高層結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移計算的一般方法課件

1.

高層結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移計算的一般方法

1.1高層建筑結(jié)構(gòu)考慮空間協(xié)同工作的矩陣分析方法

高層建筑結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與位移分析目前大體有兩類。一類是對高層建筑結(jié)構(gòu)引入較多的假定進行簡化計算,建立反映結(jié)構(gòu)內(nèi)力、位移與外荷載之間關(guān)系的微分方程式,用手算的辦法求解微分方程,從而求得內(nèi)力和位移。另一類是采用較少的計算假定,較為接近實際情況地考慮高層建筑結(jié)構(gòu)的空問協(xié)同工作,建立反映內(nèi)力、位移與外荷載關(guān)系的大型代數(shù)方程組,用電子計算機求解。本節(jié)介紹后一種計算方法。

1.1.1矩陣位移法的基本概念(一)結(jié)構(gòu)的計算圖形采用矩陣位移法分析時，可把高層建筑結(jié)構(gòu)視為桿件系統(tǒng)。其中包括兩種桿件：一種是普通框架的桿件，一種是由剪力墻、筒壁等構(gòu)成的壁式框架(圖1)桿件。

圖1-1

如果梁太高或太細,可按的大小適當調(diào)整剛域長度。剛域長度當算得為負值時，應(yīng)取為零。對于一般情況下的壁式框架,剛域長度可以按下式計算:對于柱

對于梁

在進行高層建筑結(jié)構(gòu)分析時，假定各片抗側(cè)力結(jié)構(gòu)在自身平面內(nèi)的剛度比出平面的剛度大很多，縱、橫兩個方向的抗側(cè)力結(jié)構(gòu)可以分劃成片、分別考慮；此時并假定樓板在自身平面內(nèi)的剛度為無限大,而出平面的剛度可以忽略不計。（二）矩陣位移法的概念

用矩陣位移法分析高層建筑結(jié)構(gòu)的基本步驟是:(1)分析各桿件的剛度,找出節(jié)點位移和桿件內(nèi)力的關(guān)系；

(2)形成單片抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的榀剛度矩陣,找出各片抗側(cè)力結(jié)構(gòu)節(jié)點位移與結(jié)構(gòu)內(nèi)力的關(guān)系；

(3)通過對每一榀抗側(cè)力結(jié)構(gòu)在每層上施加單位水平力求各層的水平位移，形成側(cè)向剛度矩陣，即找出抗側(cè)力結(jié)構(gòu)在各層樓面處的水平位移與外加水平力的關(guān)系；

(4)由樓板剛度無限大的假定,求出整個建筑物各層樓面處的位移(兩個方向的水平位移和轉(zhuǎn)角)和每一榀抗側(cè)力結(jié)構(gòu)水平位移的關(guān)系；

(5)由總的平衡條件,各榀抗側(cè)力結(jié)構(gòu)承受的水平力的合力應(yīng)與外力相平衡,水平力的合力矩應(yīng)與外力矩平衡,建立總的平衡方程；

(6)將各榀抗側(cè)力結(jié)構(gòu)所受水平力，通過本榀的水平位移來表示[見步驟(3)]，再通過步驟(4),用建筑物各層樓面處的總位移來表示,這樣，就建立了樓層外力與樓層位移的關(guān)系——總剛度矩陣。步驟(5)建立的總平衡方程成為樓層外力與樓層位移的相互關(guān)系；

(7)解方程,在已知外力的作用下求出建筑物每一層的位移；

(8)由步驟(4)求得每一榀抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的位移；

(9)由步驟(3)可求得每一榀抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的側(cè)向力；

(10)步由驟(2)求可節(jié)點位移和桿件內(nèi)力。1.1.2桿件的剛度矩陣1、等截面桿件的剛度矩陣桿件的桿端力與桿端位移的關(guān)系：式中為桿件剛度矩陣，是6×6對稱方陣。內(nèi)力與位移方向下以圖2所示。

