線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性

線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性第1頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的能控性和能觀性是揭示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征的兩個(gè)重要的基本結(jié)構(gòu)特性?？柭?0年代初首先提出狀態(tài)能控性和能觀性。其后的發(fā)展表明,這兩個(gè)概念對回答被控系統(tǒng)能否進(jìn)行控制與綜合等基本性問題,對于控制和狀態(tài)估計(jì)問題的研究,有著極其重要的意義。系統(tǒng)能控性指的是控制作用對被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進(jìn)行控制的可能性。第2頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性反映由能直接測量的輸入輸出的量測值來確定反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)的可能性。為什么經(jīng)典控制理論沒有涉及到這兩個(gè)結(jié)構(gòu)性問題?第3頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月這是因?yàn)榻?jīng)典控制理論所討論的是SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問題,它的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。因此,給定輸入,則一定會(huì)存在唯一的輸出與之對應(yīng)。反之,對期望輸出信號,總可找到相應(yīng)的輸入信號(即控制量)使系統(tǒng)輸出按要求進(jìn)行控制,不存在能否控制的問題。此外,輸出一般是可直接測量,不然,則應(yīng)能間接測量。否則,就無從對進(jìn)行反饋控制和考核系統(tǒng)所達(dá)到的性能指標(biāo)。因此,在這里不存在輸出能否測量(觀測)的問題。所以,無論是從理論還是實(shí)踐,經(jīng)典控制理論和技術(shù)一般不涉及到能否控制和能否觀測的問題。第4頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)代控制理論中著眼于對表征MIMO系統(tǒng)內(nèi)部特性和動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)進(jìn)行分析、優(yōu)化和控制。狀態(tài)變量向量的維數(shù)一般比輸入向量的維數(shù)高,這里存在多維狀態(tài)能否由少維輸入控制的問題。此外,狀態(tài)變量是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的一組內(nèi)部變量,有時(shí)并不能直接測量或間接測量,故存在能否利用可測量或觀測的輸出輸出的信息來構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的問題。第5頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月能控性的直觀討論狀態(tài)能控性反映輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的控制能力。如果狀態(tài)變量x(t)由任意初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)都能由輸入(控制項(xiàng))來影響,并能在有限時(shí)間內(nèi)控制到空間原點(diǎn),那么稱系統(tǒng)是能控的,或者更確切地說,是狀態(tài)能控的。否則,就稱系統(tǒng)為不完全能控的。下面通過實(shí)例來說明能控性的意義。第6頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月該電橋系統(tǒng)中,電源電壓u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。試分析電源電壓u(t)對兩個(gè)狀態(tài)變量的控制能力。例某電橋系統(tǒng)的模型如圖4-1所示。電橋系統(tǒng)

第7頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由電路理論知識可知,若電橋系統(tǒng)是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),電容C2的電壓x2(t)是不能通過輸入電壓u(t)改變的,即狀態(tài)變量x2(t)是不能控的,則系統(tǒng)是不完全能控的。若電橋系統(tǒng)是不平衡的,兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過輸入電壓u(t)控制,則系統(tǒng)是能控的。第8頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由狀態(tài)空間模型來看,當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時(shí),可得如下狀態(tài)方程:由上述狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x2(t)的值,即電橋中電容C2的電壓,是自由衰減的,并不受輸入u的控制。因此,該電壓的值不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減至零,即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點(diǎn)。具有這種特性的系統(tǒng)稱為狀態(tài)不能控的。第9頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例

某并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)如圖所示,其截面積均為A,它們通過閥門O均勻地輸入等量液體,即其流量QO相同。并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)

