人工智能第二章課件

Chapter2.DeclarativeKnowledgeKnowledgeandKnowledgeRepresentation§2.1Conceptualization§2.2PredicateCalculus§2.3Semantics§2.4~2.8Examples§2.9SpecializedLanguagesChapter2.DeclarativeKnowledKnowledge是人們?cè)诟脑炜陀^世界的實(shí)踐中積累起來(lái)的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)Feigenbaum認(rèn)為知識(shí)是經(jīng)過(guò)削減、塑造、解釋和轉(zhuǎn)換的信息。簡(jiǎn)單地說(shuō)，知識(shí)是經(jīng)過(guò)加工的信息。Bernstein說(shuō)知識(shí)是由特定領(lǐng)域的描述、關(guān)系和過(guò)程組成的。Hayes-Roth認(rèn)為知識(shí)是事實(shí)、信念和啟發(fā)式規(guī)則。從知識(shí)庫(kù)觀點(diǎn)看，知識(shí)是某論域中所涉及的各有關(guān)方面、狀態(tài)的一種符號(hào)表示。Knowledge是人們?cè)诟脑炜陀^世界的實(shí)踐中積累起來(lái)的認(rèn)識(shí)知識(shí)的特性知識(shí)的特征相對(duì)正確性：知識(shí)在一定的條件下是正確的，但在另外一種情況下可能是不正確的。不確定性：事物之間的關(guān)系有時(shí)難以用真假狀態(tài)來(lái)描述，不確定性就是指這種介于真假之間的中間狀態(tài)?？杀硎拘裕褐R(shí)通常通過(guò)一定的方法進(jìn)行表示，如：語(yǔ)言、文字、圖畫(huà)、姿勢(shì)、聲音等?？衫眯裕喝藗兂Ｓ弥R(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)和改造世界知識(shí)的特性知識(shí)的特征ClassificationofKnowledge描述性知識(shí)（事實(shí)）：是有關(guān)問(wèn)題環(huán)境的一些事物的知識(shí)，常以“…是…”的形式出現(xiàn)。判斷性知識(shí)（規(guī)則）：是有關(guān)問(wèn)題中與事物的行動(dòng)、動(dòng)作相聯(lián)系的因果關(guān)系知識(shí)，是動(dòng)態(tài)的，常以“如果…那么…”形式出現(xiàn)。過(guò)程性知識(shí)（控制）：是有關(guān)問(wèn)題的求解步驟、技巧性知識(shí)，告訴怎么做一件事。也包括當(dāng)有多個(gè)動(dòng)作同時(shí)被激活時(shí)應(yīng)選哪一個(gè)動(dòng)作來(lái)執(zhí)行的知識(shí)。ClassificationofKnowledge描述KnowledgeRepresentation是研究用機(jī)器表示知識(shí)的可行性、有效性的一般方法，是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與控制結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一體，既考慮知識(shí)的存儲(chǔ)又考慮知識(shí)的使用?？煽闯墒且唤M描述事物的約定，以把人類(lèi)知識(shí)表示成機(jī)器能處理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。主要方法：狀態(tài)空間法、問(wèn)題歸約法、謂詞邏輯表示法、產(chǎn)生式規(guī)則表示法、語(yǔ)義網(wǎng)絡(luò)表示法、框架表示法、面向?qū)ο蟊硎痉?、腳本表示法、過(guò)程表示法。KnowledgeRepresentation是研究用機(jī)器狀態(tài)空間法

（StateSpaceRepresentation）在分析了人工智能研究中運(yùn)用的問(wèn)題求解方法之后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)許多問(wèn)題求解方法是采用試探搜索方法的。也就是說(shuō)，這些方法是通過(guò)在某個(gè)可能的解空間內(nèi)尋找一個(gè)解來(lái)求解問(wèn)題的。這種基于解答空間的問(wèn)題表示和求解方法就是狀態(tài)空間法，它是以狀態(tài)和算符(operator)為基礎(chǔ)來(lái)表示和求解問(wèn)題的。狀態(tài)空間法的三要點(diǎn)狀態(tài)（state）：表示問(wèn)題解法中每一步問(wèn)題狀況的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；算符（operator）：把問(wèn)題從一種狀態(tài)變換為另一種狀態(tài)的手段；狀態(tài)空間方法：基于解答空間的問(wèn)題表示和求解方法，它是以狀態(tài)和算符為基礎(chǔ)來(lái)表示和求解問(wèn)題的。

