高考數(shù)學(xué)全國甲卷（理）3年（2023-2023）真題分類匯編-單選題（含解析）

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高考數(shù)學(xué)全國甲卷（理）3年（2023-2023）真題分類匯編-單選題

一、單選題

1．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））設(shè)全集,集合，（）

A．B．

C．D．

2．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））設(shè)，則（）

A．-1B．0·C．1D．2

3．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的（）

A．21B．34C．55D．89

4．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））已知向量滿足，且，則（）

A．B．C．D．

5．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（）

A．B．C．15D．40

6．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（）

A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4

7．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））設(shè)甲：，乙：，則（）

A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件

C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（）

A．B．C．D．

9．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A．120B．60C．30D．20

10．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

11．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（）

A．B．C．D．

12．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））設(shè)O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（）

A．B．C．D．

13．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）若，則（）

A．B．C．D．

14．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

則（）

A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于

B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于

C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

15．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)全集，集合，則（）

A．B．C．D．

16．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）

A．8B．12C．16D．20

17．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）

A．B．

C．D．

18．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（）

A．B．C．D．1

19．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）

A．B．AB與平面所成的角為

C．D．與平面所成的角為

20．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（）

A．B．C．D．

21．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）

A．B．C．D．

22．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）

A．B．C．D．

23．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

24．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知，則（）

A．B．C．D．

25．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)集合，則（）

A．B．

C．D．

26．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

27．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知，則（）

A．B．C．D．

28．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）

A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6

29．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）

A．B．C．D．

30．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

A．B．C．D．

31．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）

A．甲是乙的充分條件但不是必要條件

B．甲是乙的必要條件但不是充分條件

C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

32．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）2023年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（）

A．346B．373C．446D．473

33．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）若，則（）

A．B．C．D．

34．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A．B．C．D．

35．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）

A．B．C．D．

36．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（）

A．B．C．D．

參考答案：

1．A

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出．

【詳解】因為整數(shù)集，，所以，．

故選：A．

2．C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算以及復(fù)數(shù)相等即可解出．

【詳解】因為，

所以，解得：．

故選：C.

3．B

【分析】根據(jù)程序框圖模擬運行，即可解出．

【詳解】當(dāng)時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，；

當(dāng)時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，；

當(dāng)時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，；

當(dāng)時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出．

故選：B.

4．D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為,所以,

即,即,所以.

如圖,設(shè),

由題知,是等腰直角三角形,

AB邊上的高,

所以,

,

.

故選:D.

5．C

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計算出,即可求出.

【詳解】由題知,

即,即,即.

由題知,所以.

所以.

故選:C.

6．A

【分析】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.

【詳解】同時愛好兩項的概率為，

記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，

則，

所以.

故選:.

7．B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

【詳解】當(dāng)時，例如但，

即推不出；

當(dāng)時，，

即能推出.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

8．D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【詳解】由，則，

解得，

所以雙曲線的一條漸近線不妨取，

則圓心到漸近線的距離，

所以弦長.

故選：D

9．B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為，

假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，

同理：連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有種.

故選：B.

10．C

【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.

【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，

而顯然過與兩點，

作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，

當(dāng)時，，；

當(dāng)時，，；

當(dāng)時，，；

所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.

故選：C.

11．C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；

法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，

因為底面為正方形，，所以，則，

又，，所以，則，

又，，所以，則，

在中，，

則由余弦定理可得，

故，則，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面積為.

法二：

連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，

因為底面為正方形，，所以，

在中，，

則由余弦定理可得，故，

所以，則，

不妨記，

因為，所以，

即，

則，整理得①，

又在中，，即，則②，

兩式相加得，故，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面積為.

故選：C.

12．B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．

【詳解】方法一：設(shè)，所以，

由，解得：，

由橢圓方程可知，，

所以，，解得：，

即，因此．

故選：B．

方法二：因為①，，

即②，聯(lián)立①②，

解得：，

而，所以，

即．

故選：B．

方法三：因為①，，

即②，聯(lián)立①②，解得：，

由中線定理可知，，易知，解得：．

故選：B．

【點睛】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．

13．C

【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.

【詳解】

故選：C

14．B

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯；

講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差,所以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為，

講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.

故選:B.

15．D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.

【詳解】由題意，，所以,

所以.

故選：D.

16．B

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積.

故選：B.

17．A

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.

【詳解】令，

則，

所以為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)時，，所以，排除C.

故選：A.

18．B

【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．

【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．

故選：B.

19．D

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．

對于A，，，，A錯誤；

對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；

對于C，，，，C錯誤；

對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．

故選：D．

20．B

【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接，

因為是的中點，

所以，

又，所以三點共線，

即，

又，

所以，

則，故，

所以.

故選：B.

21．C

【分析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，

則，

所以，

又，

則，

所以，

所以甲圓錐的高，

乙圓錐的高，

所以.

故選：C.

22．A

【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

【詳解】[方法一]：設(shè)而不求

設(shè)，則

則由得：，

由，得，

所以，即，

所以橢圓的離心率，故選A.

[方法二]：第三定義

設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：

故，

由橢圓第三定義得：，

故

所以橢圓的離心率，故選A.

23．C

【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．

【詳解】解：依題意可得，因為，所以，

要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．

故選：C．

24．A

【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.

【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)

因為當(dāng)

故，故，所以；

設(shè)，

，所以在單調(diào)遞增，

故，所以，

所以，所以，故選A

[方法二]：不等式放縮

因為當(dāng)，

取得：，故

，其中，且

當(dāng)時，，及

此時，

故，故

所以，所以，故選A

[方法三]：泰勒展開

設(shè)，則，，

，計算得，故選A.

[方法四]：構(gòu)造函數(shù)

因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，

故選：A．

[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮

因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；因為當(dāng)，取得，故，所以．

故選：A．

【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．

25．B

【分析】根據(jù)交集定義運算即可

【詳解】因為，所以,

故選：B.

【點睛】本題考查集合的運算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補的基本概念即可求解.

26．C

【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.

【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于.

27．B

【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，即可求解.

【詳解】，

.

故選：B.

28．C

【分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.

【詳解】由，當(dāng)時，，

則.

故選：C.

29．A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，

所以，；

因為,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

30．D

【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進行判斷.

【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，

所以其側(cè)視圖為

故選：D

31．B

【分析】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．

【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，

但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．

若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．

故選：B．

【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．