全等三角形得相關(guān)模型地地總結(jié)匯總情況情況

全等的相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型應(yīng)用1.角平分性質(zhì)模型：如圖1,在AABC中,ZC，900'AD平分"AB,BC，6cm,BD，4cm,那么點(diǎn)D到直線AB的距離是 cm.如圖2已知，Z1=Z2，Z3=Z4.求證：AP平分ZBAC.（提示：作丄AB交AB于點(diǎn)E）€Z1=Z2，?PM，PN，€Z3=Z4，?PN，PQ，?PM，PQ,?PA平分ZBAC（2）?模型鞏固:練習(xí)一：如圖3,在四邊形ABCD中，BC>AB,AD=CD,BD平分ZBAC.

?求證：，A+，C二180€A圖3練習(xí)二：已知如圖4,四邊形ABCD中，,B+,D=1800,BC二CD.求證：AC平分,BAD?練習(xí)三：如圖5,RtAABC中,，ACB二900，CD丄AB，垂足為D，AF平分,CAB，交cd于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.⑴求證：CE=CF.⑵將圖5中的△ADE沿AB向右平移到AA，D，E，的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其他條件不變，如圖6所示，是猜想：BE于CF又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.圖5 圖6練習(xí)四：如圖，ZA=90。，AD〃BC，是A的中點(diǎn)， 呼分ZADC.

求證：C平分ZDCB.練習(xí)五：如圖，B>CZ的平分線與BC的垂直平分線相交于D,自D作D丄BD丄C垂足分別為，.求證：BC圖8練習(xí)六：如圖9所示，在AABC中，BC邊的垂直平分線DF交ABAC的外角平分線AD于點(diǎn)D,F為垂足，DE丄AB于E,并且AB>AC。求證：BE—AC=AE。練習(xí)七：如圖10,D、E、F分別是AABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF,且ADCE的面積與厶DBF的面積相等，求證：AD平分ZBACo2?角平分線+垂線，等腰三角形比呈現(xiàn)

輔助線：延長ED交射線OB于F①.如圖1所示，在厶ABC中，ZABC=3ZC,①.如圖1所示，在厶ABC中，ZABC=3ZC,AD是ZBAC的平分線，BE丄AD于F。求證：BE€2（AC-AB）證明：延長BE交AC于點(diǎn)F。②.已知：如圖，在MBC中，ZBAC的角平分線AD交BC于D,且AB=AD,作CM丄AD交AD的延長線于M.求證：AM=2(AB?AC)圖2分析：此題很多同學(xué)可能想到延長線段CM,但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論毫無關(guān)系。而此題突破口就在于AB=AD，由此我們可以猜想過C點(diǎn)作平行線來構(gòu)造等腰三角形.證明：過點(diǎn)C作CE〃AB交AM的延長線于點(diǎn)E.例題變形:如圖,€1=€2B為AC的中點(diǎn)CM丄FB于M,AN丄FB于N.例題變形:如圖,求證：①EF=2BM；FB=^(FM+FN).(3)?模型鞏固:練習(xí)一、如圖，△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,B平分ZABC交AC于點(diǎn)，C垂直于B，交B的延長線于點(diǎn)。求證：B=C練習(xí)一變形：如圖4練習(xí)一變形：如圖4,在AODC中,ZD€90o,EC是ZDCO的角平分線,過點(diǎn)E作EF丄OC交OC于點(diǎn)F.猜想：線段EF與OD之間的關(guān)系，并證明.圖4練習(xí)二、如圖5,已知△ABC中，CE平分ZACB,且AE丄CE,ZAED+ZCAE=180度，求證:DE〃BC練習(xí)三、如圖6,AD丄DC,BC丄DC,E是DC上一點(diǎn)，AE平分ZDAB,BE平分ZABC,求證：點(diǎn)E是DC中點(diǎn)。練習(xí)四、①、如圖7(a),BD、CE分別是€A的外角平分線，過點(diǎn)A作AD丄BD、AE丄CE，垂足分別是D、E，連接DE.求證：DE〃BC,DE=2(AB+BCACC圖7(圖7(a)圖7(b)圖7(c)、如圖7(b),BD、CE分是€ABC的內(nèi)角分線其條 件變、如圖7(c),BD%€ABC的內(nèi)角平分線，CE%€ABC的外角平分線，其他條件不變.則在圖7(b)、圖6(c)兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與€ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜測，并證明你的結(jié)論?(提示：利用三角形中位線的知識證明線平行)練習(xí)五、如圖8,在直角三角形ABC中，?C=90。，?A的平分線交BC于D.自C作CG丄AB交AD于E，交AB于G.自D作DF丄AB于F，求證：CF丄DE.

