同濟(jì)大學(xué)第五版高數(shù)課件

第三章朝系微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用「羅爾中值定理推廣中值定理拉格朗日中值定理泰勒公式柯西中值定理(第三節(jié))應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題同濟(jì)大學(xué)第五版高數(shù)第三章朝系微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用「羅爾中值定理推廣中值定理拉格朗日中值定理泰勒公式柯西中值定理(第三節(jié))應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題第三章第一爺中值定理一、羅爾(Role)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理費(fèi)馬(fermat)引理朝系y=f(x)在∪(xn)有定義f(:且f(x)≤f(x0),f(xo)存在或≥)證:設(shè)Vxo+△x∈∪(xo),f(xo+△x)≤f(xo)(o=linf(xo+△x)-f(x0)Ax→>0=(20x0)>f(xo)=0f(x)≤0(△x→>0證畢第三章第一爺中值定理一、羅爾(Role)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理費(fèi)馬(fermat)引理朝系y=f(x)在∪(xn)有定義f(:且f(x)≤f(x0),f(xo)存在或≥)證:設(shè)Vxo+△x∈∪(xo),f(xo+△x)≤f(xo)(o=linf(xo+△x)-f(x0)Ax→>0=(20x0)>f(xo)=0f(x)≤0(△x→>0證畢羅爾(Rolle)定理羅爾(Rol定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),直在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即∫(a)=f(b),那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)a<ξ<b),使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零,即∫(ξ)=0例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).在-1,3連續(xù),在(-1,3)上可導(dǎo),且f(-1)=f(3)=0,∵:∫'(x)=2(x-1),取ξ=1,(1∈(-1,3)∫'()=0.幾何解釋Cy=∫(x)在曲線弧AB上至少有點(diǎn)C,在該點(diǎn)處的切線是水平的證∵∫(x)在[a,b]連續(xù),必有最大值M和最小值m(1)若M=m,則∫(x)=M由此得∫(x)=0.vξ∈(a,b),都有∫()=0.(2)若M≠m.∵f(a)=f(b),∴最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)取得.設(shè)M≠∫(則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使∫(5)=M.∵∫(ξ+△x)≤∫(2),∴∫(ξ+Ax)-∫(ξ)≤0,若Ax>0,則有(5+A)-(5)≤0△r若Ax<0,則有(+Ax)-f()n△r∫(5)=mmJ(+Ax)~→z0Ar→-0J(5)=lin∫(ξ+x)-f()≤0;∵f'(ξ)存在,Ar→+0∴∫'(3)=∫(ξ).∴只有∫'(2)=0.注意若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足其《兩結(jié)論可能不成立例如,y=x,x∈[-2,2];在[2,2上除∫(0)不存在外滿足羅爾定理的一切條件,但在區(qū)間[-22]內(nèi)找不到一點(diǎn)能使∫'(x)=0.又例如,y1-x,x∈(O,10y=x,x∈[0,1]例1證明方程x5-5x+1=0有且僅有一個(gè)小于《兩1的正實(shí)根證設(shè)∫(x)=x3-5x+,則f(x)在[0,連續(xù),且f(0)=1,f(1)=-3.由介值定理彐x0∈(0,1),使∫(x)=0.即為方程的小于1的正實(shí)根設(shè)另有x1∈(0,1),x1≠x0,使f(x1)=0.∵f(x)在x0,x1之間滿足羅爾定理的條件,至少存在一個(gè)(在x,x,之間使得r(E)=0.但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾,為唯一實(shí)根二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函數(shù)(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間a,b)內(nèi)可導(dǎo),那未在a,b)內(nèi)至少