活用圓周角定理解題

活用圓周角定理解題在涉及圓周角或圓心角的有關(guān)計(jì)算、證明題中，若能從圓周角與圓心角的關(guān)系入手，往往可快捷地找到解題思路，從而使問題在短時(shí)間內(nèi)得到有效正確的解答．下面以近幾年中考題為例加以說(shuō)明．一、確定角度例1（武漢中考題）如圖1,00中，弦AB丄CD,垂足為E,求ZAOD+ZBOC的度數(shù)．點(diǎn)撥分別找出Ad和Bc所對(duì)的圓周角.解如圖1,連結(jié)bd，貝y有ZA0D=2ZABD,ZB0C=2ZCDB.?.?AB丄CD.AZBED=90°,AZABD+ZCDB=90°,.?.ZAOD+ZBOC=2(ZABD+ZCDB)=180°.、證明切線例2（日照中考題）如圖2,AB是OO的直徑，AC是弦，ZAOC=2ZACD,AD丄CD于點(diǎn)D,求證：CD是OO的切線.點(diǎn)撥找圓心角ZAOC所對(duì)弧上的圓周角.證明如圖2,連結(jié)BC,則有ZAOC=2ZABC,?/Z.AOC=2Z.ACD,.'.乙ABC=Z.ACD.又4〃是00的直徑,OC=0B,:.乙ACB=90。，乙OCB=厶OBC,厶OCR+厶ACO=90°,LACD+Z.ACO=90°,/.CD丄CO,???CD是OO的切線.三、求三角函數(shù)值例3（雅安中考題）如圖3,AB是OO的直徑，C、D是OO上的點(diǎn)，ZCDB=30°,過(guò)點(diǎn)C作OO的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求sinZE的值.點(diǎn)撥找BC所對(duì)的圓心角.解如圖3,連結(jié)OC,?CE是OO的切線，AOC丄CE,即ZOCE=90°.

VZCDB=30°..??ZCOB=2ZCDB=60°,.??ZE=90°—ZCOB=30°,1??sinZE=2四、計(jì)算線段長(zhǎng)度例4（孝感中考題）如圖4,AABC內(nèi)接于OO,ZB=60°,CD是0O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AP=AC.若PD=\：3，求0O的直徑.點(diǎn)撥找Ac所對(duì)的圓心角.解如圖4,連結(jié)OA.???Z.B=60°,/.乙AOC-2Z.B=120°.又OA=OC,厶OAC=厶OCA=30°.又'/AP=AC,???LP=LACP=30°,L.OAP=厶AOC-AP=90°,OA丄PA.在RtAO4P中，???乙P=30°,PO=20A=OD+PD.又?/OA=OD,PD-OA.TPD=屁2OA=2PD=2再，oo的直徑為2再.五、求不規(guī)則圖形面積例5（宿遷中考題）如圖5,AB是半圓O的直徑，且AB=8,點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn).將此半圓沿bc所在的直線折疊，若Bc恰好過(guò)圓心o,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留n.點(diǎn)撥找Ac所對(duì)的圓心角與圓周角.解如圖5,連結(jié)OC,作半徑OE丄BC于點(diǎn)D,由折疊知，OE=OD.1?.?OB=OE,.?.OD=—OB.2圖5乙ABC=30°,.;厶A0C=60°.圖5OC-OBt???OC和它對(duì)的弧組成弓形面積與0B和它對(duì)的弧組成弓形面積相等，42360_=T*六、求最大值1例6（天津中考題）如圖6,已知AB=AC=8,點(diǎn)D是動(dòng)點(diǎn)，滿足ZCDB=—ZBAC2=30°，求△DBC面積的最大值.D圖6 圖了1點(diǎn)撥由ZCDB=—ZBAC及AB=AC知，B、C、D三點(diǎn)在以A為圓心的圓上.2解如圖7,以A為圓心，AB為半徑作OA.?/乙CDB=yZ.BAC=30°,點(diǎn)D在 上，乙B4C=60°.連結(jié)BC,當(dāng)點(diǎn)D在弦BC的垂直平分線DE上時(shí)，△仙B面積最大.?/AE=cos30°x8=4事、:,DE=AD+4E=8+4#,AADB面積最大值為：*BC?DE=yx8x（8+4#）=32+質(zhì).七、探求點(diǎn)的坐標(biāo)例7（呼和浩特中考題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（－6，0）.點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ZBCA=45。時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).點(diǎn)撥以ZBCA為圓周角找對(duì)應(yīng)的圓心角.1解（1）如圖8,過(guò)點(diǎn)E在第二象限作EP上BA,且EP=—AB=5,2.?.△PBA為等腰直角三角形，ZBPA=90°,PA=PB=5“—.以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作OP,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.???ZBCA為0P的圓周角，1.??ZBCA=—ZBPA=45°,—???點(diǎn)C為所求的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF丄y軸于點(diǎn)F,則OF=PE=5,PF=1.曲RSPFC中,PF=1,PC=5血，由勾股定理，得CF=/PC2-PF2=7;.OC=OF+