狀態(tài)空間法

（StateSpaceRepresenta問(wèn)題狀態(tài)描述定義狀態(tài)(state)：為描述某類(lèi)不同事物間的差別而引入的一組最少變量q0，q1，…，qn的有序集合，其矢量形式如下：Q=[q0

，q1

，...，qn]T

式中每個(gè)元素qi(i=0,1，…，n)為集合的分量，稱(chēng)狀態(tài)變量算符：使問(wèn)題從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)的手段稱(chēng)為操作符或算符。操作符可為走步、過(guò)程、規(guī)則、數(shù)學(xué)算子、運(yùn)算符號(hào)或邏輯符號(hào)等。操作的條件(對(duì)狀態(tài)的要求)和對(duì)狀態(tài)的改變。問(wèn)題的狀態(tài)空間(statespace)：是一個(gè)表示該問(wèn)題全部可能狀態(tài)及其關(guān)系的圖，它包含三種說(shuō)明的集合，即所有可能的問(wèn)題初始狀態(tài)集合S、操作符集合F以及目標(biāo)狀態(tài)集合G?？砂褷顟B(tài)空間記為三元狀態(tài)(S，F(xiàn)，G)。

問(wèn)題狀態(tài)描述定義問(wèn)題狀態(tài)描述舉例

例1:二階梵塔問(wèn)題.設(shè)有三根柱子,它們的編號(hào)分別是1號(hào),2號(hào),3號(hào).在初始情況下,1號(hào)柱子上穿有A,B兩個(gè)園盤(pán),A比B小,A位于B的上面.要求把這兩個(gè)園盤(pán)全部移到第3號(hào)柱子上,而且規(guī)定每次只能移動(dòng)一個(gè)園盤(pán),任何時(shí)刻都不能使大園盤(pán)位于小園盤(pán)的上面.

問(wèn)題狀態(tài)描述舉例問(wèn)題狀態(tài)描述狀態(tài)

用Sk={Sk0,Sk1}表示問(wèn)題狀態(tài),其中Sk0表示園盤(pán)A所在的柱子號(hào),Sk1表示園盤(pán)B所在的柱子號(hào)。問(wèn)題狀態(tài)描述狀態(tài)問(wèn)題狀態(tài)描述算符算符定義：

操作A(i,j)表示把園盤(pán)A從i號(hào)柱子移到j(luò)號(hào)柱子，操作B(i,j)表示把園盤(pán)B從i號(hào)柱子移到j(luò)號(hào)柱子。

一種得到解的操作序列:A(1,3),B(1,2),A(3,2)問(wèn)題狀態(tài)描述算符問(wèn)題狀態(tài)描述

要完成某個(gè)問(wèn)題的狀態(tài)描述必須確定三件事情：

1、該狀態(tài)描述方式，特別是初始狀態(tài)的描述方式

2、操作符（算符）集合及其對(duì)狀態(tài)描述的作用

3、目標(biāo)狀態(tài)描述的特征問(wèn)題狀態(tài)描述 要完成某個(gè)問(wèn)題的狀態(tài)描述必須確定三件事情：解題過(guò)程的表示例1的狀態(tài)空間圖解題過(guò)程的表示例1的狀態(tài)空間圖問(wèn)題歸約法

（ProblemReductionRepresentation）子問(wèn)題1子問(wèn)題n原始問(wèn)題子問(wèn)題集本原問(wèn)題問(wèn)題歸約法

