2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及參考答案5

2023年“TKUIT?信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題(共5小題，每小題6分,滿分30分.以下每道小題均給出了代號(hào)

為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是對(duì)的的.請(qǐng)將對(duì)的選項(xiàng)的

代號(hào)填入題后的括號(hào)里.不填、多填或錯(cuò)填得零分)

1.已知實(shí)數(shù)。工人，且滿足(。+1)2=3-33+1),39+1)=3-("1)2.則

哈+解的值為(>

(A)23(B)-23(C)-2(D)-13

答:選(B)

。、8是關(guān)于x的方程

(X+1)2+3(X+1)-3=0

的兩個(gè)根，整理此方程，得

x~+5x+1-0,

,?A=25—4>0,

a+b=-5,ab=l.

故。均為負(fù)數(shù).因此

,[h[abr-rar—ra2+b2f—r(a+bY—lab__

bJ—F。J-=—7cibvab=-----------7ab=-------------------=—23?

\a\bababy/ab

2.若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為4、b,斜邊長(zhǎng)為C,斜邊上的高為力，則有

().

(A)ab=h2(B)-+-=-(C)上+乂=上

abha2b2h2

(D)a2+b2=2/

答:選(C)

a>h>0,b>h>0,

：.ab>h\a2+b2>h2+h2=2h2;

因此，結(jié)論(A)、(D)顯然不對(duì)的.

設(shè)斜邊為c，則有a+人>c,'(a+/?)">，即有

222

111

—+—>—,

abh

因此，結(jié)論(B)也不對(duì)的.

由-yla2+b2h=-ab化簡(jiǎn)整理后，得-4+4=4.

22a2b~h2

因此結(jié)論(C)是對(duì)的的.

3.一條拋物線y=ax?+bx+c的頂點(diǎn)為(4,-11),且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為一正一負(fù)，則a、b、c中為正數(shù)的().

(A)只有a(B)只有人(C)只有c(D)只有。和萬(wàn)

答:選(A)

由頂點(diǎn)為(4,71)，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，知a〉0.

設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x”馬,即為方程

ax2+bx+c=O

的兩個(gè)根.

由題設(shè)匹％2<0，知￡<0，所以c<0.

a

根據(jù)對(duì)稱軸尤=4,即有-2〉0,知X0.

2a

故知結(jié)論(A)是對(duì)的的.

4.如圖所示，在△ANC中,。后〃45〃尸G,且產(chǎn)G到DE、

的距離之比為1:2.若△ABC的面積為32,/\CDE

的面積為2,則△CEG的面積S等于

).

AB

(A)6(B)8

(C)10(D)12

答：選(B)(第4顏煦)

由。E〃AB〃/G知,△COEs^CAB,/\CDE^/\CFG,所以

又由題設(shè)知PD*=二1所以

FA2

FD_1

茄一3，

1131

FD^-AD^-x-AC^-AC,

3344

故EO=DC,于是

因此，結(jié)論(B)是對(duì)的的.

5.假如x和y是非零實(shí)數(shù)，使得

N+y=3和|巾+彳3=0,

那么x+y等于().

(A)3(B)V13

(C)1-V13(D)4-V13

答:選(D)

將y=3—W代入I'y+x，=0,Wx3—x2+3|A]=0.

(1)當(dāng)無(wú)＞0時(shí)F+3%=0,方程》2一%+3=0無(wú)實(shí)根;

(2)當(dāng)x<0時(shí),*3———3x=o,得方程%—3=0

解得》=生叵，正根舍去，從而》=上等.

22

工曰。??°1-V137-V13

于是y=3_忖=3+—^—=—--.

故x+y=4-VU.

因此，結(jié)論（D）是在對(duì)的的.

二、填空題（共5小題,每小題6分，滿分30分）

6.如圖所示，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,

NBAO=60。，則NEOC=（度）.

答：30°

解:設(shè)NC4￡>=2a,由AB=AC知

ZB=-（180°-60°-2?）=60°-a,

2

NAO3=180?！狽B—60。=60。+a,

（第6版圖）

由AO=AE知，ZADE=90?！猘,

所以ZEDC=180P-ZADE-ZADB=30P.

7.據(jù)有關(guān)資料記錄,兩個(gè)城市之間天天的電話通話次數(shù)T與這兩個(gè)城市的人口數(shù)

加、〃（單位：萬(wàn)人）以及兩城市間的距離d（單位:km）有7=需的關(guān)系（攵為常

數(shù)）.現(xiàn)測(cè)得A、8、C三個(gè)城市的人口及它們之間的距離如圖所示,且已知A、

8兩個(gè)城市間天天的電話通話次數(shù)為f，那么從C兩個(gè)城市間天天的電話通話

次數(shù)為次（用力表達(dá)）.

利

解:據(jù)題意，有”亞啰左，

1602

;，k=—t.