練習(xí)六、如圖所示，在€ABC中，AC>AB,M為BC的中點(diǎn)，AD是,BAC的平分線，若CF丄AD且交AD的延長線于F，求證MF=-?AC-AB….2練習(xí)六變形一：如圖10所示，AD是€ABC中,BAC的外角平分線，CD丄AD于D,E是BC的中點(diǎn)，求證DE〃AB且DE=|(AB+AC).練習(xí)六變形二：如圖所示，在€ABC中，AD平分,BAC,AD=AB,CM丄AD于M,求證AB+AC=2AMD練習(xí)七、如圖12，在€ABC中，,B=2,C，,BAC的平分線AD交BC與D.則有AB+BD=AC.那么如圖13，已知在€ABC中，也ABC=3,C，,1=,2，BE丄AE.求證：AC—AB=2BE.

圖12 圖13練習(xí)八、在AABC中，AB€3AC,ZBAC的平分線交BC于D,過B作BE丄AD,E為垂足，求證:AD€DE?練習(xí)九、AD是練習(xí)九、AD是AABC的角平分線,

求證：AF€FB?BE丄AD交AD的延長線于E,EF〃AC交AB于F?3?角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形的輔助線都是在射線OA上取點(diǎn)使OB=OA，從而使AOACSOBC.(1(1).例題應(yīng)用：①、在△ 中，Z于，求證：6Z°，平分Z交于，平分Z交思路分析：)題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。)解題思路：本題要證明的是 =形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^作的平行線。得△。得到， ，只要再證出 就可以了。解答過程：圖⑴TOC\o"1-5"\h\z證明：如圖（），過作〃交于，AZO =- 0- ° °,又TZO+ °,AZOq又TZ OA ,???△ QA , ,又??? 〃 ,AZ O ,又TZ OBAZ O ,A ,又TZA+ °,ZPA°,AZZ,解題后的思考：()本題也可以在上截取，連，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。()本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖()，過作〃交于，則△ 從而得以解決。如圖（3）,過0作DE/7BC交AB于D,交AC于E,則色ADO^AAQO,△AB0空△AEO從而得以解決□③如圖（4）,過P作PDZ/BQ交AB的延長線于D,則AAPD空AAPC從而得以解決?，則△ 從而得以解決。圖⑸小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對三角形作了一個以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。②、如圖所示，在€ABC中，AD是ZBAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB,PC與AB,AC的大小，并說明理由.【解析】

【解析】如圖所示，在AB的延長線上截取AE€AC，連接PED如圖所示，在AB的延長線上截取AE€AC，連接PED故ZCAP=ZEAPD在,ACP和AAEP中，AC€AE,ZCAP=ZEAP,AP公用，因此AACP竺AAEP,從而PC€PED在ABPE中，PB+PE?BE,而BE€BA+AE€AB+AC,故PB+PC?AB+ACD變形：在,ABC中，AB?AC,AD是ZBAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn).求證：AB—AC?PB—PC.【解析】 在AB上截取AE€AC，連結(jié)EP，根據(jù)SAS證得AAEPD,ACP,DPE=PC,AE=AC又,BEP中，BE?PB—PE,BE=AB—AC,DAB—AC?PB—PC（2）、模型鞏固：練習(xí)一、.如圖，在厶ABC中，AD丄BC于D,CD=AB+BD,ZB的平分線交AC于點(diǎn)E,求證：點(diǎn)E恰好在BC的垂直平分線上。練習(xí)二、如圖，已知△ABC中，AB=AC,ZA=100°,ZB的平分線交AC于D,求證：AD+BD=BC A練習(xí)三、如圖，已知△ABC中，BC=AC,ZC=90°,ZA的平分線交BC于D,求證：AC+CD=AB練習(xí)四、已知：在厶ABC中，€B的平分線和外角€ACM的平分線相交于D,D,BC,交AC于EE,交AB于F,求證：EF，BF-CE練習(xí)五、在△ABC中，AB，2AC,AD平分€BAC，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)CE，求證：BD，2CE變式：已知：在厶ABC中，€B，2€C,BD平分€ABC，AD丄BQ于D,1求證:BD，-AC求證:2練習(xí)七、已知如圖，在四邊形 中,交于點(diǎn)練習(xí)七、已知如圖，在四邊形 中,交于點(diǎn)P.求證：ZAPB=ZCPDZA+C的外角平分線與ZCDA的外角平分線練習(xí)六、已知：如圖，在四邊形占中，〃平分Z〃的延長線交于點(diǎn)求證：（） ；

