第四節(jié)函數(shù)的微分課件

第四節(jié)函數(shù)的微分

2.4.1引例假設(shè)某正方形金屬薄片受熱后邊長由變到如圖2-4所示，問金屬片面積的改變量是多少？解金屬薄片的原面積為當金屬薄片受熱后邊長從變到時，面積增量為二、微分的定義定義2

設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點的微分，記為，即規(guī)定：自變量的微分是自變量的增量。即從而函數(shù)在點處的微分為所以即函數(shù)的微分與自變量的微分之商就是導(dǎo)數(shù)。根據(jù)微分定義可知，引例中即例1求函數(shù)在時的改變量及微分。解將代入，得因為，所以故顯然三、微分的幾何意義設(shè)函數(shù)的圖形如圖2-5所示，MP是曲線上點處的切線，設(shè)MP的傾斜角為當自變量有改變量時，得到曲線上另一點由得即由此可知，微分是當自變量有

改變量時，曲線在點處的縱坐標的改變量。用近似代替，就是用點處的切線的縱坐標的改變量來近似代替曲線的縱坐標的改變量。并且有：當時，微分的幾何意義：四、微分的運算因為函數(shù)的微分為，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則就能得到相應(yīng)的微分公式和微分運算法則。1、微分基本公式2、函數(shù)的和、差、積、商的微分運算法則

記則3、復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)函數(shù)根據(jù)微分的定義，有(1)當為自變量時：(2)當不是自變量，而是的可導(dǎo)函數(shù)時：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為于是，復(fù)合函數(shù)的微分為由此可知，不論是自變量還是中間變量，函數(shù)

的微分總是保持同一形式這一性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性。利用一階微分的開式形不變性求復(fù)合函數(shù)的微分有時比較方便。例2設(shè)求解法一用公式得解法二由一階微分的開式形不變性，得例3

設(shè)求解法一用公式得解法二由一階微分的形式不變性，得例4

求方程確定的隱函數(shù)的微分及導(dǎo)數(shù)解對方程兩邊求微分，得應(yīng)用微分的運算法則，得故有即于是所求微分為所求導(dǎo)數(shù)為五、微分在近似計算中的應(yīng)用1、近似計算在實際問題中，經(jīng)常利用微分作近似計算。當函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，且很小時，我們有近似公式或若，令當很小時，當很小時，由上式可推得五、微分在近似計算中的應(yīng)用1、近似計算在實際問題中，經(jīng)常利用微分作近似計算。當函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，且很小時，我們有近似公式3)近似公式：五、微分在近似計算中的應(yīng)用1、近似計算在實際問題中，經(jīng)常利用微分作近似計算。當函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，且很小時，我們有近似公式2)求函數(shù)值：證由得由得其它幾個公式也可用類似的方法證明。例5

計算的近似值。解設(shè)

由得則例6

某球體的體積從增加到，試求其半徑改變量的近似值。解設(shè)球的半徑為，體積，則由所以例7

計算的近似值。解2、誤差估計設(shè)量可以直接度量，而依賴于的量由函數(shù)確定，若的度量誤差為，則有相應(yīng)的誤差為----稱為量的絕對誤差----稱為相對誤差在計算誤差時常用代替，用代替，這樣求出的誤差稱為誤差的估計值。例8

測得一圓柱的直徑為43cm,并已知在測量中絕對誤差不超過0.02cm,試求用此數(shù)據(jù)計算圓柱的橫載面積時所引起的絕對誤差與相對誤差。解圓柱橫截面的面積為由D的測量誤差所引起的面積的計算誤差，可用微分來近似代替，即所以絕對誤差為相對誤差為第五節(jié)導(dǎo)數(shù)的一些實例在實際問題中，常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率，因為對函數(shù)表示自變量每改變一個單位時，函數(shù)的平均變化率。當時，若可導(dǎo)，則----稱為函數(shù)的變化率。例1

設(shè)在這段時間內(nèi)通過導(dǎo)線橫載面的電荷為，求時刻的電流。解在時間內(nèi)平均電流當很小時，平均電流可以作為時刻電流的近似值。令平均電流強度的極限（如果極限存在）就稱為時刻的電流。即例2在經(jīng)濟學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個單位時所增加的總成本，設(shè)產(chǎn)量為時，成本為求產(chǎn)量為時的邊際成本。解設(shè)產(chǎn)量由變?yōu)?，則總成本函數(shù)的改變量為這時總成本函數(shù)的平均變化率為成本。上式表示產(chǎn)量由變到時，在平均意義下的邊際當總成本函數(shù)可導(dǎo)時，其變化率關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。表示該產(chǎn)品為時的邊際成本，即邊際成本是總成本函數(shù)例3