（ProblemReductionRepre

問(wèn)題歸約表示的組成部分：一個(gè)初始問(wèn)題描述；一套把問(wèn)題變換為子問(wèn)題的操作符；一套本原問(wèn)題描述。問(wèn)題歸約的實(shí)質(zhì)：從目標(biāo)(要解決的問(wèn)題)出發(fā)逆向推理，建立子問(wèn)題以及子問(wèn)題的子問(wèn)題，直至最后把初始問(wèn)題歸約為一個(gè)平凡的本原問(wèn)題集合。2.2問(wèn)題規(guī)約法問(wèn)題歸約表示的組成部分：?jiǎn)栴}歸約的實(shí)質(zhì)：2.2問(wèn)題規(guī)約法§2.1ConceptualizationTheformalizationofknowledgeindeclarative陳述forbeginswithaConceptualization.Objects（對(duì)象）Function（函數(shù)）Relation（關(guān)系）Conceptualization（概念化）§2.1ConceptualizationTheformObjects需要描述的任何事物，也稱(chēng)為個(gè)體(individuals)具體的、抽象的簡(jiǎn)單的、復(fù)雜的客觀存在的、虛幻的論域（UniverseofDiscourse）：只與問(wèn)題有關(guān)的對(duì)象集合積木例子：D={a,b,c,d,e}abcde有限的Objects需要描述的任何事物，也稱(chēng)為個(gè)體(individFunction函數(shù)：表示對(duì)象與對(duì)象之間的相互關(guān)系?；瘮?shù)集：在概念化過(guò)程中使用的基本函數(shù)集合。舉例：hat：hat(b)=ahat(c)=b或者寫(xiě)成{<b,a>,<c,b>,<e,d>}rotate:輪流{<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,a>}abcdeFunction函數(shù)：表示對(duì)象與對(duì)象之間的相互關(guān)系。abcdRelation表示對(duì)象與對(duì)象之間的相互關(guān)系的另一種形式。基關(guān)系集：在概念化過(guò)程中使用的基本關(guān)系集合。舉例：on關(guān)系：{<a,b>,<b,c>,<d,e>}相鄰above關(guān)系:{<a,b>,<b,c>,<a,c>,<d,e>}clear關(guān)系：{a,d}最上table關(guān)系：{c,e}最下abcdeRelation表示對(duì)象與對(duì)象之間的相互關(guān)系的另一種形式。aGeneralityofRelation關(guān)系的一般性可以通過(guò)比較其中的元素來(lái)確定。如關(guān)系on比關(guān)系above一般性低，因?yàn)閛nabove。特殊的關(guān)系：空關(guān)系，全關(guān)系具有b個(gè)對(duì)象的n元全關(guān)系中有bn個(gè)元組，任一n元關(guān)系都是上述全關(guān)系的一個(gè)子集。有個(gè)n元關(guān)系函數(shù)與關(guān)系的區(qū)別：函數(shù)：值仍為對(duì)象，至少涉及兩個(gè)對(duì)象關(guān)系：值為真或假，可以只涉及一個(gè)對(duì)象可以用關(guān)系來(lái)表示函數(shù)GeneralityofRelation關(guān)系的一般性可以Conceptualization概念化是三元組：<{對(duì)象集},{函數(shù)集},{關(guān)系集}>如<{a,b,c,d,e},{hat},{on,above,clear,table}>概念化的物理含義與元組的定義（解釋?zhuān)┯嘘P(guān)，而與名字無(wú)關(guān)。