀測(cè)的。二、能觀測(cè)性判據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)n×nm維能觀測(cè)性矩陣的秩為n，即【例4－19】

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性解：由狀態(tài)能觀測(cè)性的秩判據(jù)有而系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)n=2，所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測(cè)。例4－17電路如圖4－8所示，u為輸入，電阻R0上的電壓y為輸出，i1、i2為狀態(tài)變量，分析系統(tǒng)的能觀測(cè)性。解：令，可導(dǎo)出電路的狀態(tài)空間表達(dá)式為能觀測(cè)性判別矩陣

可見(jiàn)，故系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。三、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)－對(duì)為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)有：若A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件為：對(duì)應(yīng)A的每個(gè)約當(dāng)塊的C的分塊的第一列都不全為零;2.若A為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣,則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件為：對(duì)應(yīng)A的每個(gè)特征值的所有約當(dāng)塊的C的分塊的第一列線性無(wú)關(guān)。兩點(diǎn)說(shuō)明：

狀態(tài)能觀測(cè)性判據(jù)討論的是約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。若系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則可根據(jù)線性變換不改變狀態(tài)能觀測(cè)性的性質(zhì)，先將狀態(tài)空間模型變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，然后再利用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)來(lái)判別狀態(tài)能觀測(cè)性；

約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)不僅可判別出狀態(tài)能觀測(cè)性，而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點(diǎn))和哪一狀態(tài)不能觀。這對(duì)于進(jìn)行系統(tǒng)分析、狀態(tài)觀測(cè)器和反饋校正是非常有幫助的。試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。解：由約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)可知，A為特征值互異的對(duì)角線矩陣，但C中的第2列全為零，故該系統(tǒng)的狀態(tài)x2不能觀測(cè)，則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測(cè)。試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。解：由于A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約當(dāng)塊，且對(duì)應(yīng)于各約當(dāng)塊的C的分塊的第一列都不全為零，故系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。四、PBH判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充要條件是，的所有特征值均成立

，（4-22）或等價(jià)地表為，（4-23）也即和是右互質(zhì)的。表4-2能觀測(cè)性判據(jù)對(duì)比表矩陣函數(shù)能控性矩陣對(duì)于所有特征值判據(jù)判定方法特點(diǎn)格拉姆矩陣判據(jù)

的各行函數(shù)線性獨(dú)立需要求矩陣指數(shù)函數(shù)并判定函數(shù)相關(guān)，計(jì)算復(fù)雜秩判據(jù)

滿秩1.計(jì)算簡(jiǎn)便可行。2.缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能觀測(cè)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對(duì)應(yīng)的C矩陣分塊的第一列線性無(wú)關(guān)1.易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能觀測(cè)。2.缺點(diǎn)為需變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形PBH判據(jù)1.易于分析哪些特征值(極點(diǎn))能觀測(cè)。2.缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值4.3.4線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性1、格拉姆矩陣判據(jù)

設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)在輸入時(shí)的齊次狀態(tài)方程和輸出方程分別為，，（4-24）（4-25）系統(tǒng)在時(shí)刻完全能觀的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻，使如下定義的格拉姆矩陣

（4-26）為非奇異。，，2、能觀測(cè)性判據(jù)

設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)在輸入時(shí)的齊次狀態(tài)方程和輸出方程分別為式和若A(t)、C(t)陣均是(n-1)階連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)在時(shí)刻狀態(tài)完全能觀的充分條件為存在一個(gè)有限時(shí)刻使

（4-27）式中4.4線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性

本節(jié)主要講述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性、能觀測(cè)性的定義和判據(jù)。由于線性連續(xù)系統(tǒng)只是線性離散系統(tǒng)當(dāng)采樣周期趨于無(wú)窮小時(shí)的無(wú)限近似，所以離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性、能觀測(cè)性的定義與線性連續(xù)系統(tǒng)的極其相似，能控性，能觀測(cè)性判據(jù)則在形式上基本一致。

4.4.1線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性

一、線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義1．線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能控性定義