第10頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)閥門1和2的開度不變時(shí),設(shè)它們在平衡工作點(diǎn)鄰域閥門阻力相等并可視為常數(shù),記為R。圖中h1(t)和h2(t)分別為水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分別為流量。該雙水槽系統(tǒng)的狀態(tài)能控性可分析如下:對本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對兩個(gè)水槽的流入和流出的水流體已處于平衡。下面僅考慮流量QO的變化量QO所引起的水槽水位的變化。第11頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由各水槽中所盛水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度)的關(guān)系,有其中代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量。第12頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月選上述方程中變化量h1和h2為狀態(tài)變量,將狀態(tài)變量帶入方程中并消去中間變量Q1和Q2消去,則有解上述狀態(tài)方程,可得第13頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由上述解可知,當(dāng)初始狀態(tài)x1(0)和x2(0)不等時(shí),則x1(t)和x2(t)的狀態(tài)軌跡完全不相同,即在有限時(shí)間內(nèi)兩條狀態(tài)軌線不相交。因此,對該系統(tǒng),無論如何控制流入的流量QO(t),都不能使兩水槽的液面高度的變化量h1(t)和h2(t)在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)為零,即液面高度不完全能進(jìn)行任意控制。上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說明了能控性的基本含義,能控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個(gè)例子說明。第14頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為本例中,狀態(tài)變量x1的運(yùn)動(dòng)只受初始狀態(tài)x1(0)的影響,與輸入無關(guān),即輸入u(t)不能控制x1(t)的運(yùn)動(dòng),而且x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減到零。因此,狀態(tài)x1(t)不能控,則整個(gè)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的。1/s-1-21/s第15頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由該狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)都可由輸入u單獨(dú)控制,可以說,x1(t)和x1(t)都是單獨(dú)能控的。對該狀態(tài)方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]即狀態(tài)x1(t)和x1(t)總是相差一個(gè)固定的,不受u(t)控制的函數(shù)值。給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為第16頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月因此,x1(t)和x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)被控制到零或狀態(tài)空間中的任意狀態(tài),只能被控制在滿足由狀態(tài)方程解所規(guī)定的狀態(tài)空間中的曲線上。所以,雖然狀態(tài)x1(t)和x2(t)都是單獨(dú)能控的,但整個(gè)系統(tǒng)并不能控。前面4個(gè)例子,可通過直觀分析來討論系統(tǒng)的狀態(tài)能控性,但對維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),直觀判斷能控性是困難的。下面將通過給出狀態(tài)能控性的嚴(yán)格定義,來導(dǎo)出判定系統(tǒng)能控性的充要條件。第17頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)能控性的定義由狀態(tài)方程x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)及狀態(tài)方程求解公式可知,狀態(tài)的變化主要取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始時(shí)刻之后的輸入,與輸出y(t)無關(guān)。因此研究討論狀態(tài)能控性問題,即輸入u(t)對狀態(tài)x(t)能否控制的問題,只需考慮系統(tǒng)在輸入u(t)的作用和狀態(tài)方程的性質(zhì),與輸出y(t)和輸出方程無關(guān)。對線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下狀態(tài)能控性定義。第18頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月定義若線性連續(xù)系統(tǒng)x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)對初始時(shí)刻t0(t0T,T為時(shí)間定義域)和初始狀態(tài)x(t0),存在另一有限時(shí)刻t1(t1>t0,t1T),可以找到一個(gè)控制量u(t),能在有限時(shí)間[t0,t1]內(nèi)把系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)x(t0)控制到原點(diǎn),即x(t1)=0,

則稱t0時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)能控;若對t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能控,則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻狀態(tài)完全能控;第19頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月若系統(tǒng)在所有時(shí)刻狀態(tài)完全能控,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控,簡稱為系統(tǒng)能控。即,若邏輯關(guān)系式t0Tx(t0)t1T(t1>t0)u(t)(t[t0,t1])(x(t1)=0)為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。若存在某個(gè)狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的,簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能控。即,若邏輯關(guān)系式t0Tx(t0)t1Tu(t)(t1>t0)(t[t0,t1])(x(t1)0)為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。第20頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月對上述狀態(tài)能控性的定義有如下討論:1.

控制時(shí)間[t0,t1]是系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的有限時(shí)間。對時(shí)變系統(tǒng),控制時(shí)間的長短,即t1-t0的值,與初始時(shí)刻t0有關(guān)。對于定常系統(tǒng),該控制時(shí)間與t0無關(guān)。所以,對于線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性,可不必在定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時(shí)刻狀態(tài)完全能控”,而為“某一時(shí)刻狀態(tài)完全能控,則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控”。即,若邏輯關(guān)系式t0Tx(t0)t1T(t1>t0)u(t)(t[t0,t1])(x(t1)=0)為真,則稱線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全能控。第21頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

在上述定義中,對輸入u(t)沒有加任何約束,只要能使?fàn)顟B(tài)方程的解存在即可。如果矩陣A(t)和B(t)以及向量u(t)的每個(gè)元素都是t的分段連續(xù)函數(shù),則狀態(tài)方程存在唯一解。u(t)為分段連續(xù)的條件,在工程上是很容易滿足的。3.