同一問(wèn)題存在多種不同的概念化。不同的概念化表達(dá)的知識(shí)可能是不同的，如光的波粒二象性。概念化不是一成不變的，需要不斷完善和發(fā)展。如地心說(shuō)到日心說(shuō)的發(fā)展。Conceptualization概念化是三元組：<{對(duì)象集Conceptualization關(guān)系與函數(shù)的實(shí)例化：將函數(shù)與關(guān)系作為對(duì)象加入到對(duì)象集合中，可以描述函數(shù)與關(guān)系的屬性。<{a,b,c,d,e},{},{red,white,blue}>可以描述積木的顏色;<{a,b,c,d,e,red,white,blue},{color},{nice}>可以評(píng)價(jià)顏色的好壞。(color(a)=red,nice:{red,white})如何找到更合理的概念化？需要考慮粒度問(wèn)題：也用于粗糙集和數(shù)據(jù)倉(cāng)庫(kù)中粒度太?。?jiǎn)栴}表示過(guò)于繁瑣，如積木問(wèn)題中以原子為粒度；粒度太大：無(wú)法表達(dá)細(xì)節(jié)Conceptualization關(guān)系與函數(shù)的實(shí)例化：將函數(shù)§2.2PredicateCalculus謂詞演算：將知識(shí)形式化成謂詞公式的形式語(yǔ)言。謂詞演算的基本概念–命題謂詞連接詞與量詞項(xiàng)與謂詞公式自由變?cè)图s束變?cè)^詞邏輯表示方法謂詞邏輯表示方法的應(yīng)用§2.2PredicateCalculus謂詞演算：將知Proposition命題：一個(gè)陳述句稱(chēng)為一個(gè)斷言，凡有真假意義的斷言稱(chēng)為命題。命題的意義通常稱(chēng)為真值。如果命題是真，則稱(chēng)它的真值為真。如果命題是假，則稱(chēng)它的真值為假。命題的真值真與假分別用“T”與“F”表示例：判別下列語(yǔ)句哪些是命題，哪些不是命題，是命題的指出其真假。海洋的面積比陸地大別的星球上有生物1+101=110請(qǐng)問(wèn)電影院怎么走？Proposition命題：一個(gè)陳述句稱(chēng)為一個(gè)斷言，凡有真假Predicates謂詞：帶有參數(shù)的命題叫謂詞（反過(guò)來(lái)，也可以說(shuō)不帶參數(shù)的謂詞叫命題）。例：北京是一個(gè)城市：P1:CITY(北京)X是人：P2：HUMAN（X）張三打了李四：P3：HIT（張三，李四）X和Y是同學(xué)：P4：CLASSMATE(x,y)Predicates謂詞：帶有參數(shù)的命題叫謂詞（反過(guò)來(lái)，也可謂詞演算中的符號(hào)變量、常量變量：小寫(xiě)字母與數(shù)字的序列，首字母為小寫(xiě)字母。對(duì)象常量：論域中特定的元素，字符或數(shù)字序列，首字母為大寫(xiě)字母或數(shù)字。函數(shù)常量：字符或數(shù)字序列，首字母為大寫(xiě)字母。關(guān)系常量：字符或數(shù)字序列，首字母為大寫(xiě)字母。每一個(gè)n元函數(shù)常量能夠表達(dá)為一個(gè)n+1元關(guān)系常量，反之不然。(Age(Confucius)=100),Age(confucius,100)謂詞演算中的符號(hào)變量、常量DefinitionofPredicates定義：設(shè)D為論域，P是Dn

