上海西南位育中學(xué)(西校區(qū))高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

上海西南位育中學(xué)(西校區(qū))高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是①若a－b=1，則a－b<1；

②若，則a－b<1；③若，則|a－b|<1；

④若|a－b|=1，則|a－b|<1.A.①②

B.②④

C.①③

D.①④參考答案：D2.下列函數(shù)中以π為周期，在（0，）上單調(diào)遞減的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx| C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|參考答案：A【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：由于y=tanx的周期為π，0＜cot1＜1，故y=（cot1）tanx的周期為π，且在（0，）上單調(diào)遞減，故A滿足條件．由于y=|sinx|在（0，）上單調(diào)遞增，故排除B．由于在（0，）上，2x∈（0，π），函數(shù)y=﹣cos2x在（0，）上單調(diào)遞增，故排除C．由于函數(shù)y=﹣tan|x|不是周期函數(shù)，故排除D，故選：A．3.（5分）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，圖象與x軸交點(diǎn)A及圖象最高點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是A（，0），B（，2），則f（﹣）的值為（） A． ﹣ B． ﹣ C． D． 參考答案：C考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析： 由圖象可得：A=2，=，從而解得ω的值，由B（，2）在函數(shù)圖象上，|φ|＜π，可解得φ的值，從而求得函數(shù)解析式，從而可求f（﹣）的值．解答： 由圖象可得：A=2，=，從而解得：T=π．所以ω===2．由因?yàn)椋築（，2）在函數(shù)圖象上．所以可得：2sin（2×+φ）=2，可解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，即有φ=2kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜π，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），∴f（﹣）=2sin（﹣2×﹣）=，故選：C．點(diǎn)評： 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，屬于基礎(chǔ)題．4.已知集合，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中=

.參考答案：45.已知是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前8項(xiàng)和等于（

）A．72 B．64 C．100 D．120參考答案：B6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為參考答案：A7.如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一個(gè)元素則a的值是（）A．0 B．0或1 C．﹣1 D．0或﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】根據(jù)集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一個(gè)元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一個(gè)根，然后分a=0和a≠0兩種情況討論，求出a的值即可．【解答】解：根據(jù)集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一個(gè)元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一個(gè)根，①a=0，，滿足題意；②a≠0時(shí)，則應(yīng)滿足△=0，即22﹣4a×（﹣1）=4a+4=0解得a=﹣1．所以a=0或a=﹣1．故選：D．8.函數(shù)函數(shù)y=sin（3x+）cos（x﹣）+cos（3x+）sin（x﹣）的圖象的一條對稱軸的方程是（）A．x=﹣ B．x=﹣ C．x= D．x=參考答案：C【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】將三角函數(shù)進(jìn)行化簡，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：y=sin（3x+）cos（x﹣）+cos（3x+）sin（x﹣）=sin（3x++x﹣）=sin（4x+），由4x+=kπ+，得x=，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，x=，故選：C．9.二次函數(shù)的圖象的對稱軸是，則有（

）A． B．C． D．參考答案：B考點(diǎn)：一次函數(shù)與二次函數(shù)試題解析：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的對稱軸是，且開口向上，所以。故答案為：B10.（多選題）已知實(shí)數(shù)a、b，判斷下列不等式中哪些一定是正確的（

）A. B.C. D.參考答案：CD【分析】當(dāng)，時(shí)，不成立；當(dāng)，時(shí)，不成立；由利用基本不等式即可判斷；由，可判斷．【詳解】當(dāng)，時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，不成立；；，故，故選：CD.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則= _____．參考答案：設(shè)，所以，則，所以。

12.已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣5x，則f（x﹣1）＞f（x）的解集為_____．參考答案：【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)和已知條件得出函數(shù)和的解析式，在同一坐標(biāo)系中做出和的圖像，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)不等式的解集可以理解為將的圖象向右平移一個(gè)單位長度后所得函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方部分的點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)取值的集合，由圖示可得出解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，又f（x）是R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，即，做出和的圖像如下圖所示，不等式的解集可以理解為將的圖象向右平移一個(gè)單位長度后所得函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方部分的點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)取值的集合，由得所以，由得，所以，所以不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得對稱區(qū)間上的解析式，圖像的平移，以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解不等式，關(guān)鍵在于綜合熟練地運(yùn)用函數(shù)的奇偶性，解析式的求法，圖像的平移，以及如何在圖像上求出不等式的解集等一些基本能力，屬于中檔題.13.在中，若,且三角形有解，則A的取值范圍是