在狀態(tài)能控性定義中,對輸入u(t)和狀態(tài)x(t)所處的空間都沒有加任何約束條件。在實(shí)際工程系統(tǒng)中,輸入變量空間和狀態(tài)空間都不為無限制條件的線性空間,因此上述能控性的定義對工程實(shí)際系統(tǒng)還需作具體的分析。第22頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù)有許多不同形式,下面分別討論常用的代數(shù)判據(jù)和模態(tài)判據(jù)。第23頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.代數(shù)判據(jù)定理

(線性定常連續(xù)系統(tǒng)能控性秩判據(jù))

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全能控的充要條件為下述條件之一成立:1.

矩陣函數(shù)e-AtB的各行函數(shù)線性獨(dú)立,即不存在非零常數(shù)向量fRn,使得

fe-AtB02.

如下定義的能控性矩陣

Qc=[BAB…An-1B]滿秩,即

rankQc=rank[BAB…An-1B]=n□第24頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月定理給出的是線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性充要的兩個(gè)判據(jù),可直接用于能控性判定。由于檢驗(yàn)e-AtB的各行是否函數(shù)線性獨(dú)立相對困難一些,因此實(shí)際應(yīng)用中通常用定理的條件2。條件2我們亦稱為線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)。第25頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性解

由狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有第26頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月故因此,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。第27頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性第28頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月將上述矩陣的第3行加到第2行中去,則可得矩陣顯然其秩為2。而系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)n=3,所以狀態(tài)不完全能控。解

由狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有第29頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2.模態(tài)判據(jù)在給出線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù)之前,先討論狀態(tài)能控性的如下性質(zhì):

線性定常系統(tǒng)經(jīng)線性變換后狀態(tài)能控性保持不變。下面對該結(jié)論作簡單證明。設(shè)線性變換陣為P,則系統(tǒng)(A,B)經(jīng)線性變換

后為

,并有第30頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由于因此系統(tǒng)

的狀態(tài)能控性等價(jià)于(A,B)的狀態(tài)能控性,即線性變換不改變狀態(tài)能控性。第31頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月基于上述結(jié)論,可利用線性變換將一般狀態(tài)空間模型變換成約當(dāng)規(guī)范形,通過分析約當(dāng)規(guī)范形(對角線規(guī)范形視為其特例)的能控性來分析原狀態(tài)空間模型的能控性。下面討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)約當(dāng)規(guī)范形的狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù)。第32頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月約當(dāng)塊和約當(dāng)矩陣矩陣的約當(dāng)塊的定義為由l個(gè)約旦塊Ji組成的塊對角的矩陣稱為約旦矩陣,如J=block-diag{J1

J2…Jl}第33頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月下述矩陣均為約旦矩陣上述第一個(gè)約旦矩陣有兩個(gè)約旦塊,分別為11維的特征值2的約旦塊和33維的特征值-1的約旦塊;第二個(gè)約旦矩陣有三個(gè)約旦塊,分別為11維的特征值3的約旦塊以及11維和22維的特征值-1的兩個(gè)約旦塊。第34頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由約旦塊和約旦矩陣的定義可知,對角線矩陣可視為約旦矩陣的特例,其每個(gè)約旦塊的維數(shù)為11。在本課程中,若未加以特別指出的話,則所有對約旦矩陣有關(guān)的結(jié)論都同樣適用于對角線矩陣。第35頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月定理對為約當(dāng)規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B),有:1)

若A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣,則系統(tǒng)能控的充要條件為對應(yīng)A的每個(gè)約當(dāng)塊的B的分塊的最后一行都不全為零;2)

若A為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約當(dāng)塊的約當(dāng)矩陣,則系統(tǒng)能控的充要條件為對應(yīng)A的每個(gè)特征值的所有約旦塊的B的分塊的最后一行線性無關(guān)。第36頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月兩點(diǎn)說明:狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù)討論的是約當(dāng)規(guī)范形。若系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為約當(dāng)規(guī)范形,則可根據(jù)線性變換不改變狀態(tài)能控性的性質(zhì),先將狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,然后再利用模態(tài)判據(jù)判別狀態(tài)能控性;模態(tài)判據(jù)不僅可判別出狀態(tài)能控性,而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點(diǎn))和哪一狀態(tài)不能控。這對于進(jìn)行系統(tǒng)分析和反饋校正是非常有幫助的。第37頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月解

由定理可知,A為特征值互異的對角線矩陣,且B中各行不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。例試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。第38頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月解

A的每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊,但對應(yīng)于特征值-4的約旦塊的B的分塊的最后一行全為零,故狀態(tài)x1和x2不能控,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。狀態(tài)空間x1-x2-x3不完全能控狀態(tài)子空間x1-x2不完全能控狀態(tài)變量x3完全能控狀態(tài)變量x2完全不能控狀態(tài)變量x1完全不能控第39頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月解

