哈工大理論力學(xué)課件第八章教材

第八章點的合成運動主要內(nèi)容：8.1相對運動·牽連運動·絕對運動8.2點的速度合成定理8.3點的加速度合成定理xy'x'yo'oMv通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，物體對一參考體的運動可以由幾個運動組合而成。例如，在上述的例子中，車輪上的點M是沿旋輪線運動，但是如果以車廂作為參考體，則點M對于車廂的運動是簡單的圓周運動，車廂對于地面的運動是簡單的平動。這樣，輪緣上一點的運動就可以看成為兩個簡單運動的合成，即點M相對于車廂作圓周運動，同時車廂對地面作平動。于是，相對于某一參考體的運動可由相對于其它參考體的幾個運動組合而成，稱這種運動為合成運動。習(xí)慣上把固定在地球上的坐標(biāo)系稱為定參考系，以oxy坐標(biāo)系表示；固定在其它相對于地球運動的參考體上的坐標(biāo)系稱為動參考系，以o'x'y'坐標(biāo)系表示。用點的合成運動理論分析點的運動時，必須選定兩個參考系，區(qū)分三種運動：(1)動點相對于定參考系的運動，稱為絕對運動；(2)動點相對于動參考系的運動，稱為相對運動；(3)動參考系相對于定參考系的運動，稱為牽連運動?！?-1相對運動·牽連運動·絕對運動兩個坐標(biāo)系定坐標(biāo)系（定系）動坐標(biāo)系（動系）三種運動絕對運動：動點相對于定系的運動。相對運動：動點相對于動系的運動。牽連運動：動系相對于定系的運動。定參考系動參考系動點牽連運動絕對運動相對運動一點、二系、三運動絕對軌跡絕對速度絕對加速度

在動參考系上與動點相重合的那一點（牽連點）的速度和加速度稱為動點的牽連速度和牽連加速度。相對軌跡相對速度相對加速度牽連速度和牽連加速度

(1)動點相對于定參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動點的絕對速度va、絕對加速度aa和絕對軌跡。

(2)動點相對于動參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動點的相對速度vr、相對加速度ar和相對軌跡

。由于動參考系的運動是剛體的運動而不是一個點的運動，所以除非動參考系作平動，否則其上各點的運動都不完全相同。因為動參考系與動點直接相關(guān)的是動參考系上與動點相重合的那一點(牽連點)，因此定義：在動參考系上與動點相重合的那一點(牽連點)的速度和加速度稱為動點的牽連速度(用ve表示)和牽連加速度(用ae表示)。如果沒有牽連運動，則動點的相對運動就是它的絕對運動；如果沒有相對運動，則動點隨同動參考系所作的運動就是它的絕對運動；動點的絕對運動既取決于動點的相對運動，也決定于動參考系的運動即牽連運動，它是兩種運動的合成。Oxx'y'yφM練習(xí)：已知，小球的相對速度u，OM=l。求：牽連速度和牽連加速度絕對運動：直線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動相對運動：曲線運動（螺旋運動）動點：車刀刀尖

動系：工件實例一：車刀的運動分析實例二：回轉(zhuǎn)儀的運動分析動點：Ｍ點

動系：框架相對運動：圓周運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動絕對運動：空間曲線運動絕對運動運動方程相對運動運動方程動點：M

動系：絕對、相對和牽連運動之間的關(guān)系由坐標(biāo)變換關(guān)系有

例8-1點M相對于動系沿半徑為r的圓周以速度v作勻速圓周運動(圓心為O1）

，動系相對于定系以勻角速度ω繞點O作定軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。初始時與重合，點M與O重合。求：點M的絕對運動方程。解:相對運動方程代入求：點M的絕對運動方程。已知：r，相對速度v，＝ωt，

絕對運動方程求：點M的絕對運動方程。已知：r，相對速度v，＝ωt，

例8-2用車刀切削工件的直徑端面，車刀刀尖M沿水平軸x作往復(fù)運動，如圖所示。設(shè)Oxy為定坐標(biāo)系，刀尖的運動方程為。工件以等角速度逆時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動。求：車刀在工件圓端面上切出的痕跡。相對運動軌跡已知：求:相對運動方程解:動點：M

動系：工件

§8-2

點的速度合成定理例：小球在金屬絲上的運動速度合成定理的推導(dǎo)定系：Ｏxyz，動系：，動點：Ｍ為牽連點導(dǎo)數(shù)上加“～”表示相對導(dǎo)數(shù)。得

點的速度合成定理：動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。處理具體問題時應(yīng)注意：(1)

選取動點、動參考系和定參考系。(2)

應(yīng)用速度合成定理時,可利用速度平行四邊形中的幾何關(guān)系解出未知數(shù)。也可以采用投影法：即等式左右兩邊同時對某一軸進行投影，投影的結(jié)果相等。動點和動系應(yīng)分別選擇在兩個不同的剛體上。動點和動系的選擇應(yīng)使相對運動的軌跡簡單直觀。在有的機構(gòu)中，一個構(gòu)件上總有一個點被另一個構(gòu)件所約束。這時，以被約束的點作為動點，在約束動點的構(gòu)件上建立動系，相對運動軌跡便是約束構(gòu)件的輪廓線或者約束動點的軌道。通常選動點和動系主要有以下幾種情況：1.有一個很明顯的動點，在題中很容易發(fā)現(xiàn)；2.有一個不變的接觸點，可選該點為動點；3.沒有不變的接觸點，此時應(yīng)選相對軌跡容易確定的點為動點；4.必須選某點為動點，而動系要取兩次；5.根據(jù)題意，必須取兩次動點和動系；6.兩個不相關(guān)的動點，可根據(jù)題意來確定；

