廣西壯族自治區(qū)南寧市愛(ài)華學(xué)校高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市愛(ài)華學(xué)校高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知O、A、B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測(cè)繪隊(duì)員在A、B之間的直線公路上任選一點(diǎn)C作為測(cè)繪點(diǎn)，用測(cè)繪儀進(jìn)行測(cè)繪，O地為一磁場(chǎng)，距離其不超過(guò)km的范圍內(nèi)會(huì)測(cè)繪儀等電子儀器形成干擾，使測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是（）A．1﹣ B． C．1﹣ D．參考答案：A【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】作出圖形，以長(zhǎng)度為測(cè)度，即可求出概率．【解答】解：由題意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地為一磁場(chǎng)，距離其不超過(guò)km的范圍為個(gè)圓，與AB相交于C，D兩點(diǎn)，作OE⊥AB，則OE=，所以CD=2，所以該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是1﹣=1﹣．故選：A．2.已知，則、、的大小關(guān)系是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.

B.(0,3)

C.(1,4)

D.

參考答案：D略5.已知、均為單位向量，它們的夾角為，那么等于（

）A.

B.

C.

D.4參考答案：C6.c≠0是方程ax2+y2=c表示橢圓或雙曲線的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．不充分不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；橢圓的定義；雙曲線的定義．【分析】想使方程表示橢圓或雙曲線必須是c≠0，進(jìn)而推斷出條件的必要性，進(jìn)而舉c=1．a(chǎn)=1時(shí)方程并不表示橢圓或雙曲線，推斷出條件的非充分性．【解答】解：方程ax2+y2=c表示雙曲線，則c≠0，反之若a=1，c=1，則不能表示橢圓或雙曲線．故c≠0是方程ax2+y2=c表示橢圓或雙曲線的必要不充分條件．故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓或雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、必要條件、充分條件與充要條件的判斷．考查了學(xué)生對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用．7.設(shè)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(5)等于（

）A、0

B、1

C.

D、5參考答案：C略8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A．B．

C．D．參考答案：D9.雙曲線的兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為

A．2 B. C. D.參考答案：C10.命題“若－1＜x＜1，則x2＜1”的逆否命題是()A.若x≥1或x≤－1，則x2≥1

B.若x2<1，則－1<x<1C.若x2>1，則x>1或x<－1

D.若x2≥1，則x≥1或x≤－1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若是純虛數(shù)，則的值為

．參考答案：

.12.某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望Eξ＝8.9，則y的值為______.參考答案：0.4；13.不等式恒成立，則的最小值為

；參考答案：略14.設(shè).則++…+=

。參考答案：16384=415.從下面的等式中，，....