由于A中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對應(yīng)的B的分塊的最后一行線性無關(guān),且A中特征值-3的約旦塊所對應(yīng)的B的分塊的最后一行不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。第40頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月解由于A中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對應(yīng)的B的分塊的最后一行線性相關(guān),故該系統(tǒng)的狀態(tài)x1,x2和x4不完全能控,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。狀態(tài)空間x1-x2-x3-x4不完全能控狀態(tài)子空間x1-x2-x4不完全能控狀態(tài)變量x3完全能控?第41頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由模態(tài)判據(jù)結(jié)論2可知,對單輸入系統(tǒng)的狀態(tài)能控性,有如下推論。推論

若單輸入線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)的約旦規(guī)范形的系統(tǒng)矩陣為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。狀態(tài)能控性的模態(tài)判據(jù)在應(yīng)用時(shí)需將一般的狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,屬于一種間接方法。下面我們給出另一種形式的狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù),稱為PBH秩判據(jù)。該判據(jù)屬于一種直接法。第42頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全能控的充必條件為:對于所有的A的特征值,下式成立:rank[I-A

B]=n

第43頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月解

由方程|I-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為1,2和3。對特征值1=1,有例試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。第44頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月對特征值2=2,有對特征值3=3,有由定理可知,因?yàn)閷?yīng)于特征值3,定理的條件不成立,故該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。第45頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月能控性判據(jù)小結(jié)判定方法特點(diǎn)判據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)判據(jù)代數(shù)判據(jù)模態(tài)判據(jù)1模態(tài)判據(jù)2矩陣函數(shù)e-AtB的各行函數(shù)線性獨(dú)立能控性矩陣Qc=[BAB…An-1B]滿秩約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對應(yīng)的B矩陣分塊的最后一行線性無關(guān)對于所有特征值

,rank[I-A

B]=n需要求矩陣指數(shù)函數(shù)并判定函數(shù)相關(guān),計(jì)算復(fù)雜計(jì)算簡便可行。缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能控易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能控。缺點(diǎn)為需變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)形易于分析哪些特征值(極點(diǎn))能控。缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值第46頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中,系統(tǒng)的被控制量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,而是系統(tǒng)的輸出變量。因此,有必要研究系統(tǒng)的輸出能否控制的問題。經(jīng)典控制理論討論的為SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問題,其輸入輸出間動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。因此,對給定的期望輸出響應(yīng),輸入則唯一地確定,不存在輸出能否控制的問題。但對于MIMO系統(tǒng),由于輸入向量和輸出向量是多維的,因此,存在r維的輸入能否控制m維的輸出的能控性問題。第47頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月定義若線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D),對初始時(shí)刻t0(t0T,T為系統(tǒng)的時(shí)間定義域)和任意初始輸出值y(t0),存在另一有限時(shí)刻t1(t1>t0,t1T),可以找到一個(gè)輸入控制向量u(t),能在有限時(shí)間[t0,t1]內(nèi)把系統(tǒng)從初始輸出y(t0)控制到原點(diǎn),即y(t1)=0,則稱系統(tǒng)輸出完全能控,簡稱為系統(tǒng)輸出能控。即,若數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系式y(tǒng)(t0)t1Tu(t)(t1>t0)(t[t0,t1])(y(t1)=0)

為真,則稱系統(tǒng)輸出完全能控。第48頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月若系統(tǒng)存在某個(gè)初始輸出值y(t0)不滿足上述條件,則稱此系統(tǒng)是輸出不完全能控的,簡稱為輸出不能控。定理

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D)輸出完全能控的充要條件為輸出能控性矩陣[CB

CAB…CAn-1B

D]滿秩,即rank[CB

CAB…CAn-1B

D]=m其中m為輸出變量向量的維數(shù)。第49頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例試判斷如下系統(tǒng)的輸出能控性解由輸出能控性的代數(shù)判據(jù)有rank[CBCABD]=rank[200]=1=m故系統(tǒng)輸出完全能控。對該系統(tǒng),因?yàn)楣氏到y(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的。第50頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月因此,輸出能控性與狀態(tài)能控性是不等價(jià)的兩個(gè)不同概念,它們之間亦沒有必然的聯(lián)系。第51頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性以上討論的狀態(tài)能控性判據(jù)是針對線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言的,對時(shí)變系統(tǒng)不成立。下面給出線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性的充分必要判據(jù)。定理(格拉姆矩陣判據(jù))

線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)Σ(A(t),B(t))在初始時(shí)刻t0上狀態(tài)完全能控