簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題課件

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題11.一元二次不等式表示平面區(qū)域(左小右大）在直角坐標(biāo)系中，Ax+By+C=0將平面分成三部分.直線上的點(diǎn)滿足Ax+By+C=0，當(dāng)B=0時(shí)，直接從坐標(biāo)系上看出范圍，當(dāng)B≠0時(shí)，滿足B(Ax+By+C)＞0表示直線上方的區(qū)域，滿足B(Ax+By+C)＜0表示直線下方的區(qū)域.口訣是：同號(hào)在上，異號(hào)在下.或采用“以線定界，以點(diǎn)定域”的原則.

判別不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C＜0)表示的平面區(qū)域時(shí)，只要在直線Ax+By+C=0的一側(cè)任取一點(diǎn)(x0，y0)，將它的坐標(biāo)代入不等式，如果該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式，不等式就表示該點(diǎn)所在一2側(cè)的平面區(qū)域；如果不滿足不等式，就表示這個(gè)點(diǎn)所在區(qū)域的另一側(cè)平面區(qū)域.

由幾個(gè)不等式組成的不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

2.線性規(guī)劃線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下，最值問題的討論.

基本概念由x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組，是對(duì)x、y的約束條件線性約束條件意義名稱3求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題線性規(guī)劃問題使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解最優(yōu)解所有可行解組成的集合叫做可行域可行域滿足線性約束條件x、y的解(x，y)叫做可行解可行解關(guān)于x、y的一次解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的解析式，如：z=2x+y，z=x2+y2等目標(biāo)函數(shù)

解線性規(guī)劃的問題，一般用圖解法，其步驟如下：

(1)設(shè)出變量x、y；

(2)找出約束條件，找出線性目標(biāo)函數(shù)；4(3)畫出可行域；(4)利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系；(5)求出最值，還原成實(shí)際問題的解.5

x-3y+6≥0

x-y+2<0表示的平面區(qū)域是()1.不等式組B基礎(chǔ)練習(xí)：6(2009·上海卷)已知實(shí)數(shù)x、y滿足y≤2x

y≥-2x

x≤3，則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是

.學(xué)例1-9作出(x,y)滿足的值域如圖，由目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)知，在點(diǎn)（3，6）處z取得最小值-9.7可行域?yàn)閳D中陰影部分,由圖可知s=x+y在點(diǎn)(4，5)處取得最大值，最大值為s=4+5=9.(2009·北京卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y-2≥0x≤4y≤5,則s=x+y的最大值為

.學(xué)例2984.不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積是

.8|x-1|+|y-1|≤2可化為

x-1≥0x-1≥0x-1≤0

y-1≥0y-1≤0y-1≥0

x+y-4≤0

x-y-2≤0x-y+2≥0或或9

x-1≤0

y-1≤0

x+y≥0.其平面區(qū)域如圖：所以面積S=２××4×2=8.或10方法點(diǎn)撥：數(shù)形結(jié)合，以線定界以點(diǎn)定域.自學(xué)范例1設(shè)R為平面上以A(4，1)、B(-1，-6)、C(-3，2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括邊界及內(nèi)部)，試求(x，y)在R內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，x，y需滿足的條件，并畫出平面區(qū)域.考點(diǎn)基本知識(shí)基本概念;可行域及判定、目標(biāo)函數(shù);不等式、不等式組表示的區(qū)域的求法1分析:先由三個(gè)頂點(diǎn)求出三條邊界線的方程.再確定區(qū)域的不等式組解析:在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出A、B、C三點(diǎn)，畫出AB、AC、BC11三條直線并寫出各自對(duì)應(yīng)的直線方程，代入原點(diǎn)(0，0)檢驗(yàn)即可.因?yàn)锳B:7x-5y-23=0，BC:4x+y+10=0，AC:x+7y-11=0，將(0，0)代入7x-5y-23得-23＜0，∴原點(diǎn)在7x-5y-23≤0所表示的區(qū)域內(nèi).

