平面向量-2023年高考數(shù)學真題題源解密（新高考卷）（原卷版）

專題06平面向量目錄一覽2023真題展現(xiàn)考向一平面向量的坐標運算考向二平面向量的數(shù)量積運算真題考查解讀近年真題對比考向一平面向量的數(shù)量積運算考向二平面向量的線性運算考向三平面向量的坐標運算命題規(guī)律解密名校模擬探源易錯易混速記/二級結論速記考向一平面向量的坐標運算1．（2023?新高考Ⅰ?第3題）已知向量a→=（1，1），b→=（1，﹣1）．若（a→+λA．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1考向二平面向量的數(shù)量積運算2．（2023?新高考Ⅱ?第13題）已知向量a→，b→滿足|a→-b→|=3，|a→+b→|【命題意圖】考查平面向量基本定理、加減法運算、向量數(shù)量積的坐標與模長運算，會進行數(shù)量積的運算，會用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷向量的垂直關系，會用坐標運算表示向量的平行關系．【考查要點】平面向量是高考必考內容．?？疾槠矫嫦蛄炕径ɡ怼⑾蛄康淖鴺诉\算、向量數(shù)量積、向量平行與垂直、向量模等．體會數(shù)形結合思想，強化運算求解能力與轉化化歸能力．【得分要點】1．向量的數(shù)量積概念及運算：（1）定義：如果兩個非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|cosθ叫做a→與b→的數(shù)量積，記做a→?b→．即：a→?b→（2）投影：b→在a→上的投影是一個數(shù)量|b→（3）坐標計算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=x2．平面向量數(shù)量積的性質：設a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→?（3）當a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當a→特別地：a→?a→=|a→|2或（4）cosθ=a→（5）|a→?b→|≤|a3．平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?c考向一平面向量的數(shù)量積運算3．（多選）（2021?新高考Ⅰ）已知O為坐標原點，點P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），則（）A．||＝|| B．||＝|| C．?＝? D．?＝?4．（2021?新高考Ⅱ）已知向量++＝，||＝1，||＝||＝2，則?+?+?＝．考向二平面向量的線性運算5．（2022?新高考Ⅰ）在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA．記＝，＝，則＝（）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+3考向三平面向量的坐標運算6．（2022?新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，則t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6高考對本章內容的考查以平面向量的基礎知識、基本運算為主，考查與平面向量基本定理相關的線性運算、向量的數(shù)量積運算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。高考對本章的考查依然是基礎與能力并存，在知識形成過程、知識遷移種滲透數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數(shù)與方程、數(shù)形結合、轉化與劃歸思想。一．向量的概念與向量的模（共5小題）1．（2023?谷城縣校級模擬）已知平面上直線的方向向量＝（﹣，），點O（0，0）和A（1，﹣2）在l上的射影分別是O′和A′，則＝λ，其中λ＝（）A． B．﹣ C．2 D．﹣22．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）已知，，則＝（）A．2 B．4 C． D．3．（多選）（2023?撫松縣校級模擬）下列說法正確的是（）A．設是非零向量，且，則 B．若z1，z2為復數(shù)，則|z1?z2|＝|z1|?|z2| C．設是非零向量，若，則 D．設z1，z2為復數(shù)，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，則z1z2＝04．（2023?簡陽市校級模擬）已知點M在直線BC上，點A在直線BC外，若，且，，則的最小值為．5．（2023?興慶區(qū)校級一模）等腰直角△ABC的斜邊AB的端點分別在x，y的正半軸上移動（C點不與原點O重合），AB＝2，若點D為AB中點，則的取值范圍是．二．向量相等與共線（共5小題）6．（2023?瀘縣校級模擬）設平面向量＝（1，2），＝（﹣2，y），若∥，則|2﹣|等于（）A．4 B．5 C． D．7．（2023?臨汾模擬）已知為不共線的非零向量，，，，則（）A．A，B，C三點共線 B．A，B、D三點共線 C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線8．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）若平行四邊形ABCD滿足，，則該四邊形一定是．9．（2023?重慶模擬）已知向量與為一組基底，若與平行，則實數(shù)m＝．10．（2023?青羊區(qū)校級模擬）若，是兩個不共線的向量，已知＝2+k，＝+3，＝2﹣，若A，B，D三點共線，則k＝．三．向量數(shù)乘和線性運算（共4小題）11．（2023?興慶區(qū)校級四模）已知AD、BE分別是△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝，＝，則＝（）A．+ B．+ C．+ D．+12．（2023?湖南模擬）如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點，若＝λ+μ，則λ+μ＝（）A．2 B． C． D．13．（2023?石獅市校級模擬）我國古代入民早在幾千年以前就已經發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點，則＝（）A． B． C． D．14．（2023?漣源市模擬）如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點）上運動，P是圓Q上及內部的動點，設向量（m，n為實數(shù)），則m+n的取值范圍是（）A．（1，2] B．[5，6] C．[2，5] D．[3，5]四．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義（共3小題）15．（2023?淮北二模）已知向量，滿足?＝10，且＝（﹣3，4），則在上的投影向量為（）A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣，） D．（，﹣）16．（2023?河南模擬）已知向量＝（2，2），若（+3）⊥，則在上的投影是（）A． B．﹣ C． D．﹣17．（2023?普陀區(qū)校級三模）若＝（1，2），＝（3，﹣4），則在方向上的投影為．五．平面向量數(shù)量積的性質及其運算（共10小題）18．（2023?泰和縣校級一模）已知向量，滿足，，，那么與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°19．（2023?