利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性-公開課一等獎?wù)n件

利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件1．函數(shù)單調(diào)的一個充分條件設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，

； ．2．函數(shù)單調(diào)的必要條件設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)在該區(qū)間內(nèi)

，則在該區(qū)間內(nèi)

．如果f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù)如果f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)單調(diào)遞增(或遞減)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)1．函數(shù)單調(diào)的一個充分條件如果f′(x)>0，則f(x)為增3．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定f(x)的 ．(2)求導(dǎo)數(shù)

．(3)由

．當(dāng)

，f(x)

；當(dāng)

時，f(x)

．定義域f′(x)f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相應(yīng)的x的范圍f′(x)>0時在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)f′(x)<0在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)定義域f′(x)f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相應(yīng)的1．設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)、g′(x)分別為f(x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，則當(dāng)a＜x＜b時，有(

)A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)

B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)[答案]

C利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件2．(2011·廣州一模)函數(shù)f(x)＝ex＋e－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在(0，＋∞)上(

)A．有極大值 B．有極小值C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)[答案]

C2．(2011·廣州一模)函數(shù)f(x)＝ex＋e－x(e為自3．(2010·江西，12)如圖，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)＝0)，則導(dǎo)函數(shù)y＝S′(t)的圖象大致為(

)3．(2010·江西，12)如圖，一個正五角星薄片(其對稱軸[解析]

當(dāng)五角星勻速地升出水面，五角星露出水面的面積S(t)單調(diào)遞增，則S′(t)＞0，導(dǎo)函數(shù)的圖象要在x軸上方，排除B；當(dāng)露出部分到達圖中的Q點到R點之間時，S(t)增長速度變緩，S′(t)圖象要下降，排除C；當(dāng)露出部分在Q點上下一瞬間時，S(t)突然變大，此時在Q點處的S′(t)不存在，排除D，而A符合條件，故選A.[答案]

A[解析]當(dāng)五角星勻速地升出水面，五角星露出水面的面積S(t利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件

已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))．下面四個圖象中y＝f(x)的圖象大致是(

)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件[解析]

當(dāng)x<－1時，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)－1<x<0時，xf′(x)>0，∴f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)0<x<1時，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)x>1時，xf′(x)>0，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．[解析]當(dāng)x<－1時，xf′(x)<0，[答案]

C[點評與警示]

根據(jù)題目條件和所給圖象，判斷f′(x)所在區(qū)間函數(shù)值的符號，確定f(x)所在區(qū)間的單調(diào)性，大致可以確定曲線的形狀．利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件當(dāng)x＞0時，證明不等式：1＋2x＜e2x.[分析]

假設(shè)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝e2x－1－2x.因f(0)＝e0－1－0＝0，如果能夠證明f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，那么f(x)＞0，則不等式就可以得到證明．利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件[證明]

令f(x)＝e2x－1－2x，∴f′(x)＝2e2x－2＝2(e2x－1)．∵x＞0，∴e2x＞e0＝1，∴2(e2x－1)＞0，即f′(x)＞0.∴f(x)＝e2x－1－2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∵f(0)＝e0－1－0＝0，∴當(dāng)x＞0時，f(x)＞f(0)＝0，即e2x－1－2x＞0.∴1＋2x＜e2x.[點評與警示]

通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再將x賦值，利用單調(diào)性證明不等式，這也是證明不等式的一種有效方法．[證明]令f(x)＝e2x－1－2x，證明不等式：ex≥1＋x.[證明]

構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex－1－x，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)＝ex－1－x是增函數(shù)，即ex≥1＋x.利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件

(2009·北京)設(shè)函數(shù)f(x)＝xekx(k≠0)(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．[解]

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝x.利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件設(shè)x＝1和x＝2是函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件(2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)時，f′(x)＞0.當(dāng)x∈(－2，－1)∪(1,2)時，f′(x)＜0.因此f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(－2，－1)，(1,2)．(2)由(1)知利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件(2010·全國Ⅰ，21)已知函數(shù)f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.(1)當(dāng)a＝時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件[解]

(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．當(dāng)a＝時，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，當(dāng)x＜－2時，f′(x)＜0，當(dāng)x＞－2時，f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)減，在(－2，＋∞)內(nèi)單調(diào)增，∴在x＝－2時，f(x)有極小值．所以f(－2)＝－12是f(x)的極小值．(2)在(－1,1)上，f(x)單調(diào)增加當(dāng)且僅當(dāng)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，①(ⅰ)當(dāng)a＝0時①恒成立；[解](1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性--公開課一等獎?wù)n件1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出在定義域內(nèi)相應(yīng)的x的范圍．2．在求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷其單調(diào)性時，應(yīng)分類討論．3．當(dāng)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(如單調(diào)遞增區(qū)間)有多個時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不一定是這些區(qū)間的并集．4．在某一區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(或f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上