對(duì)線性定常離散系統(tǒng)（4-28）若對(duì)某個(gè)初始狀態(tài)x(0)，存在控制作用序列{u(0)，u(1)，…，u(n-1)}，使系統(tǒng)在第n步上達(dá)到到原點(diǎn)，即x(n)=0，則稱狀態(tài)x(0)能控；若狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控；若存在某個(gè)狀態(tài)x(0)不滿足上述條件，稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能控。2．線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能達(dá)性定義

對(duì)線性定常離散系統(tǒng)，若對(duì)某個(gè)最終狀態(tài)x1，存在控制作用序列{u(0)，u(1)，…，u(n-1)}，使得系統(tǒng)狀態(tài)從零狀態(tài)在第n步上到達(dá)最終狀態(tài)x1，即x(n)=x1，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)x1是能達(dá)的。若系統(tǒng)對(duì)狀態(tài)空間中所有狀態(tài)都能達(dá)，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)，簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)能達(dá)。若系統(tǒng)存在某個(gè)狀態(tài)x1不滿足上述條件，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能達(dá)的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能達(dá)。二、線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)1．線性定常離散系統(tǒng)能控性秩判據(jù)對(duì)線性定常離散系統(tǒng)，有如下?tīng)顟B(tài)能控性結(jié)論：（1）若系統(tǒng)矩陣G為非奇異矩陣，則狀態(tài)完全能控的充要條件為如下定義的能控性矩陣：（4-29）滿秩，即（4-30）（2）若系統(tǒng)矩陣G為非奇異矩陣，則為系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件為（4-31）三、線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)由系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣組成的能控性矩陣的秩等于狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)，對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，這是狀態(tài)完全能控的充分必要條件，而對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性則僅是一個(gè)充分條件。1．線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性秩判據(jù)

對(duì)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)的充分必要條件為能控性矩陣（4-32）滿秩，即（4-33）2．線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)對(duì)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的線性定常離散系統(tǒng)，有：（1）若系統(tǒng)矩陣G為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣，則系統(tǒng)能達(dá)的充分必要條件為：對(duì)應(yīng)G的每個(gè)約當(dāng)塊的H的分塊的最后一行都不全為零。（2）若G為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣，則系統(tǒng)能達(dá)的充分必要條件為：對(duì)應(yīng)于G的每個(gè)特征值的所有約當(dāng)塊的H的分塊的最后一行線性無(wú)關(guān)。

3．線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性PHB秩判據(jù)

線性離散連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件為：對(duì)于所有的復(fù)數(shù)λ，下式成立

（4-34）

4.4.2線性定常離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性

一、線性定常離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性定義若線性定常離散系統(tǒng)（4-35）對(duì)初始狀態(tài)x(0)，根據(jù)在n個(gè)采樣周期內(nèi)采樣到的輸出向量y(k)的序列{y(0)，y(1)，…，y(n-1)}能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)，則稱狀態(tài)x(0)能觀；若對(duì)狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)能觀。若存在某個(gè)狀態(tài)x(0)不滿足上述條件，稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能觀。二、線性定常離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)1．線性定常離散系統(tǒng)能觀測(cè)性的秩判據(jù)設(shè)線性定常離散系統(tǒng)在輸入u=0時(shí)的齊次狀態(tài)方程和輸出方程分別（4-36）（4-37）式中，x為n維狀態(tài)向量，y為m維輸出，G為系統(tǒng)矩陣，C為輸出矩陣。則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件是能觀測(cè)性判別矩陣滿秩,即

2．約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形(對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形為其特例)的線性定常連續(xù)系統(tǒng),

有：1)若G為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件為對(duì)應(yīng)G的每個(gè)約當(dāng)塊的C的分塊的第一列都不全為零；2)若G為某特征值有多于一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件為對(duì)應(yīng)G的每個(gè)特征值的所有約當(dāng)塊的C的分塊的第一列線性無(wú)關(guān)。3．PBH判據(jù)

線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要必條件為：對(duì)于所有的復(fù)數(shù)，下式成立：（4-40）【例4－25】試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性解：由狀態(tài)能觀性的判據(jù)有故系統(tǒng)能觀測(cè)。4.4.3離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性