練習(xí)八、如圖，在平行四邊形ABCD（兩組對邊分別平行的四邊形）中，E,F分別是AD,AB邊上的點(diǎn)，且BE、DF交于G點(diǎn)，BE=DF,求證：GC是ZBGD的平分線。練習(xí)九、如圖，在厶ABC中，ZACB為直角，CM丄AB于， 平分ZBAC交于，交于，過作〃交于，求證：練習(xí)十、如圖所示，已知€ABC中，AD平分ZBAC，E、F分別在BD、AD上.DE，CD，EF，AC.求證：EF〃AB【補(bǔ)充】如圖，在€ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF〃AD交CA的延長線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G，若BG=CF，求證：AD為,BAC的角平分線.4.中考巡禮：(1)?如圖1,OP是Z 的平分線，請你利用圖形畫一對以為所在直線為對稱軸的全等三角形，請你參考這個全等三角形的方法，解答下列問題。①、如圖，在厶中，Z是直角，Z0,、是ZAZ 的角平分線,相交于點(diǎn)，請你判斷并寫出與之間的數(shù)量的關(guān)系。②、如圖3在^中，Z 不是直角，而()中的其他條件不變，請問，()中的結(jié)論是否任然成立若成立，請證明；若不成立，請說明理由。(2)?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B(-1,0)，C(1,0)D為y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)A為第二象限內(nèi)一動點(diǎn)，且ZBAC=2ZBDO,過點(diǎn)D作DM丄AC于M,、求證：ZABD=ZACD；、若點(diǎn)E在BA的延長線上，求證：AD平分ZCAE；

二、等腰直角三角形模型1?在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等:操作過程:（1） ?將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)900，使△ACM竺AABD,從而推出厶ADM為等腰直角三角形.（但是寫輔助線時不能這樣寫）（2） ?過點(diǎn)C作MC丄BC,連am導(dǎo)出上述結(jié)論.2?定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，動點(diǎn)在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：(2)?使ZEDF+ZBAC=1800，導(dǎo)出△BDF^^ADE.

(1)、例題應(yīng)用:在等膜直角△且EC中，^BAC=9^,點(diǎn)3?島在斜邊眈上滑動，且口142好是探究陰人磁V、GV±間的數(shù)量關(guān)系.①APC±BC解析:方法一:過點(diǎn)APC±BC解析:方法一:過點(diǎn)C作過點(diǎn)段作2V遲"G使川遲=匚館連方法二：2?兩個全等的含3。說(Ffi的三角板.4Z＞爵U三角板』EG如圖所示放置,丑、￡、G點(diǎn)在一條直線上，連接召D,取WD的中點(diǎn)甘，連接倔，是判斷△EVC的形狀，并證明你的結(jié)論.②證明：方法一：連接AM,證明△MDE^^MAC.特別注意證明/MDE=/MAC.方法二：過點(diǎn)M作MN丄EC交EC于點(diǎn)N,得出MN為直角梯形的中位線，從而導(dǎo)出5MEC為等腰直角三角形.①已知：如圖所示， △中， =ZCAC€90。，o為BC中點(diǎn)，若M、N分別在線段AC.AB上移動，且在移動中保持AN=CM.、是判斷AOMN的形狀，并證明你的結(jié)論.、當(dāng)M、N分別在線段AC.AB上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？思路：兩種方法:

②在正方形中,,求②在正方形中,,求ZBAE=ZDCF為多少度.提示如右圖:3?構(gòu)造等腰直角三角形（1） 、利用以上的1和2都可以構(gòu)造等腰直角三角（略）；（2） 、利用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角.如下圖：例題應(yīng)用：已知：平面直角坐標(biāo)系中的三個點(diǎn)，A'0）'B2,O'C€°,3）,求ZOCA+ZOCB的度數(shù).例題應(yīng)用：如圖，在等腰直角△SAGAC=BC, P^AABC^］部一點(diǎn)，滿足PE二PC,且FUC求證=^BCP=15C.從而造出又根據(jù)