同理檢驗(yàn)出原點(diǎn)在4x+y+10≥0，x+7y-11≤0所表示的區(qū)域內(nèi).x、y滿足的條件為它所表示的平面區(qū)域如下圖所示.【點(diǎn)評(píng)】正確表示出區(qū)域，求出不等式或二元一次直線方程，再結(jié)合原點(diǎn)存在與否定域，區(qū)域或邊界用陰影或虛實(shí)線表示.12考點(diǎn)幾個(gè)常見的幾何問題的線性規(guī)劃2方法點(diǎn)撥:目標(biāo)函數(shù)建立后,要聯(lián)系相關(guān)幾何意義.如斜率、截距、距離等.自學(xué)范例2設(shè)x、y滿足13分析:先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解.解析:如圖直線x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)設(shè)z=x+2y-4，則作斜率為的平行直線l.當(dāng)l過C(7，9)時(shí)，截距最大，這時(shí)z也最大.即z的最大值是7+2×9-4=21.14(2)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2是表示區(qū)域上的點(diǎn)(x，y)與(0，5)的距離的平方.∵(0，5)到直線x-y+2=0的距離是d=∴x2+y2-10y+25的最小值是15

x-y-2≤0

x+2y-4≥02y-3≤0,則的最大值是.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分.16設(shè)=t，則y=tx,求的最大值，即求y=tx的斜率的最大值.顯然y=tx過A點(diǎn)時(shí)，t最大.x+2y-4=02y-3=0代入y=tx,得t=.所以的最大值為.由，解得A(1,).17

x≥1

x-y+1≤02x-y-2≤0，則x2+y2的最小值是

.2.已知實(shí)數(shù)x、y滿足5

x-y+1=0

x=1，得最優(yōu)解為A(1,2)，所以x2+y2的最小值為5.作出可行域，由18本題是將非線性規(guī)劃問題，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和化歸思想的運(yùn)用.這種題型在今后高考中可能會(huì)成為主要命題方向，望引起同學(xué)們的關(guān)注.19方法點(diǎn)撥：目標(biāo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)或是整點(diǎn)最值問題.以實(shí)際意義來看，一類是資源分配能使完成任務(wù)量最大；另一類是統(tǒng)籌安排任務(wù)，使耗費(fèi)的人力、物力資源最少.考點(diǎn)線性規(guī)劃解決應(yīng)用問題3自學(xué)范例3某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元.甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元，問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？20分析:假設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，則可列出x，y所滿足的不等式組及目標(biāo)函數(shù).解析:設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如上圖.???íì33￡+￡++=???íì33￡+￡+0，0，90025，300.20003000.0，0，90000200500，300yxyxyxyxzyxyxyx于二元一次不等式組等價(jià)目標(biāo)函數(shù)為21

作直線l:3000x+2000y=0.即3x+2y=0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.聯(lián)立解得x=100，y=200.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100，200).∴zmax=3000x+2000y=700000(元).答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告.公司的收益最大，最大值為70萬元.【點(diǎn)評(píng)】畫出可行域后，再把目標(biāo)函數(shù)平行移動(dòng)，比較截距的大小，要注意目標(biāo)函數(shù)的意義.注意單位的換算！22練習(xí)制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的利潤(rùn)，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？23設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，則目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y.

x+y≤100.3x+0.1y≤1.8

x≥0,y≥0,24作可行域,當(dāng)直線l:x+0.5y=z過點(diǎn)M時(shí),z取最大值.

x+y=10x=43x+y=18，y=6，所以點(diǎn)M(4,6).故當(dāng)x=4，y=6時(shí)，zmax=7.答：投資甲項(xiàng)目4萬元，投資乙項(xiàng)目6萬元時(shí)，可能的盈利最大.由得25這是在高考中第一次以解答題的形式考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.本題是一道應(yīng)用題，以投資決策為背景，以線性規(guī)劃為素材，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和能力，不落俗套，令人耳目一新.2619.（本小題滿分12分2010年廣東高考）某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？解：設(shè)該兒童分別預(yù)訂x,y個(gè)單位的午餐和晚餐，共花費(fèi)z元即

27作出可行域如圖所示：

經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，花費(fèi)最少，為（元）答：應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)定4個(gè)單位的午餐和4個(gè)單位晚餐28考點(diǎn)綜合新題4自學(xué)范例4

(1)設(shè)二元一次不等式組