所要討論的離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性、能觀測(cè)性問(wèn)題，是指：

1．線性定常連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)離散化后是否仍能保持其狀態(tài)能控性、能觀測(cè)性？

2．離散化系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性與原連續(xù)系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性之間的關(guān)系？

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為（4-41）系統(tǒng)的特征值為，，，。其中可為單特征值或重特征值。經(jīng)精確離散化的狀態(tài)空間模型為（4-42）其中，則連續(xù)系統(tǒng)和其離散化系統(tǒng)兩者之間的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性關(guān)系為：1.如果連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控(不完全能觀測(cè))，則其離散化系統(tǒng)必是狀態(tài)不完全能控(不完全能觀測(cè))的；2.如果連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控(能觀測(cè))且其特征值全部為實(shí)數(shù)，則其離散化系統(tǒng)必是狀態(tài)完全能控(能觀測(cè))的；3.如果連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控(能觀測(cè))且存在共軛復(fù)數(shù)特征值，則其離散化系統(tǒng)狀態(tài)完全能控(能觀測(cè))的充分條件為：對(duì)于所有滿足的A的特征值和應(yīng)滿足（4-43）其中符號(hào)Re和Im分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分。4.5能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形

標(biāo)準(zhǔn)型是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式在一組特定的狀態(tài)空間基底下導(dǎo)出的規(guī)范型式，在有的文獻(xiàn)中也稱規(guī)范型。標(biāo)準(zhǔn)型可將系統(tǒng)的某些特性表現(xiàn)得更為充分與明顯，從而可簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析與綜合問(wèn)題。在采用狀態(tài)空間法分析與綜合系統(tǒng)時(shí)，根據(jù)研究問(wèn)題的需要，常常采用線性非奇異變換將狀態(tài)空間表達(dá)式化為某種特定的標(biāo)準(zhǔn)型式。

系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換，系統(tǒng)的特征值、傳遞函數(shù)矩陣、能控性、能觀測(cè)性等重要性質(zhì)均保持不變，因此，只有狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)才能化為能控標(biāo)準(zhǔn)型；只有狀態(tài)完全能觀測(cè)的系統(tǒng)才能化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。4.5.1能控標(biāo)準(zhǔn)形

若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為（4-44）且系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為

（4-45）則稱該狀態(tài)空間模型為能控標(biāo)準(zhǔn)I形。

若系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為（4-46）則稱該狀態(tài)空間模型為能控標(biāo)準(zhǔn)II形。上述能控標(biāo)準(zhǔn)I形和II型的系統(tǒng)矩陣A分別為前面討論過(guò)的友矩陣的轉(zhuǎn)置和友矩陣。

能控標(biāo)準(zhǔn)形一定是狀態(tài)完全能控和一定存在線性變換將狀態(tài)能控的狀態(tài)空間模型變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。一、能控標(biāo)準(zhǔn)I形

對(duì)狀態(tài)完全能控的線性定常連續(xù)系統(tǒng)引入變換矩陣如下

（4-49）是非奇異的。那么必存在一線性變換，能將上述狀態(tài)方程變換成能控標(biāo)準(zhǔn)I形：（4-50）其中系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣如能控標(biāo)準(zhǔn)I形所定義的。證明若取變換矩陣，則由有因此，由系統(tǒng)線性變換和凱萊-哈密頓定理有

即證明了變換矩陣可將能控狀態(tài)空間模型變換成能控標(biāo)準(zhǔn)I形。二、能控標(biāo)準(zhǔn)II形對(duì)狀態(tài)完全能控的線性定常連續(xù)系統(tǒng)引入變換矩陣如下（4-51）式中，（4-52）那么必存在一線性變換，能將上述狀態(tài)方程變換成如下能控標(biāo)準(zhǔn)II形：（4-53）其中系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣如能控標(biāo)準(zhǔn)II形所定義的。4.5.2能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)于能控標(biāo)準(zhǔn)形，若SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C分別為（4-54）則稱該狀態(tài)空間模型為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)I形；對(duì)應(yīng)于能控標(biāo)準(zhǔn)形，若SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C分別為

