行列式與克萊默

§1.1

二階、三階行列式，全排列及其逆序數(shù)§1.2

n

階行列式的定義§1.3

行列式的性質(zhì)（1）§1.4

行列式性質(zhì)（2）§1.5

克萊姆法則第1頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)二、三階行列式全排列及其逆序數(shù)第2頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、二階行列式與三階行列式注：該定義稱之為對(duì)角線法則。第3頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.全排列：把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列（簡(jiǎn)稱排列）。2.逆序：對(duì)于n個(gè)不同的元素，先規(guī)定各元素之間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（如n個(gè)不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大）于是在這n個(gè)元素的任一排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就稱這兩個(gè)元素構(gòu)成了一個(gè)逆序。二、全排列與逆序數(shù)第4頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.逆序數(shù)：一個(gè)排列中所有逆序的總和稱之為這個(gè)排列的逆序數(shù)。4.奇排列與偶排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。5.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法：

不妨設(shè)n個(gè)元素為1至n這n個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。設(shè)p1p2…pn為這n個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列，考慮元素pi(i=1,2,…n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有τi個(gè)，就說(shuō)第5頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

pi這個(gè)元素的逆序數(shù)是i，即：

(p1p2…pn)=

1+

2+…+

n

就是這個(gè)排列的逆序數(shù)。例1求排列13…(2n

1)24…(2n)的逆序數(shù)。解：在該排列中，1～(2n1)中每個(gè)奇數(shù)的逆序數(shù)全為0，2的逆序數(shù)為(n

1)，4的逆序數(shù)為(n

2),…，(2n

2)的逆境序數(shù)為1，2n的逆序數(shù)為0，于是該排列的逆序數(shù)為第6頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2在1~9構(gòu)成的排列中,求j、k，使排列1274j56k9為偶排列解：由題可知，j、k的取值范圍為{3，8}當(dāng)j=3、k=8時(shí)，經(jīng)計(jì)算可知，排列127435689的逆序數(shù)為5，即為奇排列當(dāng)j=8、k=3時(shí)，經(jīng)計(jì)算可知，排列127485639的逆序數(shù)為10，即為偶排列∴j=8，k=3第7頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3設(shè)排列p1p2p3…pn的逆序數(shù)為k，求pn…p3p2p1的逆序數(shù)（p1p2p3…pn是1～n的某一排列）解：∵排列p1p2p3…pn與排列pn…p3p2p1的逆序數(shù)之和等于1～n這n個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)的組合數(shù)即

：

第8頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第9頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)n階行列式的定義第10頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有n2個(gè)數(shù)，排成n行n列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，并冠以符號(hào)(-1)τ，得形如的項(xiàng)，其中p1p2…pn為自然數(shù)1、2、…、n的一個(gè)一、定義第11頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排列，τ為這個(gè)排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n!個(gè)，因而形如(1)式的項(xiàng)共有n!項(xiàng)。所有這n!項(xiàng)的代數(shù)和第12頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中p1p2…pn是1～n的任一排列，是排列p1p2…pn的逆序數(shù)，即=(p1p2…pn)。二、幾個(gè)特殊的行列式第13頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第14頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第15頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)位置，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的過(guò)程叫做對(duì)換。將相鄰兩元素對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換。定理1 :對(duì)換一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素，排列改變奇偶性。證明：該定理的證明可分為兩步來(lái)證。第一步來(lái)證明相鄰對(duì)換的情況,第二步證明一般情況。三、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系第17頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此可見(jiàn)，相鄰對(duì)換將改變排列的奇偶性。再證一般情況，設(shè)：第18頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把(1)作n+1次相鄰對(duì)換得(2)，把(2)再作n次相鄰對(duì)換可得(3)，即共作了2n+1次相鄰對(duì)換由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相鄰對(duì)換，排列的奇偶性改變一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改變了2n+1次，即由原來(lái)的奇排列就變成了偶排列或由原來(lái)的偶排列變成了奇排列。▌第19頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理2：n元排列共有n!個(gè)，其中奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有n!/2個(gè)。證：設(shè)奇排列有p個(gè)，偶排列有q個(gè)。將每個(gè)奇排列的頭兩個(gè)數(shù)對(duì)換，則得一個(gè)偶排列，說(shuō)明有多少奇排列，就至少有多少個(gè)偶排列。反之亦然，因此，p=q。定理3：任意一個(gè)n元排列都可以經(jīng)過(guò)一些對(duì)換變成自然排列，并且所作對(duì)換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性。第20頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、行列式的等價(jià)定義第21頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、關(guān)于等價(jià)定義的說(shuō)明第22頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第23頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這就表明，對(duì)換乘積項(xiàng)中兩元素的位置，從而行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時(shí)做了相應(yīng)的對(duì)換，但行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性并不改變。第24頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理4第25頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5寫(xiě)出四階行列式中含有因子的項(xiàng)。例6若為四階行列式的項(xiàng)，試確定i與k，使前兩項(xiàng)帶正號(hào)，后一項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。第26頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第27頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)行列式的性質(zhì)(1)第28頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第29頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第30頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第31頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第33頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第34頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第35頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第36頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第37頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第38頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第39頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第40頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在利用行列式性質(zhì)(1)進(jìn)行行列式計(jì)算時(shí)，基本的思路是把行列式化成三角行列式，當(dāng)然在化的過(guò)程中也要兼顧其它性質(zhì)的應(yīng)用。第41頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第42頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第43頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第44頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第45頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第46頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第47頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第48頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第49頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第50頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第51頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第52頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)行列式的性質(zhì)(2)第53頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在n階行列式中，把元素aij所在的第i行第j列劃去后，留下來(lái)的n-1階行列式叫做元素aij余子式，記作Mij；記Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式。一、余子式與代數(shù)余子式第54頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第55頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、k階子式及其余子式和代數(shù)余子式在n階行列式D中任選k行k列，位于這k行k列的交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素按原來(lái)的位置組成的k階行列式M叫做D的一個(gè)k階子式。在D中劃去M所在的行與列，剩下的元素按原來(lái)的位置組成的n-k子式N叫做M的余子式。設(shè)M所在的行數(shù)與列數(shù)依次為i1<i2<…<ik，j1<j2<…<jk，M的余子式N乘以叫做M的代數(shù)余子式。第56頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月M是D的一個(gè)2階子式，N是M的一個(gè)余子式，A是M的一個(gè)代數(shù)余子式第57頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第58頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第59頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第60頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：第61頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：第62頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第63頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第64頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第65頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第66頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第67頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第68頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第69頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第70頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)克萊姆法則第71頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、線性方程組第72頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、克萊姆法則第73頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第74頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第75頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第76頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第77頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第78頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1：方程組(1)一定有解，且解是唯一的充要條件是線性方程組(1)的系數(shù)行列式D≠0。定理2：如果線性方程組(1)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必等于零，即D=0。定理3：齊次方程組(2)只有零解，而沒(méi)有非零解的充要條件是齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D≠0。定理4：齊次方程組(2)有非零解的充要條件是齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D=0。三、幾個(gè)相關(guān)定理第79頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第80頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作