2021年上海市松江區(qū)第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2021年上海市松江區(qū)第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)數(shù)列（n∈N*）是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，d為公差，且<，＝，給出下列五個(gè)結(jié)論，正確的個(gè)數(shù)為（

）①d<0；

②＝0；

③＝－；④＝；

⑤與均為的最大值.

A．2個(gè)

B．3個(gè)

C．4個(gè)

D．5個(gè)參考答案：D略2.定義為n個(gè)正數(shù)p1，p2，…pn的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】類比推理．【專題】新定義；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通項(xiàng)an，最后利用裂項(xiàng)法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，驗(yàn)證知當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴an=4n﹣1，∴，∴∴=+（）+…+（）=1﹣=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．3.若則

（

）A.

B.C.

D.參考答案：A4.拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A

B

C

D參考答案：B略5.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)，則的最小值是（

）(A)5

(B)

(C)4

(D)參考答案：B略6.“”是“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得圖象充分；而當(dāng)圖象重合時(shí)可得，k∈Z，由充要條件的定義可得．【解答】解：當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)g（x）=sin（x+）=cosx，故圖象重合；當(dāng)“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”時(shí)，可取，k∈Z即可，故“”是“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”的充分不必要條件．故選A7.某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)（單位：元）與每天的銷售量（單位：個(gè)）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：1617181950344131由上表可得回歸直線方程中的，據(jù)此模型預(yù)計(jì)零售價(jià)定為15元時(shí)，每天的銷售量為（

）

A、48個(gè) B、49個(gè) C、50個(gè) D、51個(gè)參考答案：B略8.已知數(shù)列滿足，則（

）

A.0

B.

C.

D.6參考答案：B9.拋物線：的焦點(diǎn)是，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.．曲線f（x）=2alnx+bx（a＞0，b＞0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為2，則的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．3參考答案：B【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即有2a+b=2，則=（2a+b）（+）=（8+2++），運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：f（x）=2alnx+bx（a＞0，b＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=+b，可得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為2a+b，即有2a+b=2，則=（2a+b）（+）=（8+2++）≥（10+2）=×（10+8）=9．當(dāng)且僅當(dāng)b=4a=時(shí)，取得最小值9．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正方體中，二面角的大小為_(kāi)_________．參考答案：略12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

參考答案：（或）略13.已知實(shí)數(shù)x，y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0，則x+2y的最小值等于．參考答案：﹣2﹣1【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【分析】將x2+4y2﹣2x+8y+1=9化簡(jiǎn)為（x﹣1）2+4（y+1）2=4，利用換元法，令，通過(guò)三角函數(shù)的有界性，求出最小值即可．【解答】解：由題意：x2+4y2﹣2x+8y+1=0，化簡(jiǎn)為（x﹣1）2+4（y+1）2=4，令，θ∈[0，2π）．則：x=2cosθ+1，y=sinθ﹣1．所以：x+2y=2cosθ+1+2sinθ﹣2=2cosθ+2sinθ﹣1=2sin（）﹣1∵sin（）的最小值為﹣1，∴x+2y的最小值﹣2﹣1．故答案為：﹣2﹣1．14.過(guò)兩平行平面α、β外的點(diǎn)P兩條直線AB與CD，它們分別交α于A、C兩點(diǎn)，交β于B、D兩點(diǎn)，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，則ＢD的長(zhǎng)為_(kāi)______．參考答案：12略15.數(shù)列……的前100項(xiàng)的和等于

。

參考答案：略16.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ① ②AB與CM所成的角為600③EF與MN是異面直線 ④以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_______.參考答案：1,3略17.的內(nèi)角對(duì)邊分別為，且b＝1，c＝2，如果是銳角三角形，則a的取值范圍是_______________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在底面為平行四邊形的四棱錐P--ABCD中，PA平面ABCD，ABAC，E是PD的中點(diǎn)。（1）求證：PBAC（2）求證：PB//平面AEC參考答案：（1）ACAB,PAAC,ABAC=AAC面PAB，PB面PABACPB（2）連BD交AC于點(diǎn)O，OE是三角形PBD的中位線OE//PB,PB面AEC，OE面AEC，PB//面AEC19.（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求證：+≥4．（2）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）由題意可得+=（+）（x+y）=2++，由基本不等式可得；（2）由題意和基本不等式可構(gòu)造關(guān)于x+y的不等式，解不等式可得．【解答】解：（1）證明：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴+=（+）（x+y）=2++≥2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)=即x=y=時(shí)取等號(hào)．∴+≥4；（2）∵x2+y2+xy=1，∴（x+y）2﹣xy=1，∴（x+y）2﹣1=xy≤，解關(guān)于x+y的不等式可得0≤x+y≤∴x+y的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式求最值和證明不等式，屬基礎(chǔ)題．20.（本小題滿分12分）設(shè)復(fù)數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的值。參考答案：21.（本小題滿分12分）已知的頂點(diǎn)，在橢圓上，在直線上，且.（1）當(dāng)邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積；（2）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程．參考答案：（1）∵，且邊通過(guò)點(diǎn)，∴直線的方程為．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為．由，得．…3分∴．又邊上的高等于原點(diǎn)到直線的距離．∴，．（2）設(shè)所在直線的方程為，由得．因?yàn)锳,B在橢圓上，所以．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，，所以．又因?yàn)榈拈L(zhǎng)等于點(diǎn)到直