（4-55）則稱該狀態(tài)空間模型為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II形。

能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形與能控標(biāo)準(zhǔn)形是互為對(duì)偶的，即能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)I形與能控標(biāo)準(zhǔn)I形互為對(duì)偶，而能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II形與能控標(biāo)準(zhǔn)II形互為對(duì)偶。由對(duì)偶性原理可知，能控標(biāo)準(zhǔn)形是狀態(tài)完全能控的，則其對(duì)偶系統(tǒng)能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。

由于線性變換不改變能觀測(cè)性，而能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形一定狀態(tài)完全能觀測(cè)，因此，只有狀態(tài)完全能觀測(cè)的系統(tǒng)才能變換成能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)范形。定理一、能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)I形對(duì)狀態(tài)完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng)引入變換矩陣滿足（4-56）那么線性變換，必能將狀態(tài)空間模型變換成能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)I形：（4-57）其中系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣如能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)I形所定義的。二、能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II形

對(duì)狀態(tài)完全能觀測(cè)的線性定常連續(xù)系統(tǒng)引入變換矩陣如下（4-58）式中，（4-59）那么必存在一線性變換，能將狀態(tài)空間模型變換成如下能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II形：（4-60）其中系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣如能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II形所定義的。4.6系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的對(duì)偶原理

本節(jié)主要討論狀態(tài)空間模型中存在的特殊結(jié)構(gòu)性問(wèn)題－－對(duì)偶性問(wèn)題，以及對(duì)偶性原理在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。表4－3系統(tǒng)狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性形式和結(jié)構(gòu)上相似性對(duì)比控制能控性能觀測(cè)性意義輸入狀態(tài)狀態(tài)輸出秩判據(jù)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)同一特征值的約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)B的分塊的最后一行是否相關(guān)同一特征值的約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)C的分塊的最后一行是否相關(guān)PBH判據(jù)對(duì)偶系統(tǒng)的定義

若給定的兩個(gè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)

（4-61）滿足下列關(guān)系：（4-62）則稱系統(tǒng)和互為對(duì)偶。

對(duì)偶系統(tǒng)和的結(jié)構(gòu)圖根據(jù)狀態(tài)空間模型的對(duì)偶關(guān)系可以導(dǎo)出下述結(jié)論：1互為對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的且其特征方程相同。2互為對(duì)偶系統(tǒng)的特征方程和特征值相同?；閷?duì)偶系統(tǒng)之間的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性的關(guān)系定理：設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)和是互為對(duì)偶，則系統(tǒng)狀態(tài)能控(能觀測(cè))性等價(jià)于系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)(能控)性。4.7線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解

4.7.1能控性分解

對(duì)狀態(tài)不完全能控的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，存在如下能控性結(jié)構(gòu)分解定理。若線性定常連續(xù)系統(tǒng)：（4-64）狀態(tài)不完全能控，其能控性矩陣的秩為（4-65）則存在非奇異線性變換，使得狀態(tài)空間模型可變換成（4-66）其中維子系統(tǒng)（4-67）是狀態(tài)完全能控的。而維子系統(tǒng)（4-68）是狀態(tài)完全不能控的。能控性結(jié)構(gòu)分解圖若線性定常連續(xù)系統(tǒng)（4-69）狀態(tài)不完全能觀測(cè)，其能觀測(cè)性矩陣的秩為

（4-70）則存在非奇異線性變換，使得狀態(tài)空間模型可變換為

（4-71）其中維子系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。而維子系統(tǒng)是狀態(tài)完全不能觀測(cè)的。4.7.2能觀測(cè)性分解

對(duì)狀態(tài)不完全能觀測(cè)的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，有如下能觀測(cè)性結(jié)構(gòu)分解定理。能觀測(cè)性結(jié)構(gòu)分解圖由于線性變換不改變系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣，所以結(jié)論：狀態(tài)不完全能觀測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于其能觀測(cè)性分解后能觀測(cè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。由于狀態(tài)不完全能觀測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于其能觀測(cè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，則其極點(diǎn)必少于n個(gè)，即系統(tǒng)存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。4.7.3能控能觀測(cè)分解