LL圖1-2（1-8）（1-9）式（1-9）為等截面桿件考慮剪切變形和軸向變形時的桿件剛度矩陣。桿件中段的桿端位移、桿端力、

與真正位于節(jié)點處的桿端位移、桿端力、有如下關(guān)系:—桿件中段的桿端位移；—桿件中段的剛度矩陣；式中:2、帶剛域桿件的剛度矩陣帶剛域桿件兩端剛域部份的彎曲剛度假設(shè)為無限大。桿件中段的剛度矩陣則與等截面桿件相同,即:

—桿件中段的桿端力。（1-10）（1-11）為坐標變換矩陣為由此，對于帶剛域桿件，其桿端力與桿端位移的關(guān)系為式中：為帶剛域桿件的剛度矩陣。的轉(zhuǎn)置矩陣。（1-12）（1-13）圖1-3式中

（1-14）；；；；式中：、、、—中段截面的彈性模量、剪切模量、慣性矩和面積；、、—分別為桿端剛域和中段的長度。

—截面剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)；考慮桿件扭轉(zhuǎn)時，桿端扭矩和扭角如圖4所示。桿端扭矩與扭角的關(guān)系為3、桿件扭轉(zhuǎn)剛度矩陣式中：，—桿件中段的長度?！獥U件中段剪切模量和截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩；L0Mtk(θtk)Mtj(θtj)L0Mtk(θtk)Mtj(θtj)圖1-4（1-15）1.1.3

抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的剛度矩陣

抗側(cè)力結(jié)構(gòu)（框架、壁式框架）是由桿件在節(jié)點匯交而成的。由前述假定，抗側(cè)力結(jié)構(gòu)只有自身平面內(nèi)起作用，平面外的剛度忽略不計，因此，每一節(jié)點有三個未知位移，同時，對應(yīng)著三個外荷載─節(jié)點力?？箓?cè)力結(jié)構(gòu)如果有n個節(jié)點，則有3n個未知節(jié)點位移對應(yīng)3n個已知節(jié)點力，它們的關(guān)系是圖1-5節(jié)點位移與節(jié)點力（1-16）

式中

為抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，由每根桿件的剛度矩陣疊加而成。對于節(jié)點號為jk的桿件，

其剛度矩陣可分塊與j節(jié)點、k節(jié)點相對應(yīng)，

其中每個子矩陣為3×3，可疊加到總剛度矩陣中去，

疊加完畢、形成總剛度矩陣后，對于位移約束點（如底層固定點）的某一個的位移為零時，可令相應(yīng)于該位移分量的主對角元素為非常大的數(shù)（例如、等），則求解時，這些位移分量自動等于零。令荷載向量只在某一層（第i層）施加單位水平力，其余荷載值均為零，由下式可以求出相應(yīng)的位移是包含3n個位移的列向量。如果令橫梁的軸向剛度為無限大以對應(yīng)于樓板剛度無限大的假定，則同一層上各節(jié)點的水平位移都相同，可稱為樓層的水平位移。將各樓層的水平位移組成向量

（1-17）（1-18）這就是在第i層施加單位水平力時各層的水平位移，即結(jié)構(gòu)的側(cè)向柔度。同理，對各層施加單位水平力，就可以形成結(jié)構(gòu)的側(cè)向柔度矩陣

且（1-19）（1-20）角注x表示抗側(cè)力結(jié)構(gòu)是沿x方向布置得，相應(yīng)于x方向的水平力、x方向的側(cè)移U。同理，對于y方向的抗側(cè)力結(jié)構(gòu)，對于y方向水平力和y方向側(cè)移V也可以求出相應(yīng)的y方向柔度矩陣和剛度矩陣。由此，

U為樓層側(cè)向向量，為水平荷載向量。將抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的側(cè)向柔度矩陣求逆，可以得抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的側(cè)向剛度且（1-21）（1-22）（1-23）（1-24）（1-25）y