.參考答案：略14.設(shè)、、是直角三角形的三條邊長，且，其中，，則的值等于

．參考答案：415.在△中，如果三邊依次成等比數(shù)列，那么角的取值范圍是

參考答案：略16.函數(shù)的定義域是

．參考答案：略17.如果數(shù)集{0，1，x＋2}中有3個(gè)元素，那么x不能取的值是________．參考答案：－2，－1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示,在三棱柱中,底面，.（1）若點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)請根據(jù)下列要求設(shè)計(jì)切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側(cè)棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長方體.簡單地寫出一種切割和拼接方法，

并寫出拼接后的長方體的表面積（不必計(jì)算過程）.

參考答案：（1）證法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得、

.

∴

，

，

.

∴.

∴.

平面，平面，.

∴平面.

證法二：連結(jié)，底面，平面，∴.

，分別為棱的中點(diǎn)，∴.，∴Rt△

Rt△.∴.,∴.

∴.

∴，∴平面.∴.

，∴平面.

平面，∴.

同理可證.

，∴平面.

（2）切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以的中點(diǎn)所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長方體（該長方體的一個(gè)底面為長方形如圖①所示，），此時(shí)所拼接成的長方體的表面積為16.

圖甲

圖①切割拼接方法二：如圖乙所示，設(shè)的中點(diǎn)分別為，以四點(diǎn)所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長方體（該長方體的一個(gè)底面為正方形），此時(shí)所拼接成的長方體的表面積為.

圖乙

圖②19.如圖，A，B是單位圓O上的點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，.（1）求y的值；（2）設(shè)，求，，的值.參考答案：（1）（2）；；【分析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式表示出，解方程求得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：且，解得：（2）設(shè)，則有：，，由得：；；【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)求解、誘導(dǎo)公式應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局和某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差的情況與患感冒就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月10號(hào)2月10號(hào)3月10號(hào)4月10號(hào)5月10號(hào)6月10號(hào)晝夜溫差x(℃)1011131286就診人數(shù)y（人）222529261612

該興趣小組確定的研究方案是先從這6組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選出的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).（1）若選取的是1月和6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2月至5月的數(shù)據(jù)求出y關(guān)x于的線性回歸方程；（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)，與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的.試問：該小組所得的線性回歸方程是否理想？附;參考答案：(1);(2)該小組所得線性回歸方程是理想的．分析：（1）先求均值，代入公式求，根據(jù)求，（2）根據(jù)線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)，再與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的作差，與2比較，根據(jù)結(jié)果作判斷.詳解：(1)由數(shù)據(jù)求得＝11，＝24，由公式求得b＝，再由a＝－b＝－，得y關(guān)于x的線性回歸方程為＝x－．(2)當(dāng)x＝10時(shí)，＝，|－22|<2；同樣，當(dāng)x＝6時(shí)，＝，|－12|<2，所以，該小組所得線性回歸方程是理想的．點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過點(diǎn).21.（本題滿分10分）已知函數(shù)（1）設(shè)是函數(shù)圖像的一條對稱軸，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。參考答案：（1）由題得，所以即，所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，。（2）

=，當(dāng)即時(shí)函數(shù)是增函數(shù)，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是22.已知函數(shù)f（x）=x2﹣mx+m﹣1．（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）≥﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）是否存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【分析】（1）函數(shù)f（x）=x2﹣mx+m﹣1=+m﹣1．對與2，4的關(guān)系分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；（2）假設(shè)存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．即a≤x2﹣mx+m﹣1≤b的解集為{x|a≤x≤b}．可得f（a）=a，f（b）=b．即x2﹣mx+m﹣1=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b．即可得出．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=x2﹣mx+m﹣1=+m﹣1．①當(dāng)，即m≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈[2，4]單調(diào)遞增，∵f（x）≥﹣1恒成立，∴f（2）=﹣m+3≥﹣1，解得m≤4．∴m≤4滿足條件．②當(dāng)≥4，即m≥8時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈[2，4]單調(diào)遞減，∵f（x）≥﹣1恒成立，∴f（4）=﹣3m+15≥﹣1，解得m≤．∴不滿足m≥8，應(yīng)該舍去．③當(dāng)，即4＜m＜8時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，∵f（x）≥﹣1恒成