對(duì)狀態(tài)不完全能控又不完全能觀測(cè)的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，類似于能控性分解和能觀測(cè)性分解過(guò)程構(gòu)造變換矩陣的方法，可構(gòu)造系統(tǒng)的能控又能觀測(cè)子空間、能控但不能觀測(cè)子空間、不能控但能觀測(cè)子空間以及不能控又不能觀測(cè)子空間等4個(gè)子空間的基底，組成變換矩陣對(duì)系統(tǒng)作線性變換，將系統(tǒng)分解為4個(gè)子系統(tǒng)：能控又能觀測(cè)子系統(tǒng)、能控但不能觀測(cè)子系統(tǒng)、不能控但能觀測(cè)子系統(tǒng)以及不能控又不能觀測(cè)子系統(tǒng)。能控能觀測(cè)分解過(guò)程4.不能控但能觀測(cè)子系統(tǒng)3.不能控又不能觀測(cè)子系統(tǒng)即系統(tǒng)可分解成如下四個(gè)子系統(tǒng)：1.能控但不能觀測(cè)子系統(tǒng)定理若線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控又不完全能觀，則一定存在一個(gè)線性變換，使得變換后的狀態(tài)空間模型為：

2.能控又能觀測(cè)子系統(tǒng)（4-76）（4-77）直接確定能控能觀測(cè)分解的變換陣比較困難，一般情況下，可采取逐次能控、能觀測(cè)分解過(guò)程中的變換陣確定。能控能觀測(cè)分解的變換陣為式中，為先進(jìn)行的能控分解的變換陣；和分別為對(duì)能控分解所得的能控與不能控子系統(tǒng)進(jìn)行的能觀分解的變換陣。能控能觀分解的變換陣可為式中，為先進(jìn)行的能觀分解的變換陣；和分別為對(duì)能觀分解所得的能觀子系統(tǒng)和不能觀子系統(tǒng)進(jìn)行的能控分解的變換陣。對(duì)于n維單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)（4-84）其狀態(tài)完全能控且能觀測(cè)的充分必要條件是系統(tǒng)輸入－輸出傳遞函數(shù)（4-85）沒(méi)有零、極點(diǎn)對(duì)消，即式（4-85）傳遞函數(shù)的分子和分母無(wú)公因式相消。4.8能控性和能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)（陣）的關(guān)系

由上節(jié)所述系統(tǒng)的三種結(jié)構(gòu)分解可知，對(duì)狀態(tài)不完全能控或不完全能觀的系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣等于分解后能控能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，其極點(diǎn)數(shù)少于原系統(tǒng)狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)n，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣中存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。4.8.1單輸入單輸出系統(tǒng)

利用以上結(jié)論，對(duì)于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，可以根據(jù)其傳遞函數(shù)是否出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消，判別相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)是否能控且能觀測(cè)。但是，若單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象(即傳遞函數(shù)分子和分母有相消的公因式)，則根據(jù)狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)或者是不能控的，或者是不能觀測(cè)的，或者是既不能控又不能觀測(cè)的。設(shè)多輸入多輸出系統(tǒng)

（4-87）它的傳遞函數(shù)矩陣為（4-88）如果在傳遞矩陣G(s)中，與之間沒(méi)有非常數(shù)公因，則該系統(tǒng)是能控且能觀測(cè)的。4.8.2多輸入多輸出系統(tǒng)這里特別需要指出的是，對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，狀態(tài)空間模型是狀態(tài)完全能控又能觀測(cè)的，只是相應(yīng)的傳遞函數(shù)中無(wú)零極點(diǎn)相消現(xiàn)象的一個(gè)必要條件，而不是充分條件。也就是說(shuō)，若系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控或不完全能觀測(cè)，則相應(yīng)的傳遞函數(shù)中一定存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。4.9系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題4.9.1定義和基本特性

對(duì)給定的真有理實(shí)矩陣函數(shù)G(s)，如果能找到相應(yīng)的線性定常連續(xù)系統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間模型：

（4－