新教材人教A2.2基本不等式課件（33張）

基本不等式激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥某金店有一座天平,由于左右兩臂長(zhǎng)略有不等,所以直接稱重不準(zhǔn)確.有一個(gè)顧客要買一串金項(xiàng)鏈,店主分別把項(xiàng)鏈放于左右兩盤各稱一次,得到兩個(gè)不同的重量a和b,然后就把兩次稱得的重量的算術(shù)平均數(shù)

作為項(xiàng)鏈的重量來計(jì)算.顧客對(duì)這個(gè)重量的真實(shí)性提出了質(zhì)疑,那么這樣計(jì)算的重量相對(duì)于原來的真實(shí)質(zhì)量到底是大了還是小了呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、基本不等式我們稱不等式

為基本不等式,其中a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.名師點(diǎn)析1.基本不等式與不等式a2+b2≥2ab的異同

a2+b2≥2ab適用范圍a,b∈Ra>0,b>0文字?jǐn)⑹鰞蓴?shù)的平方和不小于它們積的2倍兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值“=”成立的條件a=ba=b激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.基本不等式的變形第一個(gè)變形體現(xiàn)了兩正數(shù)的積與兩正數(shù)和的平方之間的關(guān)系.當(dāng)不等式的一端為定值時(shí),另一端就可以取最值.基本不等式有多種變形,應(yīng)用時(shí)具有很大的靈活性,既可直接應(yīng)用又可變式應(yīng)用.一般地,遇到和與積,平方和與積,平方和與和的平方等不等式問題時(shí),常利用基本不等式處理.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考(1)在上節(jié)課中,我們學(xué)習(xí)了一個(gè)重要不等式:若a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立).如果a>0,b>0,我們用提示:基本不等式可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)若x>0,則y=+x的最小值為

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(2)已知0<x<1,則函數(shù)y=x(1-x)的最大值為

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激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)二、利用基本不等式求最值基本不等式與最值已知x,y都是正數(shù).(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取得____________.(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得____________.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析利用基本不等式求最值的注意事項(xiàng)在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件:一正、二定、三相等,這三個(gè)條件缺一不可.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二定:積或和為定值.積為定值和有最小值;和為定值積有最大值.為了利用基本不等式,有時(shí)對(duì)給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形.例如:激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥另外,在連續(xù)使用公式求最值時(shí),取等號(hào)的條件很嚴(yán)格,要求同時(shí)滿足任何一次等號(hào)成立的字母取值存在且一致.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考填寫下面的表格:x+y101010101010101010x(x>0)123456789y(y>0)987654321xy

xy111111111x(x>0)

12345y(y>0)

x+y

根據(jù)以上表格,并結(jié)合基本不等式分析:(1)當(dāng)x+y是定值時(shí),xy有最大值還是最小值?最值等于什么?(2)當(dāng)xy是定值時(shí),x+y有最大值還是最小值?最值等于什么?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)已知x>0,y>0.(1)若xy=4,則x+y的最小值是

;

(2)若x+y=4,則xy的最大值是

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答案:(1)4

(2)4探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)對(duì)基本不等式的理解例1(多選題)設(shè)a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(

)A.a2+1>aD.a2+9>6a探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:ABC探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

應(yīng)用基本不等式時(shí)要注意以下三點(diǎn)(1)各項(xiàng)或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.即“一正、二定、三相等”.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1下列結(jié)論不成立的是(

)A.若a,b∈R,則a10+b10≥2a5b5D.若a∈R,則有a2+9≥6a答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用基本不等式證明不等式例2(1)已知a,b,c為不全相等的正實(shí)數(shù),求證:(2)已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,分析:(1)不等式的左邊是和式,右邊是帶根號(hào)的積式之和,用基本不等式,將和變積,并證得不等式.(2)不等式右邊的數(shù)字為8,使我們聯(lián)想到對(duì)左邊因式分別使用基本不等式,可得三個(gè)“2”連乘;探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

利用基本不等式證明不等式的注意事項(xiàng)(1)利用基本不等式證明不等式,關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式,通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式,從而達(dá)到放縮的目的.(2)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到.(3)解題時(shí)要注意技巧,當(dāng)不能直接利用基本不等式時(shí),可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造,以滿足能使用基本不等式的形式.(4)在證明不等式的過程中,注意充分利用“1的代換”,即把常數(shù)“1”替換為已知的式子,然后經(jīng)過整理后再利用基本不等式進(jìn)行證明.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2(1)已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.(2)已知a>0,b>0,且a+b=2,求證:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用基本不等式求最值(2)已知a>0,b>0,且ab=1,則a+4b的最小值為

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答案:(1)A

(2)4探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究例題第(2)問,改為“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)基本不等式的變形技巧技巧一:裂項(xiàng)分析:先盡可能地讓分子的變量項(xiàng)和分母相同(常用于分子所含變量因子的次數(shù)比分母所含變量因子的次數(shù)大或相等),然后裂項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求和的最值,進(jìn)而湊定積(即使得含變量的因子x+1的次數(shù)和為零,同時(shí)取到等號(hào)).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)分析:當(dāng)求和的最小值時(shí),盡可能湊定積,本題需添6,再減6.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)技巧三:放入根號(hào)內(nèi)或兩邊平方

分析:求積的最值(因式中含根號(hào)),把變量都放在同一條件下的根號(hào)里或者將兩邊平方去根號(hào),整合結(jié)構(gòu)形式,湊成定和,是解決本題的關(guān)鍵所在.探究一探究二探