5

因此,3、。兩個(gè)城市間天天的電話通8（人口：80萬(wàn)）C（人口：100萬(wàn)）

話次數(shù)為（第7題圖）

_.80x10032，5t

2

BC3205642

8.已知實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足a+b=x+y=2,ax+by=5,則

（a2+h2）xy+ah（x2+y2）=

答：—5

解：由a+h-x+y-2,得(a+Z?)(x+y)-ax+by+ay+bx=4,

ax+by-5,

ay+bx-—\.

因而，(<72+b2)xy+ab(x2+y2)=(ay+bx)(ax+by)=-5.

9.如圖所示，在梯形中/O〃8C（BO

AD},NO=90。，BC=CD=\2,NA8E=45。,若A

E=\0,則CE的長(zhǎng)為.

答：4或6

解:延長(zhǎng)。A至M使BMLBE.過(guò)8作BG±AM,

G為垂足.易知四邊形BCOG為正方形，所以8C=BG.又

ZCBE=ZGBM,（第9撅圖）

：.RtABFC^RtABMG.

,BM=BE,ZABE=ZABM=45°,

：./\ABBM,AM=AE=IQ.

設(shè)CE=x,則/G=lO-x40=12—(10—x)=2—x,DE=12-x.

在RtAADE中,A￡2=AD2+DE2,

100=(x+2>+(12-x)2,

即%2-10x+24=0,

解之，得Xj=4,X2=6.

故CE的長(zhǎng)為4或6.

10.實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5,xy+yz+zx-3,貝Uz的最大值是.

育答，.—3

解：x+y-5-z,xy=?>-z(x+j)=3-z(5-z)=z2-5z+3,

x、y是關(guān)于r的一元二次方程

〃一(5-z)f+z2—5z+3=0

的兩實(shí)根.

*/A=(5-z)2-4(z2-5z+3)>0,即

3Z2-10Z-13<0,(3Z-13)(Z+1)<0.

?713%1葉13

??z<一,3x=y=—Uj,z=一.

333

故z的最大值為U.

3

三、解答題(共4題,每小題15分，滿分6。分)

11.通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽(tīng)課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課

時(shí)間的變化而變化的，講課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的愛(ài)好激增，中間有一段時(shí)間，學(xué)生的愛(ài)好

保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開(kāi)始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x(分鐘)變化的函

數(shù)圖象如圖所示&越大表達(dá)學(xué)生注意力越集中).當(dāng)OWxWlO時(shí),圖象是拋物線

的一部分，當(dāng)10WXW20和20WXW40時(shí)，圖象是線段.

(1)當(dāng)OWxWlO時(shí)，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式;

⑵一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題需要講解24分鐘.問(wèn)老師能否通過(guò)適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽(tīng)

這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36.

解：(1)當(dāng)OWxWlO時(shí)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系

式為y=or2+Z?x+c,由于它的圖象通過(guò)點(diǎn)(0,

20),(5,39),(10,48),所以

c=20,

<25a+5b+c=39,

100“+10b+c=48.(第II(A)顆因)

i94

解得，a=—,b=—,c=20.

55

所以

ic74

y=——x2H---x+20,0<10..............（5分）

55

7

（2）當(dāng)20<x<40時(shí)，y=-1x+76.

所以，當(dāng)OWxWlO時(shí)，令y=36,得36=-（，+§x+20,

解得x=4,x=20（舍去）；

當(dāng)20WXW40時(shí)，令產(chǎn)36,得36=—'％+76,解得

5

200-4

x=----=28—.................

77

（10分）

由于28'4-4=2442>24,所以,老師可以通過(guò)適當(dāng)?shù)陌才?，在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不

77

低于36時(shí)，講授完這道競(jìng)賽題................（15

分）

12.已知a,人是實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程組

，32

<y=x'-ax"-bx.

y-ax-\-b

有整數(shù)解（x,y）,求a,6滿足的關(guān)系式.

解：將y=ax+b代入y=x'-ax?-Zu,消去a、b,得

y=x3-xy,.................（5分）

（x+l）y=x3.

若x+l=0,即x=-1,則上式左邊為0,右邊為-1不也許.所以x+IWO,于是

X3211

y=------=x—x+1---------.

x+1x+1

由于x、y都是整數(shù)，所以x+1=±1,即x=-2或x=0,進(jìn)而y=8或y=0.故

x=—2-x=0

<或{.................

y=81y=0

（10分）

x=-2

當(dāng)《時(shí)，代入y=ax+。得,2a-8+8=0;

y=8

x=0

當(dāng)|時(shí)，代入y=ax+8得,人=0.

y=0

綜上所述,a、8滿足關(guān)系式是2a-。+8=0,或者人=0,a是任意實(shí)數(shù).

（15分）

13.D良XABC的邊AB上的一點(diǎn)，使得AB=3AD,P是△ABC外接圓上一點(diǎn),

使得NAOP=ZACB,求一的值.

PD

解:連結(jié)A尸，則NAP8=NACB=NAOP,

所以，XAPBSXAD