北師大版數(shù)學(xué)必修二課件：173球

7.3

球第一頁，共32頁。第二頁，共32頁。1.球的截面(jiémiàn)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的大圓;被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的小圓.2.球的切線(1)當(dāng)直線與球有唯一交點(diǎn)時,稱直線與球相切,其中它們的交點(diǎn)稱為直線與球的切點(diǎn).(2)過球外一點(diǎn)的所有切線的長度都相等,這切點(diǎn)的集合是一個(yīɡè)圓,該圓面及所有切線圍成了一個(yīɡè)圓錐.第三頁，共32頁。3.球的表面積和體積(tǐjī)S球面=4πR2,V球=πR3(其中(qízhōng)R為球的半徑).做一做直徑(zhíjìng)為6的球的表面積和體積分別是()

π,144ππ,36ππ,144ππ,36π解析:球的半徑為3,S球=4π×32=36π;V球=π×33=36π.答案:D第四頁，共32頁。第五頁，共32頁。名師點(diǎn)撥1.球的表面積與體積由它的半徑唯一確定(quèdìng),因此求球的表面積、體積的關(guān)鍵是求出球的半徑.2.球的表面不像柱體、錐體和臺體那樣可以展開在一個平面上,即使是球面上任意小的一塊,也不能展開在一個平面上,因此球的表面沒有展開圖.第六頁，共32頁。思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)過球外一點(diǎn)有且只有一條切線與球相切.()(2)球面上的任意三點(diǎn)確定一個平面.()(3)如果(rúguǒ)一個球的體積變?yōu)樵瓉淼?7倍,那么對應(yīng)的球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍.()答案:(1)×(2)√(3)×第七頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析探究一球的表面積與體積

【例1】

(1)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為

.

(2)已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn),SA⊥平面ABC,SB⊥BC,SA=1,AB=BC=2,則球O的表面積為

.

第八頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析第九頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析第十頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析反思感悟1.計算球的表面積和體積關(guān)鍵是計算球的半徑,而計算半徑的關(guān)鍵是尋找球心的位置.2.當(dāng)球的半徑增加為原來的2倍時,球的表面積增加為原來的4倍,球的體積增加為原來的8倍.3.注意公式的“雙向”應(yīng)用,也就是說當(dāng)知道球的表面積或體積時,也可以求出球的半徑.第十一頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析變式訓(xùn)練1

(1)球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍,球的體積擴(kuò)大到原來的(

)

第十二頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析第十三頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析

(2)如圖所示的是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為

.

第十四頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析

(2)由三視圖可知該幾何體是由圓錐和半球組成的組合體.球半徑和圓錐底面半徑都等于3,圓錐的母線長等于5,高為4,所以該幾何體的表面積S=2π×32+π×3×5=33π.答案:(1)C

(2)33π第十五頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析探究二球的表面積與體積的應(yīng)用

【例2】一個倒立圓錐形容器,它的軸截面是正三角形,在此容器內(nèi)注入水并且放入一個半徑為

的鐵球,這時水面恰好和球面相切,問將球從圓錐內(nèi)取出后,圓錐內(nèi)水面的高是多少?分析:先設(shè)球未取出時的水面高度和取出后的水面高度,則水面下降,減少的體積就是球的體積,建立一個關(guān)系式來解決.第十六頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析第十七頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析反思感悟1.球的體積和表面積有著非常重要的應(yīng)用.在具體問題中,要分清是涉及體積還是涉及表面積問題,然后再利用等量關(guān)系進(jìn)行計算.2.涉及球的應(yīng)用問題畫出截面圖是解題的關(guān)鍵.有關(guān)球的截面的性質(zhì):(1)用一個平面去截一個球,截面是圓面;(2)球心和截面圓圓心的連線垂直于截面;(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足勾股定理.第十八頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析變式訓(xùn)練2

圓柱形燒杯內(nèi)壁半徑為5cm,兩個直徑都是5cm的銅球都浸沒于燒杯的水中,若取出這兩個銅球,則燒杯內(nèi)的水面將下降(

)

第十九頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析探究三球的切、接問題

【例3】

正方體的內(nèi)切球和外接球的表面積之比為(

)答案:C第二十頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析反思感悟1.有關(guān)球的常見切接問題球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作它們的軸截面解題,球與多面體的組合,通過多面體的一條側(cè)棱和球心或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖.2.球與正方體的切接問題若正方體的棱長為a,則:(1)正方體的內(nèi)切球的直徑為a,如圖①所示;第二十一頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析變式訓(xùn)練3

一個六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上,且該六棱柱的高為,底面周長為3,則這個球的體積為

.

第二十二頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析解析:∵底面是正六邊形,且底面周長為3,∴邊長為

,∴AD=1.第二十三頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析因考慮不全面而致誤典例已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π,且距離為3,求這個球的表面積.第二十四頁，共32頁。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三易錯辨析正解當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時,解法同上.當(dāng)兩截面在球心的異側(cè)時,d1+d2=3,由以上解法可知(d1-d2)(d1+d2)=3,糾錯心得1.由于球是一個很特殊的對稱體,滿足條件的兩截面可能出現(xiàn)在球心同側(cè)或異側(cè).2.本例中錯解顯然遺漏了截面在球心異側(cè)的情況.第二十五頁，共32頁。123451.一個(yīɡè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()第二十六頁，共32頁。12345答案(dáàn):A第二十七頁，共32頁。123452.若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于(děngyú)球的直徑,則圓柱、圓錐、球的體積之比為()∶2∶∶3∶4∶2∶∶1∶2答案(dáàn):D第二十八頁，共32頁。123453.設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(yīɡè)球面上,則該球的表面積為()答案(dáàn):B第二十九頁，共32頁。123454.(2017貴州貴陽一模)已知正四棱錐(léngzhuī)的側(cè)棱與底面的邊長都為3,則這個四棱錐(léngzhuī)的外接球的表面積為.

解析:如圖,設(shè)正四棱錐(léngzhuī)底面的中心為O,則故正四棱錐的各個頂點(diǎn)到它的底面的中心的距離都為3,即正四棱錐外接球的球心(qiúxīn)在它的底面的中心,且球的半徑r=3,球的表面積S=4πr2=36π.答案:36π第三十頁，共32頁。123455.過球的半徑的中點(diǎn),作一垂直于這條半徑的截面,已知此截面的面積(miànjī)為48πcm2,試求此球的表面積(miànjī)和體積.解:設(shè)球的半徑為R,所作截面半徑為r,第三十一頁，共32頁。內(nèi)容(nèiróng)總結(jié)7.3球。被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作