→{T,F}

的一個(gè)映射，其中則稱(chēng)P是一個(gè)n元謂詞，記為

P(x1,x2,…,xn)

其中x1,x2,…,xn為謂詞的個(gè)體變?cè)?。如果xi(i=1,2,…,n)都是個(gè)體常量、個(gè)體變量或函數(shù)，稱(chēng)P為一階謂詞。如果xi又是一個(gè)一階謂詞，則稱(chēng)P為二階謂詞。DefinitionofPredicates定義：設(shè)D為ComparisonofPredicates&Propositions

謂詞比命題有更強(qiáng)的表達(dá)能力（帶有參數(shù)的命題叫謂詞）一個(gè)謂詞通過(guò)個(gè)體的變換可以表達(dá)不同命題的意義。謂詞可以代表變化著的情況，而命題只能代表某種固定的情況。謂詞的真值隨個(gè)體的變化而變化而命題的真值是固定的ComparisonofPredicates&ProConnecters連接詞：用來(lái)連接簡(jiǎn)單命題，并構(gòu)成復(fù)合命題的邏輯運(yùn)算符號(hào)。￢：表示對(duì)其后面的命題的否定∨：“析取”表示所連結(jié)的兩個(gè)命題之間具有或的關(guān)系?！模骸昂先　北硎舅B結(jié)的兩個(gè)命題之間具有“與”的關(guān)系?！骸皸l件”或“蘊(yùn)含”，表示“若…則…”。：“反向蘊(yùn)含”：“雙條件”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”Connecters連接詞：用來(lái)連接簡(jiǎn)單命題，并構(gòu)成復(fù)合命題Quantifiersx（全稱(chēng)量詞）：對(duì)于所有的x，任意的xx（存在量詞）：存在x舉例：所有的機(jī)器人都是灰色的x(ROBOT(x)→COLOR(x,GRAY))每個(gè)人都有父親xy(PERSON(x)→FATHER(x,y))Quantifiersx（全稱(chēng)量詞）：對(duì)于所有的x，任意Term項(xiàng)是論域中的對(duì)象名，定義如下：?jiǎn)为?dú)一個(gè)個(gè)體（常量或變量）是項(xiàng)；若t1,t2,…,tn是項(xiàng)，f是n元函數(shù)，則f(t1,t2,…,tn

)是項(xiàng)；由1,２生成的表達(dá)式是項(xiàng)。因此，項(xiàng)有三種類(lèi)型：變量、常量或者函數(shù)表達(dá)式。Term項(xiàng)是論域中的對(duì)象名，定義如下：Sentences謂詞公式包括原子公式、邏輯公式和量詞公式。原子公式：若t1,t2,…,tn是項(xiàng)，Ｐ是謂詞符號(hào)，則稱(chēng)Ｐ(t1,t2,…,tn)是原子公式。邏輯公式：由原子公式經(jīng)過(guò)￢、∧、∨、→、、等邏輯運(yùn)算符連接得到的公式稱(chēng)為邏輯公式。量詞公式：

若A是邏輯公式，x是變量，則xＡ和xＡ分別稱(chēng)為全稱(chēng)量詞公式和存在量詞公式。Sentences謂詞公式包括原子公式、邏輯公式和量詞公式。Scope轄域：謂詞公式中被限定的公式稱(chēng)為該量詞的轄域。例：(xP(x,y)→Q(x,y))∨R(x,y)

z(P(z,t)→Q(z,t)∨R(z,t))量詞的嵌套順序不同，謂詞公式的含義也不同。如：x(yLove(x,y))

y(x

Love(x,y)) whoisy?

Raymond《人人都愛(ài)雷蒙德》Scope轄域：謂詞公式中被限定的公式稱(chēng)為該量詞的轄域。BoundandFreevariables約束變量：轄域內(nèi)與量詞中同名的變量稱(chēng)為約束變量，其它不受約束的變量稱(chēng)為自由變量。

Apple(x)→Red(x)

x(Apple(x)→Red(x)) Apple(x)∨(xPear(x))閉謂詞公式：不含自由變量的謂詞公式?；^詞公式：不含任何變量的謂詞公式。邏輯運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)如Table2.1。BoundandFreevariables約束變量：轄↑/∩+-∪=<>≤≥∈