浙江模擬）已知△ABC是邊長為1的正三角形，＝2，+＝2，則＝（）A． B． C． D．120．（2023?泉州模擬）已知平面向量，，且，則＝（）A．1 B．14 C． D．21．（2023?大理州模擬）若平面向量與的夾角為60°，，，則等于（）A． B． C．4 D．1222．（2023?市中區(qū)校級模擬）在△ABC中，有，則tanC的最大值是（）A． B． C． D．23．（2023?懷化二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．224．（2023?青山湖區(qū)校級三模）在△ABC中，，則＝（）A．2 B．3 C．6 D．1225．（2023?重慶模擬）已知向量的夾角為60°，，若對任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，則m的取值范圍是（）A．[e3，+∞） B．[e，+∞） C． D．26．（2023?畢節(jié)市模擬）已知點G為三角形ABC的重心，且，當∠C取最大值時，cosC＝（）A． B． C． D．27．（2023?黃浦區(qū)校級三模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝2，若＝+，則給出下面四個結論：①λ+μ的最小值為﹣；②λ+μ的最大值為；③的最小值為﹣6；④的最大值為8．其中，正確結論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4六．平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角（共6小題）28．（2023?瀘縣校級模擬）已知非零向量、滿足向量+與向量﹣的夾角為，那么下列結論中一定成立的是（）A．＝ B．||＝|| C．⊥ D．∥29．（2023?皇姑區(qū)校級模擬）已知向量＝（﹣1，1），＝（2，x），若∥，則|﹣|＝（）A． B．3 C． D．230．（2023?固鎮(zhèn)縣三模）已知單位向量，滿足，則＝（）A．2 B． C． D．331．（2023?天津模擬）已知，為非零向量，則“?＞0”是“與的夾角為銳角”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件32．（2023?潮州模擬）已知單位向量，滿足|+|＝|﹣2|，則與的夾角為．33．（2023?青秀區(qū)校級模擬）已知向量，的夾角為60°，且||＝1，|2+|＝2，則||＝．七．向量的投影（共1小題）34．（2023?宜春一模）非零向量，，滿足，與的夾角為，，則在上的投影為（）A．﹣1 B． C．1 D．八．投影向量（共4小題）35．（2023?湖南模擬）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B．﹣1 C． D．36．（2023?惠州模擬）已知向量||＝2，在方向上的投影向量為﹣2，則＝（）A．4 B．8 C．﹣8 D．﹣437．（2023?延邊州二模）已知向量，則在上的投影向量為（）A．（1，0） B． C． D．38．（2023?石家莊二模）已知非零向量滿足，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．九．平面向量的基本定理（共2小題）39．（2023?淄博一模）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2，，過點O作OD垂直AB于點D，則（）A． B． C． D．40．（2023?西固區(qū)校級一模）如圖所示，在△ABC中，點D在線段BC上，且BD＝3DC，若，則＝（）A． B． C．2 D．一十．平面向量的坐標運算（共4小題）41．（2023?陜西模擬）已知向量＝（﹣3，2），＝（4，﹣2λ），若（+3）∥（﹣），則實數(shù)λ的值為（）A． B． C． D．42．（2023?興慶區(qū)校級二模）已知向量，，，若，則m+n＝（）A．5 B．6 C．7 D．843．（2023?山東模擬）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標為（寫出一個符合要求的答案即可）．44．（2023?北海模擬）已知向量＝（2，﹣2），＝（﹣1，0），則?＝．一十一．平面向量共線（平行）的坐標表示（共4小題）45．（2023?烏魯木齊模擬）已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+n與﹣2共線，則等于（）A．﹣ B． C．﹣2 D．246．（2023?敘州區(qū)校級模擬）已知向量，，若與平行，則實數(shù)λ的值為（）A． B． C．6 D．﹣647．（2023?龍口市模擬）已知向量＝（m2，﹣9），＝（1，﹣1），則“m＝﹣3”是“∥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件48．（2023?廣州一模）已知向量與共線，則＝．一十二．數(shù)量積表示兩個向量的夾角（共7小題）49．（2023?新疆模擬）已知向量，為單位向量，|+λ|＝|λ﹣|（λ≠0），則與的夾角為（）A． B． C． D．50．（2023?2月份模擬）平面向量與相互垂直，已知＝（6，﹣8），，且與向量（1，0）的夾角是鈍角，則＝（）A．（﹣3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）51．（2023?雁塔區(qū)校級三模）已知空間向量++＝，||＝2，||＝3，||＝4，則cos＜，＞＝（）A． B． C．﹣ D．52．（2023?錦江區(qū)校級模擬）已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為，則向量﹣與的夾角為．53．（2023?沈陽三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)x的取值范圍是．54．（2023?周口模擬）已知向量，滿足，，，的夾角為150°，則與的夾角為．55．（2023?銅川二模）如圖，在△ABC的邊AB、AC上分別取點M、N，使，BN與CM交于點P，若，，則的值為（）A． B． C． D．6一十三．數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系（共5小題）56．（2023?廣州二模）已知兩個非零向量，滿足，，則＝（）A． B． C． D．57．（2023?南江縣校級模擬）已知向量，若，則k＝．58．（2023?閔行區(qū)校級三模）已知向量，若，則實數(shù)x＝．59．（2023?平定縣校級模擬）已知向量，，，且，則實數(shù)m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．任意實數(shù)60．（2023?南昌縣校級二模）已知向量＝（2，1），＝（1，0），＝（1，2），若⊥（+m），則m＝．1．五個特殊向量(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與向量a平行的單位向量有兩個，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五個常用結論(1)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點，O為平面內任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)若A，B，C是平面內不共線的三點，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結論：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6