2022屆高考數(shù)學(xué)考前模擬題及答案

2022年高考數(shù)學(xué)考前模擬題

1.如圖，幾何體ABCED中，平面BCE_L平面ABC,D4_L平面ABC,且D4=AB=AC.

(1)證明：D4〃平面EBC；

(2)^ABA.AC,OE_L平面BCE,求二面角A-DC-E的余弦值.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)H,利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面ABC,

從而得到AD//EH,由線面垂直的判定定理證明即可；

(2)連接AH,建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利

用待定系數(shù)法求出平面。EC的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)H,

因?yàn)槠矫鍮CEJ_平面ABC,平面BCEA平面ABC=BC,E”u平面BCE,

所以平面ABC,

又D4_L平面ABC,

則AD//EH,

因?yàn)镋Hu平面3CE,OAC平面BCE,

故D4〃平面EBC；

(2)因?yàn)镈EJ_平面BEC,

所以WEB=乙DEC=與

又DB=DC,則△OEB絲△OEC,故BE=CE,

所以〃是BC的中點(diǎn)，

連接AH,則

ABC,平面BCEC平面ABC=BC,A，u平面BCE,

所以A4_L平面EBC,

DE//AH,AHLEH,

所以四邊形是矩形，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC,AB,A￡>所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)。A=2a,則E(a,a,2a),CC2a,0,0),D(0,0,2a),

—>—>

故DE=(a,a,0),DC=(2a,0,—2a),

設(shè)平面DEC的一個(gè)法向量為￡=(x,y,z),

'TT

則n-DE=ax+ay=0

.n-DC—2ax—2az—0

令x=l,可得n=(1,—1,1),

又平面D4c的一個(gè)法向量為薪=(0,1,0),

設(shè)二面角A-DC-E的平面角為6,

則|cos0|=cos{m,n)=沙日=烏,

因?yàn)槎娼茿-AC-E是鈍角，

故二面A-DC-E的余弦值為—學(xué).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面平行的判定定理和面面垂直的判

定定理的應(yīng)用，二面角的求解，在求解有關(guān)空間角問(wèn)題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間

直角坐標(biāo)系，將空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

2.如圖所示，在直三棱柱ABC-AiBiCiABC中，C\C=CB=CA=2,ACLCB,D,E分別

為棱CiC、BiCl的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B到平面ACE的距離；

(2)求平面84。與平面44。夾角的余弦值.

【分析】(1)以C8為x軸，C4為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

法能求出點(diǎn)B到平面ACE的距離.

(2)求出平面的法向量和平面A41Q的法向量，利用向量法能求出平面84。與

平面A41力夾角的余弦值.

【解答】解：(1)如圖所示，以CB為x軸，。為)，軸，CC1為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

由C1C=C3=C4=2,得C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),￡(1,0,2),

則旗=(2,-2,0),CA=(0,2,0),CE=(1,0,2),

設(shè)平面ACE的法向量為蔡=(x,y,z),

-CA=2y=0，取》=2,得￡=(2,0,-1),

?CE=x+2z=0

...點(diǎn)B到平面ACE的距離為d=電%=4=4V5_

\n\<55

(2)4(0,2,2),D(0,0,1),

DAX=(0,2,1),DB=(2,0,-1),

設(shè)平面BA\D的法向量為藍(lán)=(a,b,c),

+竽=2b+c=0,取『1,得蔡=([,7,

則2))

.m-DB=2a—c=0

平面AAiQ的法向量3=(0,1,0),

設(shè)平面BA\D與平面AA\D夾角為

則平面BA\D與平面AAiD夾角的余弦值為:

a\m-p\176

cos6=2-4=—=

\m\-\p\V66

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離、二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

3.如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，平面4BQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分別是

AQ,BQ,AP,8P的中點(diǎn)，AQ=2BD,PQ與EQ交于點(diǎn)G,PC與FQ交于點(diǎn)H,連接

GH.

(1)求證：AB〃GH；

(2)求平面。G”與平面GHE的夾角的余弦值.

【分析】(1)推導(dǎo)出EF//AB,DC//AB.從而EF//DC,進(jìn)而EF〃平面PCD,EF//GH.再

由EF//AB,能證明AB//GH.

(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA,BQ,BP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面0GH與平面的夾角的余弦值.

【解答】解：(1)證明：因?yàn)椤?，C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn)，

所以DC//AB.所以EF〃￡>C.

XPCD,力Cu平面PC￡),

所以EF〃平面PCD.

又EFu平面EFQ,平面EFQn平面PCD=GH,

所以EF〃GH.又EF〃AB,所以AB〃GH.

(2)在△AB。中，AQ^2BD,AD^DQ,所以/4BQ=90°.

又PB_L平面ABQ,所以BA,BQ,BP兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以區(qū)4,BQ,8P所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BA=BQ=BP=2,

貝0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,

2).

所以訪=(-1,2,-1),FQ=(.0,2,-1),

DP=(-1,-1,2),CP=(0,-1,2).

設(shè)平面EFQ的一個(gè)法向量為?n=(xi,yi,zi),

,TTT—

由m?EQ=0,m?FQ=0,

得「Xi+2yi-zI=0,取y]=],得藍(lán)=(°,].2).

12yl-zx=0,

設(shè)平面POC的一個(gè)法向量為蔡=(X2，”，Z2),

由九=0,n*CP=0,

汨(一*2一+2年=0'徂t1、

得｛取Hz2=l,得九=(0,2o,1).

1―+2Z2—0/

設(shè)平面DGH與平面G