↑PredicateCalculusRepresentation事實(shí)性知識(shí)：否定、析取或合取等連接的謂詞公式表示。規(guī)則：用蘊(yùn)含式表示。一般方法：定義謂詞：謂語(yǔ)作謂詞，主語(yǔ)作個(gè)體用連接詞或量詞把謂詞連結(jié)起來(lái)，形成謂詞公式。另一種方法：從外到里層層細(xì)化。PredicateCalculusRepresentatExample1例：所有教師都有自己的學(xué)生定義謂詞：TEACHER(x):表示x是教師STUDENT(y):表示y是學(xué)生TEACHES(x,y):表示x是y的老師謂詞公式：xTEACHER(x)→y(TEACHES(x,y)∧STUDENT(y))Example1例：所有教師都有自己的學(xué)生Example2例：王宏是計(jì)算機(jī)系的一名學(xué)生。李明是王宏的同班同學(xué)。凡是計(jì)算機(jī)系的學(xué)生都喜歡編程。定義謂詞：COMPUTER(x):表示x是計(jì)算機(jī)系的學(xué)生CLASSMATE(x,y):表示x是y同班同學(xué)LIKE(x,y):表示x喜歡y。謂詞公式：COMPUTER(WangHong)CLASSMATE(LiMing,WangHong)x(COMPUTER(x)→LIKE(x,Programing))Example2例：王宏是計(jì)算機(jī)系的一名學(xué)生。李明是王宏的Example3例：世上沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的愛(ài)，也沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的恨。沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的愛(ài)∧沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的恨￢存在無(wú)緣無(wú)故的愛(ài)∧￢存在無(wú)緣無(wú)故的恨￢x無(wú)緣無(wú)故的愛(ài)(x)∧￢y無(wú)緣無(wú)故的恨(y)￢x(愛(ài)(x)∧無(wú)緣故(x))∧￢y(恨(y)∧無(wú)緣故(y))￢x(愛(ài)(x)∧￢有緣故(x))∧￢y(恨(y)∧￢有緣故(y))￢x(愛(ài)(x)∧￢z緣故(x,z))∧￢y(恨(y)∧￢t緣故(y,t))Example3例：世上沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的愛(ài)，也沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的Example4x(Apple(x)Red(x))與x(Apple(x)Red(x))的區(qū)別Example4x(Apple(x)Red(x)§2.3SemanticsInterpretation（解釋?zhuān)￢ariableAssignment（變量指派）Satisfaction（滿(mǎn)足性）Elementarilyequivalent（單體等價(jià)性）§2.3SemanticsInterpretation（解DeclarativeSemantics當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)公式依照我們采用的概念化準(zhǔn)確描述了客觀世界時(shí)才稱(chēng)該公式為真。DatabaseWordConceptualizationObjectsFunctionsRelationsDeclarativeSemantics當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)公式依DefinitionofInterpretation解釋Amappingbetweenelementsofthelanguageandelementsofaconceptualization.DenotedasI()orI.ForItobeaninterpretation,itmustsatisfythefollowingconditions:(a)Ifisanobjectconstant,thenI()|I|.(b)Ifisann-aryfunctionconstant,thenI():|I|n|I|.(c)Ifisann-aryrelationconstant,thenI()|I|n.

|I|representstheuniverseofdiscourse.DefinitionofInterpretation解釋InterpretationIInterpretationJabcdeThepredicate-calculuslanguagehasfiveobjectconstantsA,B,C,D,EFunctionconstantHat

RelationconstantsOn,Above,Table,ClearInterpretationIExampleofInterpretationI(P)D2I(P)={<1,2>,<2,1>,<2,2>}ExampleofInterpretationExampleofInterpretationI(P)D2I(P)={<2,1>,<2,2>}ExampleofInterpretationExampleofInterpretationI(b)=1I(f):f(1)=2f(2)=1I(P)={1}I(Q):包含<2,1>

不包含<1,1><1,2>,<2,2>未設(shè)定ExampleofInterpretationVariableAssignmentAfunctionfromthevariableofalanguagetoobjectsintheuniverseofdiscourse.DenotedasU()orU.xU=ayU=azU=bJointassignmentIU:AssignmentofvariablecorrespondstovariableassignmentU;AssignmentofnonvariablesymbolcorrespondstointerpretationI;VariableAssignmentAfunctionTermjointassignmentTermjointassignmentIU:amappingfromterms項(xiàng)toobjects.(a)Ifisanobjectconstant,thenIU()=I().

(b)Ifisavariable,thenIU()=U().

