因子分析例題

因子分析例題因子分析因子分析(FactorAnalysis)是主成分分析的推廣，它也是從研究相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合變量的一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法。第一節(jié)因子分析的基本思想首先我們看下面兩個(gè)實(shí)際例子：討人喜歡的能力、自信心、洞察力、誠(chéng)實(shí)、推銷本領(lǐng)、經(jīng)驗(yàn)、積極性、抱負(fù)、歸結(jié)為應(yīng)聘者的外露能力、討人喜歡的能力、經(jīng)驗(yàn)、專業(yè)能力4個(gè)方面，每一方面稱之為一個(gè)公共因子。企業(yè)可根據(jù)這4個(gè)公共因子的情況來(lái)衡量應(yīng)聘者的綜合水平。有八項(xiàng)指標(biāo)：固定資產(chǎn)利稅率、資金利稅率、銷售收入利稅率、資金利稅率、固定資產(chǎn)產(chǎn)值率、流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù)、萬(wàn)元產(chǎn)值能耗、全員勞動(dòng)生產(chǎn)率等。這八項(xiàng)指標(biāo)可概括為盈利能力、資金和人力利用、產(chǎn)值能耗三個(gè)方面。這三個(gè)方面在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中為主要因子，起著支配作用，企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益就要在這三個(gè)公共因子方面下功夫。因子分析的基本思想：是通過(guò)變量(或樣品)的相關(guān)系數(shù)矩陣(對(duì)樣品是相似系數(shù)矩陣)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能控制所有變量(或樣品)的少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變量(或樣品)之間的相關(guān)(相似)關(guān)系，但在這里，這少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量是因子分析分為兩類，即R型因子分析(對(duì)變量作因子分析)，Q型因子分析(對(duì)樣品作因子分析)。第二節(jié)第二節(jié)因子分析的數(shù)學(xué)模型有即ee1,…,ep)'稱作誤差或特殊因子。滿足假設(shè)：1)mp稱Fi為第i個(gè)公共因子，aij為因子載荷。因子分析與主成分的關(guān)系：X構(gòu)的一種模型。其次，主成分中aij唯一確定，但因子分析中，每個(gè)因子的系數(shù)不是唯一的。與多變量回歸分析不同，此處的“自變量”F是不可觀測(cè)的。2.公共因子：因子載荷和變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義。假定因子模型中，所有變量和因子都已標(biāo)準(zhǔn)化。(1)(1)因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義xiaiFainFmii1,…,p則aaikr(FkFj)aij由于Fk，F(xiàn)j不相關(guān)，且r(FjF1)1即(2)變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義：ij1ij(i1,…,p)稱作變量xi的共同度：var(x)mvar(aF)var()a2var(F)2ma22h22iijjiijjiijiiijj1即1hi2即共同度是公共因子所占的xi的方差，其共同度越大，說(shuō)明公共因子包含的xi的信息就越多。(3)公共因子Fj的方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷矩陣中列的平方和。稱sj為公共因子Fj對(duì)xi的貢獻(xiàn)，是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。第三節(jié)第三節(jié)因子載荷的估計(jì)方法pp其相應(yīng)的特征向量為e1,e2,…ep,(標(biāo)準(zhǔn)正交基)則：主成分ej與j的乘積。所以稱為主成分法。當(dāng)最后pm個(gè)特征根很小時(shí)，去掉m1m1當(dāng)最后pm個(gè)特征根很小時(shí)，去掉m1m1pp另外，當(dāng)未知時(shí)，用樣本協(xié)方差s代替，或樣本相關(guān)陣R代替。一般設(shè)第四節(jié)第四節(jié)因子旋轉(zhuǎn)建立因子分析數(shù)學(xué)模型的目的不僅是為了找出公共因子，更重要的是要知道每個(gè)公共因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。如果每個(gè)公共因子的涵義不清，不便于對(duì)實(shí)際背景進(jìn)行解釋，這時(shí)根據(jù)因子載荷陣的不唯一性，可對(duì)因子載荷陣實(shí)行旋轉(zhuǎn)，即用一個(gè)正交陣右乘使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，便于對(duì)公共因子進(jìn)行解釋。所謂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化就是使每個(gè)變量?jī)H在一個(gè)公共因子上有較大的載荷，而在其余公共因子上的載荷比較小。這種變換因子載荷的方法稱為因子旋轉(zhuǎn)。因子旋轉(zhuǎn)有方差最大正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)，此處只介紹方差最大正交旋轉(zhuǎn)。先考慮兩個(gè)因子的平面正交旋轉(zhuǎn)，設(shè)因子載荷矩陣為：r為正交矩陣。記(*)(*)這樣做目的是希望所得結(jié)果能使載荷矩陣的每一列元素按其平方值說(shuō)或者盡實(shí)際上是希望將變量x1,x2,…,xp分成兩部分，一部分主要與第一因子有關(guān)，另一b要盡可能地大，考慮各列的相對(duì)方差這里取bia2是為了消除符號(hào)不同的影響，除以hi2是為了消除各個(gè)變量對(duì)公共因子依賴程度不同的影響?，F(xiàn)在要求總的方差達(dá)到最大，即要求使b列兩列進(jìn)行，此時(shí)公式(*)中只需將aj1—)aja，aj2—)ajb就行了。因此到某一極限。例：考察我國(guó)各省市社會(huì)發(fā)展綜合狀況因子分析的基本思想：通過(guò)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能夠控制所有變量的少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量的少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，但在這里，這少數(shù).幾個(gè)隨機(jī)變量是不可觀測(cè)的，通常稱為因子。然后根據(jù)相關(guān)性的大小把變量分組，只得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同組的變量相關(guān)性較低。第一步：將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。第二步：建立變量的相關(guān)系數(shù)R。第四步：對(duì)因子載荷陣施行最大正交旋轉(zhuǎn)。第五步：計(jì)算因子得分。以下是我國(guó)各省市綜合發(fā)展情況做因子分析。數(shù)據(jù)表中選取了六個(gè)指標(biāo)分別是：人均GDP(元)X1，新增固定資產(chǎn)(億元)X2，城鎮(zhèn)居民人均年可支配收入(元)X3，農(nóng)村居民機(jī)家庭純收入(元)X4，高等學(xué)校數(shù)量(所)X5，衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù)量(所)X。地地區(qū)新增資城鎮(zhèn)人農(nóng)村人高校數(shù)衛(wèi)生機(jī)產(chǎn)均均量構(gòu)北京30.81623534955天津816449北677.761281933.9752354.5128634915遼寧610366719吉林328.6541黑龍江442748.515上海42456江蘇546342456浙江614941.88622129668721安徽252155.7456593福建6450620484537江西237626.286344734264河南247571.369湖北137.7542089744湖南270143.0146999137廣東638051.8226998848廣西277232.5247911海南4802547705251680.974002貴州22.0714云南249048.4840856395234426.31926215甘甘肅4131青海104.167夏857新疆26.654163數(shù)據(jù)來(lái)源《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》1、將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化2、建立六個(gè)指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)陣R3、共因子方差4、總方差解建立因子載荷陣：由于前三個(gè)特征值的累計(jì)貢獻(xiàn)率已達(dá)93.505%，所以取前三個(gè)特征值建立因子載6、對(duì)因子載荷陣施行方差最大旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得正交因子表矩陣如下：X1=0.947F1+0.178F2-0.115F3X2=0.940F1+0.105F2+0.261F3X3=0.893F1-0.0747F2+0.404F3X4=0.0364F1+0.9