2022-2023學年福建省福州市私立水口中學高三數學理上學期期末試題含解析

2022-2023學年福建省福州市私立水口中學高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲乙兩名同學分別從“象棋”、“文學”、“攝影”三個社團中隨機選取一個社團加入，則這兩名同學加入同一個社團的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.已知函數只需要將的圖象（

）參考答案：D略3.已知數列為等比數列，是它的前項和。若，且與的等差中項為則（

）A．35Ｂ．33

Ｃ．31

Ｄ．29參考答案：C4.是“實系數一元二次方程有虛根”的（A）必要不充分條件

（B）充分不必要條件（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A解析：△＝－4＜0時，－2＜＜2，因為是“－2＜＜2”的必要不充分條件，故選A。5.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面,下列命題中錯誤的是（

）A.若,,,則

B.若,,,則C.若,,則

D.若,,,則參考答案：D6.已知函數的圖象上相鄰的一個最大值點與對稱中心分別為，，則函數的單調增區(qū)間為（

）A.， B.，C.， D.，參考答案：D【分析】由題意得出的解析式，利用三角函數的性質得出其單調增區(qū)間可得答案.【詳解】解：由題意得：對稱中心為，可得b=0，圖象上相鄰的一個最大值點與對稱中心分別為，，可得，，，可得將代入可得，可得，且，，可得，令，可得，故選D.【點睛】本題主要考查三角函數的單調性及的性質，得出函數的解析式是解題的關鍵.7.設集合，集合，則集合＝（）A．[0,2]

B．(1,3)

C．[1,3)

D．(1,4)參考答案：C8.等差數列{an}中，a3和a9是關于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的兩實根，則該數列前11項和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176參考答案：B【考點】等差數列的前n項和．【專題】等差數列與等比數列．【分析】利用等差數列的性質和韋達定理求解．【解答】解：∵等差數列{an}中，a3和a9是關于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的兩實根，∴a3+a9=16，∴該數列前11項和S11===88．故選：B．【點評】本題考查等差數列的前11項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，解題時要注意等差數列的性質的合理運用．9.若集合，，則=（）A． B． C． D．參考答案：C略10.已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其圖象向右平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數y=f（x）的圖象(

)A．關于點（，0）對稱 B．關于直線x=對稱C．關于點（，0）對稱 D．關于直線x=對稱參考答案：D【考點】正弦函數的圖象．【專題】三角函數的圖像與性質．【分析】由周期求出ω=2，故函數f（x）=sin（2x+φ），再根據圖象向右平移個單位后得到的函數y=sin（2x﹣+φ]是奇函數，可得φ=﹣，從而得到函數的解析式，從而求得它的對稱性．【解答】解：由題意可得=π，解得ω=2，故函數f（x）=sin（2x+φ），其圖象向右平移個單位后得到的圖象對應的函數為y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函數，又|φ|＜，故φ=﹣，故函數f（x）=sin（2x﹣），故當x=時，函數f（x）=sin=1，故函數f（x）=sin（2x﹣）關于直線x=對稱，故選：D．【點評】本題主要考查誘導公式的應用，利用了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的對稱性，屬于中檔題．[來源:Z_xx_k.Com]二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若關于的方程有負數根，則函數在區(qū)間[1，4]上的最大值是

．參考答案：12.已知x，y滿足若z=x+2y有最大值8，則實數k的值為

．參考答案：﹣4

【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義即可得到結論．【解答】解：作出x，y滿足對應的平面區(qū)域如圖：由圖象可知z=x+2y在點A處取得最大值，由，解得A（0，4），A在直線2x﹣y=k上，此時0﹣4=k，解得k=﹣4，故答案為：﹣4．13.在區(qū)間[1，3]上隨機選取一個數(e為自然對數的底數）的值介于e到e2之間的概率為________.參考答案：數的可取值長度為，滿足在e和之間的的取值長度為1，故所求事件的概率為.14.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何？”其意思為：“今有一個長方體（記為ABCD-A1B1C1D1）的糧倉，寬3丈（即丈），長4丈5尺，可裝粟一萬斛，問該糧倉的高是多少？”已知1斛粟的體積為2.7立方尺，一丈為10尺，則下列判斷正確的是

．（填寫所有正確結論的編號）①該糧倉的高是2丈；②異面直線AD與BC1所成角的正弦值為；③長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為平方丈．參考答案：①③由題意，因為，解得尺尺，故①正確；異面直線與所成角為，則，故②錯誤，此長方體的長、寬、高分別為丈、丈、丈，故其外接球的表面積為平分丈，所以③是正確的．