(c)Ifisatermoftheform(1,…,n)andI()=gandIU(i)=xi,thenIU()=g(x1,...,xn).Example:Hat(C)=?:becauseI(C)=c,Hat(c)=b(<c,b>)Hat(z)=?:ifU(z)=babcdeTermjointassignmentTermjoinSatisfactionAninterpretationIandavariableassignmentUsatisfyasentencemeansthatsentenceistruerelativetotheinterpretationIandtheassignmentU.Denotedas|=I[U].Aninterpretationandvariableassignmentsatisfyanequationifandonlyifthecorrespondingtermmapsintothesameobject.SatisfactionAninterpretationSatisfactionofanatomicsentenceIandUsatisfyanatomicsentence:Example：|=IOn(A,B)[U]IU(A)=aIU(B)=b<a,b>I(On)|=JOn(A,B)[U]JU(A)=aJU(B)=b<a,b>J(On)J(On)={<b,a>,<c,b>,<e,d>}abcdeSatisfactionofanatomicsentSatisfactionofLogicalSentences(a)|=I(?)[U]ifandonlyif|I[U].(b)|=I(1...n)[U]ifandonlyif|=I(i)[U]foralli=1,...,n.(c)|=I(1...n)[U]ifandonlyif|=I(i)[U]forsomei,1in.(d)|=I()[U]ifandonlyif|I[U]or|=I

[U].(e)|=I()[U]ifandonlyif|=I[U]or|I

[U].(f)|=I()[U]ifandonlyif|=I()[U]and|=I()[U].SatisfactionofLogicalSentenSatisfactionofquantifiedsentencesUniversallyquantifiedsentencesExistentiallyquantifiedsentencesTwokindsofvariables:andSatisfactionofquantifiedsenModelIfforallvariableassignment,aninterpretationIsatisfiesasentence,thenIiscalledamodelof.Denotedas|=I.Example:On(x,y)Above(x,y)Asentenceis

satisfiableifandonlyifthereissomeinterpretationandvariableassignmentthatsatisfyit.Otherwise,itisunsatisfiable.Asentenceisvalid(正確的)ifandonlyifitissatisfiedbyeveryinterpretationandvariableassignment.abcdeModelIfforallvariableassigSatisfactionofasetofsentencesAsetofsentencesissatisfiedbyaninterpretationIandavariableassignmentUifandonlyifeverymemberofissatisfiedbyIandU.Denotedas|=I[U].AninterpretationIisamodelofifandonlyifIisamodelofeverymemberof.Denotedas|=I

.Asetofsentencesissatisfiableifandonlyifeverymemberofissatisfiable.Asetofsentencesisvalidifandonlyifeverymemberofisvalid.SatisfactionofasetofsenteElementarilyequivalentTwointerpretationsIandJareelementarilyequivalent(IJ)ifandonlyif|=I

|=Jand|=J

|=Iforanysentence.Example:|I|=setofrealnumbers|J|=setofrationalnumbers(有理數(shù))I(R):greaterthanrelationonrealsJ(R):greaterthanrelationonrationalsIandJareelementarilyequivalentdespitetheiruniversesaredifferent.if:R(5,3)then|=Ialso|=JElementarilyequivalentTwointStepsofknowledgerepresentation(1)conceptualizingtheapplicationarea(2)selectavocabularyofobjectconstants,functionconstantsandrelationconstants.(3)associatetheseconstantswiththeobjects,functionsandrelationsinourconceptualization.(4)writesentencesStartwithanideaofaconceptualization,writemoreandmoresentencestomakeitprecise.Stepsofknowledgerepresentat§2.5CircuitsExamplesConceptualizingtheapplicationareaf1:acircuitx1,x2:xorgatesa1,a2:andgateso1:orgate20Ports:Threeinputs

andtwooutputsoff1Twoinputsandone

outputofeachgate§2.5CircuitsExamplesConceptuSelectavocabularySelectavocabularyConnectionRepresentationStructuredescriptionofthecircuitConnectionRepresentationStruStaterepresentationAssociateaportwithavalue