1.1.4在水平荷載作用下高層建筑結(jié)構(gòu)空間協(xié)調(diào)工作分析的基本公式

xOO′圖1-6

其中，（1-26）（1-27）x(j)jvsjiOusy(i)iO′θ

（1-28）（1-29）圖1-7

（1-30）（1-31）式中：

（1-32）（1-33）——第片抗測力結(jié)構(gòu)的柔度矩陣。

1.1.5抗側(cè)力結(jié)構(gòu)任意布置時的基本公式

式中：

120mr(m)（1-34）圖1-8式中：——第片抗測力結(jié)構(gòu)的柔度矩陣。

式中：（1-35）（1-36）式中：——第片抗測力結(jié)構(gòu)到坐標原點0的距離，包含其相應(yīng)的符號。式中：——樓層純扭矩向量，由式(4.1.24)及(4.1.25)表示。

（1-38）（1-37）式中：（1-39）(、

=1，2，3)均為階方陣。2.高層建筑結(jié)構(gòu)在地震荷載作用下的彈塑性動力分析2.1概述

對于高層建筑結(jié)構(gòu)，目前設(shè)計中常用的方法是反應(yīng)譜方法。它假定結(jié)構(gòu)是彈性體那樣受力和變形，把地震力折算為一種等效的水平靜力荷載，按彈性靜力分析方法進行內(nèi)力與位移計算。這種方法不能確切地反映建筑物在地震過程中的內(nèi)力與位移隨時間的反應(yīng)，也難以確切地估計建筑結(jié)構(gòu)在地震時可能出現(xiàn)的薄弱環(huán)節(jié)和可能發(fā)生的震害。因而，難以正確估計建筑物的抗震安全性。近年來，將建筑物作為彈塑性振動系統(tǒng)，直接輸入地震波，計算其在地震過程中的各種反應(yīng)值的彈塑性動力分析方法有了較快的發(fā)展，在工程中得到應(yīng)用并收到了一定的效果。振動體系在地震波作用下的振動方程是:（2-1）將上述方程按時間逐步積分，便可求解在各時刻的位移、速度、加速度，從而計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。在進行彈塑性動力分析時，要解決以下的問題：（1）輸入地震波的選擇；（2）質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣；（3）結(jié)構(gòu)的振動模型；（4）結(jié)構(gòu)在反復(fù)荷載下的內(nèi)力－位移關(guān)系；（5）動力方程的積分方法。目前，一般認為采用動力反應(yīng)分析可以達到以下目的：（1）通過動力反應(yīng)分析發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)，以便事先予以加強，這些弱點在靜力分析中往往是難以發(fā)現(xiàn)的。例如，通過動力分析往往發(fā)現(xiàn)高層建筑的頂層部分必須具有較大的延伸性，否則容易破壞，這就要求在設(shè)計中采取措施來加以實現(xiàn)；（2）能更合理地使用材料，該多用的部位和構(gòu)件則多用，該少用則少用，把材料用到最需要的地方去；（3）比較確切地預(yù)計地震時震害發(fā)生的部位和形態(tài)，以便在設(shè)計中予以注意，事先防范；（4）可以用動力反應(yīng)分析作為各種簡化計算方法的比較標準。當然，目前由于在地震波的選用、結(jié)構(gòu)模型的簡化等方面還有不完善之處，還有許多工作有待于深入，加之動力反應(yīng)分析要求計算機容量大、速度高，因此，要普遍推廣應(yīng)用也還有一定的困難。但對于重要的工程顯然宜采用動力反應(yīng)分析作為補充校核。2.2輸入地震波的選擇

高層建筑結(jié)構(gòu)彈塑性動力分析中所采用的輸入地震波有下列幾種：（1）擬建場地的實際地震記錄；（2）典型的強震記錄；（3）人工地震波。如果在擬建場地上有實際的強震記錄可供采用，則是最理想、最符合實際的情況的。但是，許多情況下擬建場地上并未得這種記錄，所以至今還難以實際應(yīng)用。按照擬建場地的地基和建筑物狀況，按概率方法人工地產(chǎn)生一種隨機的地震波，也是較合理的途徑；但這種隨機地震波如何產(chǎn)生卻存在許多問題，目前尚處于研究階段，在工程中應(yīng)用得較多的是一些典型的強震記錄。2.3振動體系的模型2.3.1