例8-3刨床的急回機構(gòu)如圖所示。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接。當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動桿O1B繞定軸O1擺動。設(shè)曲柄長為OA=r，兩軸間距離OO1=l。

求：曲柄在水平位置時搖桿的角速度。2、運動分析：絕對運動－繞O點的圓周運動；相對運動－沿O1B的直線運動；牽連運動－繞O1軸定軸轉(zhuǎn)動。已知:√√√3、解:1、動點：滑塊A動系：搖桿

例8-4如圖所示半徑為R、偏心距為e的凸輪，以角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在滑槽中上下平移，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求：在圖示位置時，桿AB的速度。解：1、動點：AB桿上A

動系：凸輪牽連運動：定軸運動（軸O）相對運動：圓周運動（半徑R）

2、絕對運動：直線運動（AB）已知：

3、√√√求：礦砂相對于傳送帶B的速度。

例8-5礦砂從傳送帶A落入到另一傳送帶B上，如圖所示。站在地面上觀察礦砂下落的速度為，方向與鉛直線成300角。已知傳送帶B水平傳動速度。解：1、動點：礦砂M動系：傳送帶B

牽連運動：平移（）

2、絕對運動：直線運動（）

相對運動：未知

3、√√已知：

例8-6圓盤半徑為R，以角速度ω1繞水平軸CD轉(zhuǎn)動，支承CD的框架又以角速度ω2繞鉛直的AB軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。圓盤垂直于CD，圓心在CD與AB的交點O處。求：當(dāng)連線OM在水平位置時，圓盤邊緣上的點M的絕對速度。解：1、動點：M點動系：框架BACD

牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動（AB軸)

相對運動：圓周運動（圓心O點）

2、絕對運動：未知

已知：

3、√√

例3水平直桿AB在半徑為r的固定圓環(huán)上以勻速u豎直下落，如圖。試求套在該直桿和圓環(huán)交點處的小環(huán)M的速度。解：以小環(huán)M為動點，定系取在地面上，動系取在AB桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：uABOMrjvrvave例4求圖示機構(gòu)中OC桿端點C的速度。其中v與θ已知，且設(shè)OA=a,AC＝b。解：取套筒A為動點，動系與OC固連，分析A點速度，有vAqBCOvavevrvCwOC例5圖示平底頂桿凸輪機構(gòu)，頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下平動，偏心凸輪以等角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動，O軸位于頂桿的軸線上，工作時頂桿的平底始終接觸凸輪表面，設(shè)凸輪半徑為R，偏心距OC=e

，OC

與水平線的夾角為a，試求當(dāng)a=45°時，頂桿AB的速度。解：以凸輪圓心C為動點，靜系取在地面上，動系取在頂桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。vavevr例6AB桿以速度v1向上作平動，CD桿斜向上以速度v2作平動，兩條桿的夾角為a，求套在兩桿上的小環(huán)M的速度。αMABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解取M為動點，AB為動坐標(biāo)系，相對速度、牽連速度如圖。取M為動點，CD為動坐標(biāo)系，相對速度、牽連速度如圖。由上面兩式可得：其中將等式兩邊同時向y軸投影：則動點M的絕對速度為：αMABCDv2v1ve1vr1vr2ve2vay例7在水面上有兩只艦艇A和B均以勻速度v=36km/h行駛，A艦艇向東開，B艦艇沿以O(shè)為圓心、半徑R=100m的圓弧行駛。在圖示瞬時，兩艇的位置S=50m,Φ=30°，試求：（1）B艇相對A艇的速度。（2）A艇相對B艇的速度。

東北ΦBAROS東北Φ=30°BAROSVe1Va1Vr130°30°(1)求B艇相對于是A艇的速度。以B為動點，動系固連于A艇。由圖（b）的速度矢量(2)求A相對于B的速度，以A為動點，動系固連于B艇。東北Φ=30°BAROSVa2Vr2Ve2α可見，A相對B的速度并不一定等于B相對A的速度。例9如圖車A沿半徑為150m的圓弧道路以勻速行駛，車B沿直線道路以勻速行駛，兩車相距30m，求：（1）A車相對B車的速度；（2）B車相對A車的速度。

解：（1）以車A為動點，靜系取在地面上，動系取在車B上。動點的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：（2）以車B為動點，靜系取在地面上，動系取在車A上。動點的速度合成矢量圖如圖?！欤?３點的加速度合成定理因為得同理可得即先分析對時間的導(dǎo)數(shù):因為得令稱為科氏加速度有

點的加速度合成定理：動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。其中科氏加速度大小方向垂直于和指向按右手法則確定

當(dāng)牽連運動為平移時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。當(dāng)牽連運動為平移時，因此此時有

例8-8刨床的急回機構(gòu)如圖所示。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接。當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動桿O1B繞定軸O1擺動。設(shè)曲柄長為OA=r，兩軸間距離OO1=l。

求:搖桿O1B在如圖所示位置時的角加速度。解：1、動點：滑塊A

動系：O1B桿絕對運動：圓周運動2

、速度相對運動：直線運動（沿O1B）牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動（繞O1軸）√√√3、加速度√√√√√沿

軸投影

例8-9如圖所示平面機構(gòu)中，曲柄OA=r，以勻角速度ωO轉(zhuǎn)動。套筒A沿BC桿滑動。已知：BC=DE，且BD=CE=l。求：圖示位置時，桿BD的角速度和角加速度。解：1、動點：滑塊A

動系：BC桿絕對運動：圓周運動（O點）相對運動：直線運動（BC）牽連運動：平移2、速度√√√

3、加速度√√√√沿y軸投影求：該瞬時AB的速度及加速度。

例8-1