山西省大同市麻峪口鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省大同市麻峪口鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，則“”是數(shù)列是“遞增數(shù)列”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C2.，復(fù)數(shù)=

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A因?yàn)椋芍xA3.對任意實(shí)數(shù),若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A．k≥1

B.

k>1

C.k≤1

D.k<1參考答案：D略4.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則A.

B.

C.

D.參考答案：A5.如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點(diǎn)，且△是等邊三角形，則雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．參考答案：D略6.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4,5},則（

）A

B

C

D

參考答案：C7.已知A、B、C是球O的球面上三點(diǎn)，三棱錐O﹣ABC的高為2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，則球O的表面積為（）A．

B.

C.

D.參考答案：C8.雙曲線的漸近線方程為A．

B．

C．

D．參考答案：B9.設(shè)集合,,則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.設(shè)，，，則下列關(guān)系中正確的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】數(shù)值大小的比較；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.B3【答案解析】A

解析：因?yàn)?，，，而，由對?shù)函數(shù)單調(diào)性得，所以選A.【思路點(diǎn)撥】把各數(shù)化為以2為底的對數(shù)，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得結(jié)論.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是定義在數(shù)集上的函數(shù)，若對，，，則，為常數(shù)。類似地，若對，，，則有

．參考答案：，為常數(shù)略12.如果一個棱柱的底面是正多邊形，并且側(cè)棱與底面垂直，這樣的棱柱叫做正棱柱，已知一個正六棱柱的各個頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上，則該正六棱柱的體積的最大值為.參考答案：54略13.如圖所示，是圓的兩條切線，是切點(diǎn)，是圓上兩點(diǎn)，如果，，則的度數(shù)是___________．

參考答案：

略14.學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為在圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分（正方體四個頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個頂點(diǎn)在圓惟底面上），圓錐底面直徑為，高為10cm.打印所用部料密度為．不考慮打印損耗．制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g．（取，精確到0.1）參考答案：358.5如圖，是該幾何體的軸截面，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，∴該模型的體積為（），∴所需原料的質(zhì)量為358.5（g）15.已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為

※※

.參考答案：或.為等腰直角三角形，等價于圓心到直線的距離等于，即，解得或.16.已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的

條件．參考答案：充要【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數(shù)的周期性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意，可由函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)的周期性即可得出f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，由此證明充分性，再由f（x）為[3，4]上的減函數(shù)結(jié)合周期性即可得出f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)是偶函數(shù)即可得出f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，由此證明必要性，即可得出正確選項(xiàng)【解答】解：由題意，f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）為[0，1]上的增函數(shù)所以f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)又f（x）是定義在R上的函數(shù)，且以2為周期[3，4]與[﹣1，0]相差兩個周期，故兩區(qū)間上的單調(diào)性一致，所以可以得出f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，故充分性成立，若f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，由周期性可得出f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，故必要性成立綜上，“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的充要條件．故答案為：充要．【點(diǎn)評】本題考查充分性與必要性的判斷，解題的關(guān)鍵是理解充分性與必要性證明的方向，即由那個條件到那個條件的證明是充分性，那個方向是必要性，初學(xué)者易搞不清證明的方向?qū)е卤硎錾铣霈F(xiàn)邏輯錯誤，17.已知直線（為常數(shù)）與函數(shù)及函數(shù)的圖象分別相交兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)之間的距離為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分)

某校開設(shè)8門校本課程，其中4門課程為人文科學(xué)，4門為自然科學(xué)，學(xué)校要求學(xué)生

在高中三年內(nèi)從中選修3門課程，假設(shè)學(xué)生選修每門課程的機(jī)會均等.