15.在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是邊長為6的等邊三角形，△PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，則該三棱錐外接球的表面積為_______．參考答案：【分析】在等邊三角形中，取的中點，設其中心為，則，再利用勾股定理可得，則為棱錐的外接球球心，利用球的表面積公式可得結果.【詳解】如圖，在等邊三角形中，取的中點，設其中心為，由，得，是以為斜邊的等腰角三角形，,又因為平面平面，平面，，，則為棱錐的外接球球心，外接球半徑，該三棱錐外接球表面積為，故答案為.【點睛】本題考查主要四面體外接球表面積，考查空間想象能力，是中檔題.要求外接球的表面積和體積，關鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.16.等差數列中，,記,則____.參考答案：略17.在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC.若SA＝4，三棱錐S－ABC外接球的表面積為116，則的最大值為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數.（1）若，求不等式的解集；（2）若關于x的不等式恒成立，求實數m的取值范圍.參考答案：（1）；（2）m≥3或m≤﹣1.【分析】（1）利用零點分段法進行求解，即可得答案；（2）由題意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，設g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由題意可得只需g（x）min≥2，運用絕對值不等式的性質和絕對值的性質，以及絕對值不等式的解法，可得所求范圍．.【詳解】（1）若，不等式①當時，不等式①等價于，∴；當時，不等式①等價于，∴；當時，不等式①等價于，∴；綜上所述，不等式的解集為.（2）關于x的不等式|x﹣1|≥1恒成立，即為|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，設g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由題意可得只需g（x）min≥2，而g（x）＝|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0＝|1﹣m|，當且僅當x＝1取得等號，則g（x）的最小值為|1﹣m|，由|1﹣m|≥2，解得m≥3或m≤﹣1．【點睛】本題考查零點分段法解絕對值不等式、絕對值函數的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意討論的完整性.19.已知,設,且,記;（1）設,其中,試求的單調區(qū)間;（2）試判斷弦AB的斜率與的大小關系,并證明;（3）證明：當時,.參考答案：（1）（），若，則，它為上的增函數，若，則增區(qū)間為，減區(qū)間為…………3分（2）令，，，而.故在單調遞增，故…………7分（3）當時，原不等式等價于，由（2）知，即證，轉化為.令，，，故也成立.………12分20.某班同學利用寒假在5個居民小區(qū)內選擇兩個小區(qū)逐戶進行一次“低碳生活習慣”的調查，以計算每戶的碳月排放量．若月排放量符合低碳標準的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”．若小區(qū)內有至少的住戶屬于“低碳族”，則稱這個小區(qū)為“低碳小區(qū)”，否則稱為“非低碳小區(qū)”．已知備選的5個居民小區(qū)中有三個非低碳小區(qū)，兩個低碳小區(qū)．

（Ⅰ）求所選的兩個小區(qū)恰有一個為“非低碳小區(qū)”的概率；

（Ⅱ）假定選擇的“非低碳小區(qū)”為小區(qū)，調查顯示其“低碳族”的比例為，數據如圖1所示，經過同學們的大力宣傳，三個月后，又進行了一次調查，數據如圖2所示，問這時小區(qū)是否達到“低碳小區(qū)”的標準？參考答案：考點：概率綜合試題解析：（Ⅰ）設三個“非低碳小區(qū)”為，兩個“低碳小區(qū)”為

用表示選定的兩個小區(qū)，，

則從5個小區(qū)中任選兩個小區(qū)，所有可能的結果有10個，它們是，，，，，，，，．

用表示：“選出的兩個小區(qū)恰有一個為非低碳小區(qū)”這一事件，則中的結果有6個，它們是：，，，，．

故所求概率．

（II）由圖1可知月碳排放量不超過千克的成為“低碳族”．

由圖2可知，三個月后的低碳族的比例為，

所以三個月后小區(qū)達到了“低碳小區(qū)”標準．21.（本題滿分12分）本題共有2小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分．在△中，角、、所對的邊長分別為、、，且．（1）若，，求的值；（2）若，求的取值范圍．

參考答案：（1）在△中，．

所以．

，所以．

………3分

由余弦定理，

得．

解得或．

…………6分

（2）.

………………9分

由（1）得，所以，，則.∴.

∴.

∴的取值范圍是.

………12分22.（本小題滿分14分）設函數（1）證明對每一個，存在唯一的，滿足；（2）由（1）中的構成數列，判斷數列的單調性并證明；（3）對任意，滿足（1），試比較與的大小.參考答案：（1）顯然,當時,,故在上遞增.

…