你能猜想出什么結(jié)論

.參考答案：16.將2名女生，4名男生排成一排，要求女生甲排在女生乙的左邊（不一定相鄰）的排法總數(shù)是____

參考答案：36017.記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，則不同的排法有

．參考答案：144三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知集合．對(duì)于A的一個(gè)子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)于S中的任意一對(duì)元素，，都有，則稱S具有性質(zhì)P．（1）當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由．（2）若時(shí)①若集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否一定具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由；②若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值．參考答案：（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析.試題分析：（1）當(dāng)時(shí),,結(jié)合新定義的性質(zhì)P可知集合不具有性質(zhì).集合具有性質(zhì).（2）當(dāng)時(shí),,①若集合具有性質(zhì),那么對(duì)于中的任意兩個(gè)元素,存在成立,則對(duì)于中的任意兩個(gè)元素成立,所以集合一定具有性質(zhì).②已知,設(shè)是中最小的元素,則,并且.可得集合中元素最多的理想狀態(tài)是集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多出一整組（個(gè)）,即有組元素在集合中,組元素不在集合中,此時(shí)滿足.很明顯不存在滿足上式的,理想狀態(tài)不存在.接下來(lái),令集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多個(gè),討論可得集合中元素個(gè)數(shù)的最大值是.試題解析：（1）當(dāng)時(shí),,,對(duì)于中的任意兩個(gè)元素,不存在,所以集合不具有性質(zhì).,對(duì)于中的任意兩個(gè)元素,存在,所以集合具有性質(zhì).（2）當(dāng)時(shí),,①若集合具有性質(zhì),那么對(duì)于中的任意兩個(gè)元素,存在成立,集合{},則對(duì)于中的任意兩個(gè)元素,一定存在成立,所以集合一定具有性質(zhì).②已知,設(shè)是中最小的元素,則有,并且,并且,以此類推,并且.因?yàn)橐蠹现性貍€(gè)數(shù)的最大值,不妨從集合中排除不滿足條件的元素.令,則有,并且.故集合中的元素被分為兩部分,從開始以個(gè)數(shù)為一組進(jìn)行分組,第一組的元素在集合中,第二組的元素不在集合中,第三組的元素在集合中,第四組的元素不在集合中,以此類推,一直到集合中沒(méi)有元素.所以集合中元素最多的理想狀態(tài)是集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多出一整組（個(gè)）,即有組元素在集合中,組元素不在集合中,此時(shí)滿足.因?yàn)槭瞧鏀?shù),是偶數(shù),所以為偶數(shù),則有.然而是質(zhì)數(shù),不存在滿足上式的,理想狀態(tài)不存在.接下來(lái),令集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多個(gè),此時(shí)滿足,即,此時(shí)顯然越大,集合中元素越多.取,得,此時(shí)集合中元素最多,為.所以,集合中元素個(gè)數(shù)的最大值是.點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）令，若對(duì)任意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求實(shí)數(shù)k的最大整數(shù).參考答案：（1）見(jiàn)解析（2）7【分析】（1）討論和兩種情況；（2）由成立轉(zhuǎn)化為，分離k,構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）此函數(shù)的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.（2）由（Ⅰ）知恒成立，則只需恒成立，則，令則只需則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即的最大整數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最值，考查雙變?cè)愠闪?wèn)題，綜合性強(qiáng),第二問(wèn)轉(zhuǎn)化為是關(guān)鍵.20.已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，求出切線斜率，即可求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）先求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)，分情況討論讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立轉(zhuǎn)化為h（x0）＜0，即函數(shù)在上的最小值小于零；再結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論分情況討論求出其最小值即可求出a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣lnx，，f（1）=1，f'（1）=0，切點(diǎn)（1，1），斜率k=0∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y=1（Ⅱ），∴h′（x）=①當(dāng)a+1＞0時(shí)，即a＞﹣1時(shí)，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上單調(diào)遞減，在（1+a，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)1+a≤0，即a≤﹣1時(shí)，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（Ⅲ）在上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在上存在一點(diǎn)x0，使得h（x0）＜0，即函數(shù)在上的最小值小于零．由（Ⅱ）可知：①1+a≥e，即a≥e﹣1時(shí)，h（x）在上單調(diào)遞減，所以h（x）的最小值為h（e），由h（e）=e+﹣a＜0可得a＞，因?yàn)椋緀﹣1，所以a＞；②當(dāng)1+a≤1，即a≤0時(shí)，h（x）在上單調(diào)遞增，所以h（x）最小值為h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；③當(dāng)1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1時(shí)，可得h（x）最小值為h（1+a），因?yàn)?＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此時(shí)，h（1+a）＜0不成立綜上可得所求a的范圍是：a＞或a＜﹣2．21.下面是描述求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的過(guò)程的程序框圖，請(qǐng)問(wèn)虛線框內(nèi)是什么結(jié)構(gòu)？參考答案：虛線框內(nèi)是一個(gè)條件結(jié)構(gòu).22.為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲～１８歲的男生體重(kg)，得到頻率分布直方圖如下：求：（1）根據(jù)直方圖可得這100名學(xué)生中體重在(56，64)的學(xué)生人數(shù).（2）請(qǐng)根據(jù)上面的頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)17.5-18歲的男生體重.（3）若在這100名男生中隨意抽取1人，該生體重低于62的概率是多少？參考答案：（1）40；（2）65.2kg；（3）P=0.28【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖的性質(zhì)，即可求解這100名學(xué)生中體重在（56，64）的學(xué)生人數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中樣本的平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；（3）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求得樣本數(shù)據(jù)中低于62kg的頻率