從而造出又根據(jù)Z€A\!=9Oz，可得Z€A\!=9Oz，可得^CAP=y.\:，再由于AP=AC，故而得到^4CjF=_5：從而得證.例題拓展：若△ABC不是等腰直角三角形，即其他條件不變，求證：Z2=2Z1.練習(xí)鞏固：在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,3),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0,當(dāng)A、B、C三點(diǎn)圍成等腰直角三角形時，求點(diǎn)B、C的坐標(biāo).(1)、當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)：二、二垂直模型(弦圖模型)①由厶由厶ABE^ABCD導(dǎo)出EC=AB-CD由厶ABE^ABCD導(dǎo)出ED=AE-CD1?例題應(yīng)用：由厶ABE竺ABCD導(dǎo)出BC=BE+ED=AB+CDZCAC€90€ZCAC€90€,D為AC中點(diǎn)，AF丄BD于E,交BC于F,連接DF.求證：ZADB=ZCDF.思路：方法一：過點(diǎn)C作MC丄AC交AF的延長線于點(diǎn)M.先證△ABD^^CAM,再證5CDF^△CMF即可.方法二：過點(diǎn)A作AM丄BC分別交BD、BC于H、M.先證△ABH^^CAF,再證△CDF^△ADH即可.方法三：過點(diǎn)A作AM丄BC分別交BD、BC于H、M.先證Rt^AMF^RtABMH，得出HFAC.由M、D分別為線段AC、BC的中點(diǎn)，可得MD為AABC的中位線從而推出MD^AB，又由于ZBAC€90。,故而MD丄AC,MD丄HF,所以MD為線段HF的中垂線.所以Z1=Z2?再由ZADB+Z1=ZCDF+Z2，貝VZADB=ZCDF?

例1例1拓展（1）：已知：如圖所示，在△ABC中,BC于F,連接NF.求證：①^ADB=^CDF.②BM=AF+FN，AM,AF丄BM于E,交思路：同上題的方法一和方法二一樣.拓展（2）：其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交于點(diǎn)P,求證：①PM=PN,②PB=PF+AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣.例2.如圖2-1,已知AD〃BC,AABE和ACDF是等腰直角三角形，ZEAB=ZCDF=9°。,AD=2,BC=5,求四邊形AEDF的面積.圖2-1解析：如圖2-2,過點(diǎn)E、B分別作EN丄DA,BM丄DA交DA延長線于點(diǎn)N、M.過點(diǎn)F、C分別作FP丄AD,CQ丄AD交AD及AD延長線于點(diǎn)P、Q.S ，S +S ，1€AD€EN+-€AD?FP，-?AD?（EN+FP）四邊形EAFD AAEDAADF2 2 2

???△ABE和HCDF是等腰直角三角形，???ZEAB=ZCDF=90。,ae=ab,df=CD.^ENLDA,BMLDA,FPLAD,CQLAD,:.ZNMB=ZENA=ZFPD=ZDQC=90。.AZAZENA=ZMBA,ZFDP=ZQCD.:△ENA^^ABM,△FPD^^DQC.?:Ne=AM,PF=DQ. :-Ne+PF=DQ+AM=MQ-AD?'：ADIIBC,CQIIBM,ZBMN=90。,?：四邊形BMQC是矩形.:BC=MQS =—x2x3€3.:AD=2,BC=5:?Ne+PF=5-2=3 ?：四邊形EAFD2圖2-22?練習(xí)鞏固:(1)、如圖(1)-1,直角梯形ABCD中,ADIIBC,ZADC=90。,1是ad的垂直平分線,交AD于點(diǎn)M,以腰AB為邊做正方形ABFE,EP丄1于點(diǎn)P.求證：2EP+AD=2CD.⑴-1⑴-2⑴-1(2)、如圖，在直角梯形ABCD中，ZABC=90。,AD^BC, =是的中點(diǎn),CE1BD.求證：BE=AD；求證：AC是線段ED的垂直平分線；ABCD是等腰三角形嗎？請說明理由.四、手拉手模型[.△ABE和AACF均為等邊三角形結(jié)論：(1).△ABF^^AEC?ZBOE=BAE=600“八字模型證明”O(jiān)A平分ZEOF條件：△ABC和ACDE均為等邊三角形結(jié)論：(1)、AD=BE(2)