從一個銅礦中開采Tt銅礦的花費為元，意味著有2000t銅礦從礦中被開采出來時，再開采1t銅礦需花費100元。類似地，在經(jīng)濟學(xué)中，邊際收入定義為多銷售一個單位產(chǎn)品時收入。所增加的銷售收入，即，這里為銷售量為時的例4

現(xiàn)將一氣體注入某一球狀氣球，假定氣體的壓力不變，問當半徑為1cm時，氣球的體積關(guān)于半徑的變化率是多少？解氣體的體積V與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為氣體的體積關(guān)于半徑的變化率即氣體的體積關(guān)于半徑的導(dǎo)數(shù)所以當時，氣體的體積關(guān)于半徑的變化率為例5

電路中某點處的電流i是通過該點處的電量Q關(guān)于時間t的瞬時變化率，如果一電路中的電量為，求：（1）電流函數(shù)；（2）時的電流是多少？（3）什么時候電流為30？解（1）（2）（3）解方程得（舍去）即當時，電流為30.例6

已知某物體作直線運動，路程s(單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系為求時物體的速度和加速度。解物體運動的速度和加速度分別為所以例7

放射性元素碳－14的衰減由下式給出：其中是年后碳－14存余的數(shù)量（單位：），問碳－14的衰減速度（單位：g/a，即克/年）是多少？解碳－14的衰減速度為（g/a）例8

假設(shè)某鋼棒的長度L（單位：cm)取決于氣溫H（單位：），而氣溫H又取決于時間t(單位：h).如果氣溫每升高1，鋼棒長度增加2cm，而每隔1h,氣溫上升3，問鋼棒長度關(guān)于時間的增加有多快？解已知長度對氣溫的變化率為

氣溫對時間的變化率為將L看作H的函數(shù)，H看作t的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則，得因此，長度關(guān)于時間的增長率為6（cm/h).例9

設(shè)有一電阻負載，現(xiàn)負載功率從900W變到901W求負載兩端電壓約改變了多少？解由電學(xué)知即則因為自變量P由900W變到901W，變化量相對很小，所以即負載兩端電壓U約改變了0.1V。例10某一負反饋放大電路，記其開環(huán)電路的放大倍數(shù)為A，閉環(huán)電路的放大倍數(shù)為，則它們二者有函數(shù)關(guān)系當時，由于受環(huán)境溫度變化的影響，A變化了10％求的變化量是多少？的相對變化量又是多少？解由于時，，用近似計算，得其中的變化量約為的相對變化量約為例11某公司生產(chǎn)一種新型的游戲程序，假如能全部出售，收入函數(shù)為，其中為公司一天的產(chǎn)量。如果公司某天的產(chǎn)量從250增加到260，請估計公司當天收入的增加量。解公司產(chǎn)量的增加量用估計收入的增加量為例12

一機械掛鐘的鐘擺的周期為1s,在冬季擺長因熱脹冷縮而縮短了0.01cm,已知單擺的周期為，其中問這只鐘每天約快還是慢了多少？解因為鐘擺的周期為1s,所以由解得擺長為又擺長的改變量，用近似計算得將，代入上式，得這就是說，由于擺長縮短了0.01cm，鐘擺的周期相應(yīng)的縮短了約0.0002s小結(jié)（1）在實際問題中，與變化率有關(guān)的問題都可歸納為導(dǎo)數(shù)問題，求變化率就是求導(dǎo)數(shù)。（2）當自變量變化很小時，可以函數(shù)的微分來近似代替函數(shù)的增量。（3）若，當變化很小時，的相對改變量為拓展與延伸1.導(dǎo)數(shù)的定義(1)導(dǎo)數(shù)定義的兩種等價形式設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則或例1

已知在處連續(xù)，且，求。解因為所以，當時，與是等價無窮小，即因為在處連續(xù)，所以故例2

已知求。解此題若用求導(dǎo)法則先求導(dǎo)函數(shù)，再代入值，會比較繁瑣。（2）

利用導(dǎo)數(shù)定義可能求某些極限例3已知，，求。解例4

已知在點處可導(dǎo)，且，求。解由第二重要極限及導(dǎo)數(shù)定義，得2.分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例5討論函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).

解因為故函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)不存在,因此3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例6

設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點為,求解因為所以切線為令得則截距之各和等于1.例7

證明曲線上任一點的切線截兩坐標軸的證設(shè)曲線上任一點為,則曲線兩邊對求導(dǎo),得即所以曲線在點處的切線為整理即得顯然切線與兩坐標軸交點分別為故切線截兩坐標軸的截距之和為4.求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)例8

已知，求。解將等式兩邊對求導(dǎo)，得將