2022屆高考數(shù)學考前模擬題

2022年高考數(shù)學考前模擬題

1.如圖，在直三棱柱ABC-481。中，/8AC=90°,AB=AC,D,E,尸分別為441,

B\C,8c的中點.

(1)證明：DE與4尸在同一平面內(nèi)；

(2)已知異面直線81c與44所成的角為45°,求直線OE與平面DBC所成角的大小.

------產(chǎn)?-

【分析】(1)連接AF,EF,證明EF〃A4i,然后證明OE與A1F1在同一平面內(nèi).

(2)以4為坐標原點，以AB,AC,A4i所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐

標系，求出平面。8c的一個法向量，求出法=6=(1,1,0),利用空間向量的數(shù)量

積求解直線與平面所成角的大小即可.

【解答】(1)證明：連接AF,EF,

:E,尸分別為BiC,BC中點，EF//BB\,

'：AA\//BBi,：.EF//AA\,(3分)

：.AA\,EF在同一平面內(nèi)，設為a,則4,F,D,E&a,

AAiFca,DEua,...DE與41F1在同一平面內(nèi).(6分)

(2)解：；A4i〃CCl,，N81CC1為異面直線BiC,A41所成的角，二NBiCCi=45°,

設AB=AC=2,貝ICC]=BiG=2近，(7分)

以A為坐標原點，以A8,AC,A41所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

如圖所示，

則8(2,0,0),C(0,2,0),F(L1,0),D(0,0,a),

：.AF=(1,1,0),BC=(-2,2,0),BD=(-2,0,V2),

(TT

m?BC=-2x+2y=0

設平面￡>8C的一個法向量為zn=(x,y,z),則

m-BD=-2x+\[2z=0

令x=l,則y=l,z-V2,

所以平面。BC的一個法向量就=(1,1,&)，(10分)

由因為法=G=(1,1,0),設直線QE與平面。所成角為。，

則sin。=\cos(m,AF)\=￡?=孝，

又。e(0,J),所以o=￡(12分)

【點評】本題考查平行的基本性質(zhì)的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能

力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

2.如圖，在多面體A8C0EF中，四邊形ABCQ和CDEF都是直角梯形，AB//CD,CD//

EF,AB=EF=\,DA=DC=DE=2,NAQE=NA￡>C=NEQC=%,點〃為棱CF上一

點，平面4EM與棱BC交于點N.

(I)求證：E￡)J_平面ABC。；

(II)求證：AE/IMN：

2FM

(III)若平面AEM與平面CDEP所成銳二面角的余弦值為求正的值.

【分析】(I)證明E￡)_LA。，EDLDC.然后推出E￡>_L平面ABCD.

(II)證明四邊形是平行四邊形.得至l」AE〃BE推出AE〃平面BCF.然后證明

AE//MN.

(Ill)建立空間直角坐標系O-xyz,求出平面AEM的法向量，平面CQEF的法向量,

利用空間向量的數(shù)列；就求解二面角的平面角的余弦函數(shù)值，即可推出結果.

【解答】(I)證明：因為乙4DE=NEDC=*,

所以EQ_LA。，EDIDC.

因為AQrWC=￡>,AD,OCu平面ABC。，

所以E￡>_L平面ABCD............................(4分)

(II)證明：因為AB〃C。，CD//EF,

所以AB〃EF.

因為AB=EF,

所以四邊形A8FE是平行四邊形.

所以AE〃叱

因為AEC平面BCF,Bfu平面BCF,

所以AE〃平面BCF.

因為AEu平面AEM,平面AEMQ平面BCF=MN,

所以AE〃MM............................(8分)

(III)解：因為EDJ_AO,EDI.DC,ADLDC,所以如圖建立空間直角坐標系。-xyz,

由AB=EF=1,DA^DC=DE=2,

可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,I,0),C(0,2,0),E(0,0,2),F(0,

1,2),

AE=(-2,0,2),FC=(0,1,-2),

,nFM

設正=A(0<A<1),

則京=扇+局=6+義局=(0,I,0)+X(0,I,-2)=(0,1+X,-2入)，

設藍=(x,?z)是平面AEM的法向量,

TT

—x+z=0

則m?AE=0

(l+4)y—2/lz=O'

m?EM=0

所以m=(l+A,2入，1+A).

因為￡=(1,0,0)是平面C￡>EF的法向量,

m-n__________1+2________

所以cosOn,n>=

面向J(1+A)2+(2A)2+(1+A)2

1

因為OW入Wl,解得;1=余

2FM1

所以平面AEM與平面CDE尸所成銳二面角的余弦值為§時,正=.............(14

分)

【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應用，直線與平面平行的判斷定理的應

用，二面角的平面角的求法與應用，是中檔題.

3.如圖1,在等邊△ABC中，點。、E分別為邊A8、AC上的動點且滿足QE〃BC,記下=4.將

/XADE沿DE翻折到△〃￡>￡'的位置并使得平面平面DECB,連接MB,MC得到

圖2,點N為MC的中點.

(1)當EN〃平面時，求入的值；

(2)試探究：隨著入值的變化，二面角的大小是否改變？如果是，請說明

理由；如果不是，請求出二面角的正弦值大小.

【分析】(1)取MB的中點為P,連接。P,PN,推出N尸〃BC,證明NEQP為平行四邊

形，利用比例關系求解即可.

(2)取。E的中點O,如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面

的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦函數(shù)值然后求解即可.

【解答】解：(1)取MB的中點為P,連接DP,PN,因為MN=CN,MP=BP,所以

NP//BC,

又DE//BC,所以NP〃DE,即N,E,D,P四點共面，又EN〃面BMD,ENu面NEDP,

平面NEDPCI平面MBD=DP,所以EN〃PD,即NEOP為平行四邊形,

11

所以NP〃DE,且NP=DE,即。E=^BC,即;I=去

(2)解：取DE的中點。，由平面平面DECB,且MOLDE,所以MO_L平面

DECB,

如圖建立空間直角坐標系，不妨設BC=2,則"(0,0,V3A),。(入，0,0),8(1,73(1-

4),0),所以薪=(30,-V3A),DB=(1-A,V3(l-A),0).

設平面8Mo的法向量為益=(%,y,z),則MD-m=Ax—V3Az=0

BD-m=(l-X)x+V3(l-A)y=0

令x=g,即蔡=(6，-1,1),又平面EMO的法向量￡=(0,1,0),

—>—>-

所以cos說