桿件系統(tǒng)振動模型

LEJMi(θi)Mj(θj)Ni(ui)Nj(uj)圖2-1（1）彈性小變形的桿元剛度矩陣。

每端考慮三個力與位移，桿端力與桿端位移的關(guān)系為

式中

當考慮剪切變形影響時，

其中為剪切力分布不均勻系數(shù)。當為帶剛域桿件時，

圖2-1帶剛域桿件

（2）考慮塑性變形時桿件的剛度矩陣。

實際長度為零圖2-2彈塑性變形的單分量模型

圖2-3彎矩－轉(zhuǎn)角曲線

ΔM=fik

ΔαiΔαj=0因此，桿件的剛度矩陣可以統(tǒng)一表示為

其中、的數(shù)值根據(jù)桿件所處的狀態(tài)由下表選?。?/p>

狀態(tài)端和端均為彈性11端塑性，端彈性或01端彈性，端塑性1或0端和端均為塑性或0或0當為帶剛域桿件時，

當為彈性時，p＝1；當為塑性時，取p為零。在帶剛域桿件中：

上述桿模型是很復(fù)雜的，特別對于高層建筑結(jié)構(gòu)，未知數(shù)很多，一榀普通平面框架就有上百個節(jié)點，幾百個廣義位移，求解未知量很大。加之在進行逐步積分時，積分次數(shù)很多，例如一般每秒鐘地震時間要積分100～500步，地震持續(xù)時間5～10秒，則積分次數(shù)達500～5000次。相當于要對高層建筑求解幾百幾千次。這樣大的運算量，即使是用大型高速計算機，也要耗費相當多的機時，不可能在工程設(shè)計中廣泛采用。至于中小型計算機中，則更難以實現(xiàn)。因此，在工程實用上，往往采用簡化的層模型。2.3.2剪切型層模型

當高層建筑結(jié)構(gòu)是橫梁較大的框架時，結(jié)構(gòu)的變形是剪切型的。圖2-4剪切型層模型

－層剪力；

在剪切型振動中，每層質(zhì)量為，阻尼為，剛度為：式中：－層間位移。

由可得即

就是動力方程中的剛度矩陣，它是三對角線的，求解比較方便。

2.3.1剪彎型層模型n21圖2-5

剪彎型層模型

mi式中：

2.4.1質(zhì)量矩陣[M]2.4.2阻尼矩陣[C]阻尼矩陣的影響因素較多，目前有以下幾種處理方法：(1)假定高振型的阻尼較小，[M]與[C]成正比2.4質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣(2)假定阻尼隨頻率加大而加大，即[C]與[K]成正比(3)認為[C]與[M]、[K]均有關(guān)系，為下列形式：