(1)求某同學(xué)至少選修1門自然科學(xué)課程的概率;

(2)已知某同學(xué)所選修的3門課程中有1門人文科學(xué)，2門自然科學(xué)，若該同學(xué)通過人文科學(xué)課程的概率都是，自然科學(xué)課程的概率都是，且各門課程通過與否相互獨(dú)立.用表示該同學(xué)所選的3門課程通過的門數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望。參考答案：【知識點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；等可能事件的概率．(1);(2)2.3解析：(1)記“某同學(xué)至少選修1門自然科學(xué)課程”為事件A，則，………2分所以該同學(xué)至少選修1門自然科學(xué)課程的概率為.……………3分(2)隨機(jī)變量的所有可能取值有．……………4分因?yàn)椋?，，，…………?分所以的分布列為所以.………………10分【思路點(diǎn)撥】此題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，此類題也是高考必考的熱點(diǎn)，平時我們要多加練習(xí)．19.已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的圖象在它與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為l1，g（x﹣1）的圖象在它與x軸的交點(diǎn)N處的切線為l2，且l1與l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函數(shù)y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，對于兩個大于1的正數(shù)α，β，存在實(shí)數(shù)m滿足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值；（2）令u=xlnx，再研究二次函數(shù)u2+（2t﹣1）u+t2﹣t圖象是對稱軸u=，開口向上的拋物線，結(jié)合其性質(zhì)求出最值；（3）先由題意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用導(dǎo)數(shù)工具研究所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，得到當(dāng)x≥1時，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，下面對m進(jìn)行分類討論：①當(dāng)m∈（0，1）時，②當(dāng)m≤0時，③當(dāng)m≥1時，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求出a的取值范圍．【解答】解：（1）y=f（x）圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）圖象與x軸的交點(diǎn)N（2，0），g′（x﹣1）=由題意可得kl1=kl2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]時，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]單調(diào)遞增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t圖象的對稱軸u=，拋物線開口向上，①當(dāng)u=≤0，即t≥時，y最小=t2﹣t，②當(dāng)u=≥e，即t≤時，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③當(dāng)0＜＜e，即＜t＜時，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F(xiàn)′（x）=≥0，所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x≥1時，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，①當(dāng)m∈（0，1）時，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的單調(diào)性知

0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），從而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合題設(shè)．②當(dāng)m≤0時，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的單調(diào)性知，F(xiàn)（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，與題設(shè)不符，③當(dāng)m≥1時，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，與題設(shè)不符，∴綜合①、②、③得m∈（0，1）．20.（本小題滿分16分）已知函數(shù)，其中．（1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)，處取得極值，且．求證：①；②線段的中點(diǎn)在曲線上；（2）若，問：過原點(diǎn)且與曲線相切的兩條直線是否垂直，并說明理由．參考答案：1）①依題意，，為方程的兩個實(shí)根，而，，，

故在區(qū)間和內(nèi)各有一個實(shí)根，

所以；

②由①得，，，

因?yàn)椋?/p>

，

所以，

即證線段的中點(diǎn)在曲線上；

（2）過原點(diǎn)且與曲線相切的兩條直線不垂直，理由如下：

設(shè)過曲線上一點(diǎn)的切線方程為：

，

因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，

又，

所以，

解得，或，

當(dāng)時，切線的斜率為；當(dāng)時，切線的斜率為；

因?yàn)?，且?/p>

所以兩條切線斜率之積為：

，

所以過原點(diǎn)且與曲線相切的兩條直線不垂直．

21.(本小題滿分14分)

在中，所對邊分別為.已知,且.（Ⅰ）求大??；（Ⅱ）若求的面積S的大小.參考答案：解：（I）∵，∴＝0.∴

∵∴∵∴

∴

∵∴

22.已知四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=4，AD=3，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，EF∥AB，EF與AD交于點(diǎn)E，沿EF將四邊形EFCD折起，使得平面ABFE⊥平面EFCD，連接AD，BC，AC．（1）求證：BE∥平面ACD；（2）求三棱錐的B﹣ACD體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結(jié)AF交BE于O，則O為AF中點(diǎn)，設(shè)G為AC中點(diǎn)，連結(jié)OG，DG，推導(dǎo)出四邊形DEOG為平行四邊形，則BE∥DG，由此能證明BE∥平面ACD．（2）點(diǎn)C到平面ACD的距離和點(diǎn)F到平面ACD的距離相等，均為2，從而三棱錐的B﹣ACD體積VB﹣ACD=