2.5

結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的恢復(fù)力特性

恢復(fù)力是指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在外荷載除去以后恢復(fù)原來形狀的能力，這反映了結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在受荷和變形之間的關(guān)系。當荷載較小時，這個關(guān)系是線性的，由胡克定律加以描述。當荷載超過一定范圍后，兩者的關(guān)系就成為非線性的了。用P值來表達進入彈塑性階段后剛度的變化。實際上，對于高層鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)和構(gòu)件來說，荷載—變形曲線是非常復(fù)雜的。因此，用作彈塑性動力分析的恢復(fù)力特性都作了一些簡化，成為一定的恢復(fù)力曲線模型。恢復(fù)力特性曲線應(yīng)當反映下列性質(zhì)：（1）在一次荷載作用下，應(yīng)是向上凸起的曲線；（2）隨著荷載的反復(fù)，變形加大，剛度不斷下降；（3）當荷載反向時，曲線趨向于前一個荷載的反向點；（4）結(jié)構(gòu)或構(gòu)件進入新的大變形時，曲線向上突起，在一個穩(wěn)態(tài)循環(huán)中，曲線成反S形；（5）隨加荷循環(huán)次數(shù)的增多，結(jié)構(gòu)逐漸損壞，達到同樣變形量的荷載值逐漸減少。在剪切破壞情況下，甚至荷載降低時位移繼續(xù)加大，出現(xiàn)負剛度；（6）曲線所包含的面積隨變形的增加而加大，而且增大的速度比變形增大的速度快；（7）當混凝土開裂時，曲線在該點有突變；框架恢復(fù)力特性曲線為了反映上述特性，目前關(guān)于恢復(fù)力特性數(shù)學(xué)模型的研究大致有兩種辦法：一種是尋找能包含全部恢復(fù)力特性的完整模型，用比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式予以描述；一種是采用分段線性的方式來加以簡化。采用分段線性的模型編制程序比較方便，實用上目前基本上都是采用這一種方法。分段線性的模型已經(jīng)有許多種。試驗表明：不管加荷過程有多么不同，各次循環(huán)反轉(zhuǎn)點的軌跡連成的曲線大體上相同，類似于一次加載時的荷載—變形曲線，這條曲線一般稱為“骨架曲線”?；謴?fù)力特性曲線可以根據(jù)骨架曲線自動決定滯回規(guī)律。根據(jù)骨架曲線的不同，相應(yīng)有不同的滯回曲線，它們的共同點是：（1）分段線性，各段直線由拐點的坐標和斜率確定，或

（2）骨架曲線對稱于坐標原點；（3）當荷載到達最大、最小值時，骨架曲線的斜率或者為零（有理想塑性段時），或者不為零（彈塑性段）；（4）當荷載反向時，如由彈塑性階段重新進入彈性階段，則斜率改變，這稱為退化；下面敘述幾個簡單的滯迥曲線模型，式中以Q-△關(guān)系表示，當為彎曲線時，代替為相應(yīng)的M-θ關(guān)系。（A）退化的理想彈塑性恢復(fù)力模型。

骨架曲線為理想彈塑性曲線，屈服值為，對應(yīng)位移為。曲線沿圖2-6的0，1，2，…順序前進。初始狀態(tài)下，，，；取，。以后，再下列狀態(tài)之一時，、、相應(yīng)改變：圖2-6退化理想彈塑性模型

（B）退化的三折線型恢復(fù)力模型。骨架曲線為三折線型，有兩個轉(zhuǎn)折點、，與混凝土開裂和屈服點相對應(yīng)，相應(yīng)位移為、。滯迥曲線沿圖2-7中0、1、2，…進行。初始狀態(tài)為，，，且，，。圖2-7退化三折線模型12，67，11，1617242514，234，13532010212218198，12，，，；，，；，，，，，，，，，，，，，，序號狀態(tài)應(yīng)改變的參數(shù)123456789（3）退化的雙線性模型。這里以水平力和水平位移x作為力和位移的關(guān)系。同樣也適用于之間的關(guān)系。123450圖2-8退化三折線模型

在首次彈性階段（0~1），剛度為彈性剛度，進入塑性階段后，剛度為，由塑性進入彈性時，剛度退化為，

——彈性極限水平力和位移；，——剛度退化系數(shù)；

——曾經(jīng)到達的同一個方向的最大位移。當x為正值時，

取最大正位移；當x為負值時，取最大負位移。其中：開始時，初始值為

式中：——由彈性轉(zhuǎn)入塑性時的水平力。

每計算一步以后，均需檢查是否滿足以下各項條件，如果滿足，則相應(yīng)地把計算參數(shù)予以改變。（a）如果滿足條件

則令

用作步長計算彈性位移，再用作步長，計算進入塑性階段的位移。（b）如果滿足條件

則表示由塑性階段進入彈性階段，令，并計算彈性階段的剛度退化系數(shù)：并計算下一次由彈性